Řešení

1. \(\displaystyle y=\frac x{(x+1)^2}\), \(\displaystyle y'=\frac{1-x}{(x+1)^3}\)

Nulové body derivace jsou řešení rovnice \[1-x=0.\] Tato rovnice má jediné řešení \[x=1.\]

Body nespojitosti derivace jsou řešení rovnice \[(x+1)^3=0.\] Tato rovnice má jediné řešení \[x=-1.\]

Body nespojitosti a nulové body rozdělí reálnou osu na tři podintervaly.

• Interval \(\displaystyle (-\infty,-1)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=-2\) z tohoto intervalu máme \[y'(-2)=\frac{1-(-2)}{(-2+1)^3}<0\] a proto je derivace na tomto intervalu záporná a funkce klesá.
• Interval \(\displaystyle (-1,1)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=0\) z tohoto intervalu máme \[y'(0)=\frac{1-0}{(0+1)^3}>0\] a proto je derivace na tomto intervalu kladná a funkce roste.

• Interval \(\displaystyle (1,\infty)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=2\) z tohoto intervalu máme \[y'(2)=\frac{1-2}{(2+1)^3}<0\] a proto je derivace na tomto intervalu záporná a funkce klesá.

  V bodě \(\displaystyle x=1\) se monotonie funkce mění spojitě z klesající na rostoucí (nakreslete si schema) a funkce má lokální minimum.

  V bodě \(\displaystyle x=-1\) se monotonie funkce mění z rostoucí na klesající, ale lokální extrém zde není, protože funkce ani její derivace v tomto bodě nejsou definovány.

2. \(\displaystyle y=\frac {x^2}{x+1}\), \(\displaystyle y'=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\)

Nulové body derivace jsou řešení rovnice \[x(x+2)=0.\] Tato rovnice má dvě řešení \[x_1=0, \ x_2=-2.\]

Body nespojitosti derivace jsou řešení rovnice \[(x+1)^2=0.\] Tato rovnice má jediné řešení \[x=-1.\]

Body nespojitosti a nulové body rozdělí reálnou osu na čtyři podintervaly.

• Interval \(\displaystyle (-\infty,-2)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=-10\) z tohoto intervalu máme \[y'(-10)=\frac{(-10)(-10+2)}{(\dots )^2}>0\] a proto je derivace na tomto intervalu kladná a funkce roste. Všimněte si, že jmenovatel je stále kladný a znaménko podílu nijak neovlivní.
• Interval \(\displaystyle (-2,-1)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=-1.5\) z tohoto intervalu máme \[y'(-1.5)=\frac{-1.5(-1.5+2)}{(\dots)^2}<0\] a proto je derivace na tomto intervalu záporná a funkce klesá.
• Interval \(\displaystyle (-1,0)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=-0.5\) z tohoto intervalu máme \[y'(-0.5)=\frac{-0.5(-0.5+2)}{(\dots)^2}<0\] a proto je derivace na tomto intervalu záporná a funkce klesá.
• Interval \(\displaystyle (0,\infty)\). Dosazením reprezentanta \(\displaystyle x=1\) z tohoto intervalu máme \[y'(1)=\frac{1(1+2)}{(\dots)^2}>0\] a proto je derivace na tomto intervalu kladná a funkce roste.

V bodě \(\displaystyle x=-2\) se monotonie funkce mění spojitě z rostoucí na klesající (nakreslete si schema) a funkce má v tomto bodě lokální maximum.

V bodě \(\displaystyle x=0\) se monotonie funkce mění spojitě z klesající na rostoucí (nakreslete si schema) a funkce má v tomto bodě lokální minimum.

V bodě \(\displaystyle x=-1\) se monotonie funkce nemění. Navíc funkce v tomto bodě ani není definována a existenci lokálního extrému tedy ani neuvažujeme

3. \(\displaystyle y=\frac {x^2}{x^2+1}\), \(\displaystyle y'=\frac{2x}{(x^2+1)^2}\)

Nulové body derivace jsou řešení rovnice \[2x=0.\] Tato rovnice má jediné řešení \[x=0.\]

Body nespojitosti derivace jsou řešení rovnice \[(x^2+1)^2=0.\] Tato rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení.

Body nespojitosti nejsou a jeden nulový bod rozdělí reálnou osu na dva podintervaly. Z derivace je zřejmé, že derivace má stejné znaménko jako \(\displaystyle x\), tj. derivace je záporná nalevo od nuly a kladná napravo od nuly. To znamená, že v nule se funkce mění z klesající na rostoucí a funkce má v tomto bodě lokální minimum.

