VSG 3 - Genetika kvantitativních znaků - regresní a korelační vztahy

Kovariance, regrese a korelace

Jsou dále nutné další statistiky, kromě rozptylu či průměru univariátní distribuce, které jsou nutné k popisu společné distribuci dvou nebo více proměnných. Kovariance poskytuje přirozenou míru asociace mezi dvěma proměnnými a objevuje se tak v mnoha analýzách v kvantitativní genetice včetně podobnosti mezi příbuznými jedinci, korelace mezi vlastnostmi a měření selekce.

Společná distribuce náhodných proměnných

Funkce společné pravděpodobnosti hustoty p(x, y) specifikuje pravděpodobnost společného výskytu páru náhodných proměnných (x, y):

Častá otázka bývá, jaká je distribuce vlastnosti y daná, když vlastnost x se rovná určité specifické hodnotě? Chceme např. vědět pravděpodobnost, že rodiče, jejichž užitkovost má hodnotu 7500 kg mléka, budou mít potomky s užitkovostí 7650 kg mléka. Pro odpověď se používá podmíněná hustota y daná y, kde:

Funkce společné hustoty pravděpodobnosti, p(x, y), a funkce podmíněné hustoty p(y|x) jsou spojeny:

p(x, y) = p(y|x) p(x)

kde je marginální (univariátní) hustota x.

Dvě proměnné jsou nezávislé, jestliže p(x, y) rozčleněna do součinu pouze funkcí x a y: p(x,y) = p(x).p(y). Pak také p(y|x) = p(y).

Jsou li x a y nezávislé, pak znalost hodnoty x nedává žádnou informaci o hodnotě y.

Očekávané společné distribuce proměnných

Očekávané hodnoty bivariátní funkce, f(x,y) jsou určeny společnou pravděpodobností hustoty:

Podmíněné očekávání (očekávaná hodnota jedné proměnné, daná informací druhé):

Vlastnosti x a y jsou nezávislé, když E(y|x) = E(y). Dále E(y|x) je funkcí specifické hodnoty x.

Kovariance

Uvažujme sadu párovaných proměnných (x, y). Pro každý pár se odečítá hodnota x od populačního průměru _x a y od populačního průměru _y . U každého párového pozorování jsou navzájem násobeny tyto rozdíly: (x - _x). (y - _y ).

Kovariance mezi vlastnostmi x a y je definována jako průměr těchto kvantit přes všechny páry vlastností x a y měřené v populaci: .

Často se kovariance označuje _x,y nebo cov(x,y). Protože E(x) = _x a E(y) = _y , lze tento součin rozšířit a zjednodušit:

Slovy, kovariance je průměr součinů párových vlastností x a y mínus součin jejich průměrů. Kovariance vyjadřuje míru vazby mezi náhodnými proměnnými.

kde

Výběrová kovariance:

a výpočtový vzorec:

Regrese

Příčinná závislost mezi dvěma proměnnými, x a y, jejich vztah, může být lineární nebo nelineární. Avšak asociace jsou vždy převáděny na lineární model, který slouží jako první přibližný odhad. Nejjednodušší regresní lineární model je:

kde je intercept, je směrnice přímky (označovaný jako regresní koeficient) a e je reziduální chyba. Nechť:

je předpověděná hodnota y modelem, pak reziduální chyba je odchylka mezi pozorovanou a očekávanou hodnotou y, . Je-li použita hodnota x k předpovědi y, je x označována jako nezávisle proměnná a y je závisle proměnná. Cíle lineární regresní analýzy je odhadnout parametry modelu, a , tak že dávají nejlepší odhad společné distribuce x a y.