1 Kvadratický moment pro obdélník
2 Těžiště trojúhelníku
3 Velikost tlakové síly na hráz přehrady
4 Působiště tlakové síly na hráz přehrady

1 Kvadratický moment pro obdélník

Vypočtěte integrál $\begin{array}{r} \iint_{Ω} y^{2} d x d y, \end{array}$ přes obdélník se stranami podél os, se středem v počátku a délkou stran $a$ a $b$ , tj. přes množinu $Ω$ danou nerovnostmi $\begin{aligned} - \frac{a}{2} \leq & x \leq \frac{a}{2}, \\ - \frac{b}{2} \leq & y \leq \frac{b}{2} . \end{aligned}$

Řešení

$\begin{array}{r} \iint_{Ω} y^{2} d x d y = \int_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} d x \times \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} y^{2} d y = a \times {[\frac{1}{3} y^{3}]}_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} = a \times (\frac{1}{3} \times \frac{b^{3}}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{b^{3}}{8}) = \frac{1}{12} a b^{3} \end{array}$

2 Těžiště trojúhelníku

Vypočtěte integrál $\iint_{Ω} x d x d y$ přes trojúhelník $Ω$ s vrcholy v bodech $(0, 0)$ , $(1, 0)$ a $(0, 1)$ a poté vydělením obsahem trojúhleníka najděte $x$ -ovou polohu těžiště.

Řešení

Rovnice přímky, ve které leží přepona trojúhelníka, je $y = 1 - x$ a trojúhelník tedy je možno zapsat soustavou nerovností

$\begin{aligned} 0 \leq & x \leq 1, \\ 0 \leq & y \leq 1 - x . \end{aligned}$

Použitím těchto nerovností můžeme dvojný integrál transformovat na dvojnásobný a vypočítat. $\begin{aligned} \iint_{Ω} x d x d y & = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} x d y d x = \int_{0}^{1} {[x y]}_{0}^{1 - x} d x = \int_{0}^{1} x (1 - x) d x \\ = \int_{0}^{1} x - x^{2} d x = {[\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{1} \\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{aligned}$

$x_{T} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$

3 Velikost tlakové síly na hráz přehrady

Viz video ke cvičení a text k přednášce.

4 Působiště tlakové síly na hráz přehrady

Viz video ke cvičení a text k přednášce.

Dvojný integrál

1 Kvadratický moment pro obdélník

2 Těžiště trojúhelníku

3 Velikost tlakové síly na hráz přehrady

4 Působiště tlakové síly na hráz přehrady