Řešení

Papír A4 má rozměry \(\displaystyle 210\times 297\,\mathrm{mm}\) a je-li vystřižený čtverec o straně \(\displaystyle x\), má krabička rozměry \(\displaystyle (210-2x)\times(297-2x)\times x\) a objem \[ V(x)=(210-2x)(297-2x)x=4 x^3 - 1014 x^2 + 62370 x. \] Derivováním dostaneme \[ \frac{\mathrm dV}{\mathrm dx} = 12x^2 - 2028x + 62370 \] a nulové body derivace jsou řešeními rovnice \[ 12x^2 - 2028x + 62370 = 0. \] Tato rovnice má pro naši úlohu jediné smysluplné řešení \(\displaystyle x=40.4\) (další řešení \(\displaystyle x=128.5\) neodpovídá realizovatelnému výrobku). Optimální krabička vznikne vystřižením čtverců o stranách \(\displaystyle 40.4\,\mathrm{mm}\). Objem je \[ V(40.4)=1.12 \times 10^6\,\mathrm {mm}^3=1.12\,\mathrm{l}. \]

Řešení

Obsah obdélníka o stranách \(\displaystyle x\) a \(\displaystyle y\) je součin délek dvou sousedních stran \[ S=xy \] délka plotu bude délka strany podél hranice (např \(\displaystyle x\)) a dvojnásobek délky strany kolmé na hranici (např. \(\displaystyle y\)) \[ L=x+2y \] Měřeno v násobcích délky plotu je \(\displaystyle L=1\) a ze vztahu \[ x+2y=1 \] dostaneme \[ x=1-2y. \] Potom platí \[ S=xy=(1-2y)y=y-2y^2. \] Derivací obdržíme \[ \frac{\mathrm dS}{\mathrm dy}=1-4y \] a derivace je rovna nule pro \(\displaystyle y=\frac 14\), tedy kratší strana je čtvrtina celkové délky plotu. Na delší strana tedy zbude polovina (dvakrát odkrojím čtvrtinu) a obdélník má poměr stran \(\displaystyle 2:1\).

Minimální obvod při daném obsahu. Měřeno v jednotkách, ve kterých je obsah \(\displaystyle S\) roven jedné (tj. v násobcích délky strany čtverce o stejném obsahu jako náš obdélník) dostáváme ze vztahu \[ xy=1 \] vztah \[ y=\frac 1x. \] Potom platí \[ L=x+2y=x+\frac 2x=x+2x^{-1} \] Derivací obdržíme \[ \frac{\mathrm dL}{\mathrm dx}=1+2(-1)x^{-2}=1-\frac 2{x^2} \] a derivace je rovna nule pro \(\displaystyle x^2=2\), tj. pro \(\displaystyle x=\sqrt{2}\) (uvažujeme jenom kladné hodnoty \(\displaystyle x\)). Ze vztahu \(\displaystyle y=\frac 1x\) dostáváme \[ y=\frac 1{\sqrt 2}=\frac{\sqrt{2}}2=\frac x2 \] a kratší strana je polovinou délky delší strany. Jako v předchozím případě, obdélník má poměr stran \(\displaystyle 2:1\).

Řešení

V jednotkách průměru platí \(\displaystyle h^2+b^2=1\) a mají se postupně maximalizovat funkce obsah \(\displaystyle S=bh\), nosnost \(\displaystyle N=bh^2\) a tuhost \(\displaystyle T=bh^3\). Protože \(\displaystyle b\) se pomocí \(\displaystyle h\) vyjadřuje pomocí druhé odmocniny a naopak, bude výhodnější maximalizovat funkce, kde aspoň jedna mocnina je sudá. To je jenom u nosnosti, u obsahu a tuhosti si sudé mocniny vyrobíme umocněním na druhou a budeme dosazovat \[b^2=1-h^2,\] tj. \[ \begin{aligned} S^2(h)&=b^2h^2=(1-h^2)h^2,\\ N(b)&=b(1-b^2)=b-b^3,\\ T^2(h)&=b^2h^6=(1-h^2)h^6=h^6-h^8. \end{aligned} \] Postup je korektní, protože veličiny jsou kladné a funkce \(\displaystyle y=x^2\) je pro kladné \(\displaystyle x\) rostoucí. Proto bude veličina maximální tam, kde je maximální její druhá mocnina.

Obsah: Funkce \(\displaystyle f(h)=(1-h^2)h^2\) je parabola v proměnné \(\displaystyle h^2\) a proto má maximum pro \(\displaystyle h^2=\frac 12\) a \(\displaystyle h=\frac {1}{\sqrt 2}\). Druhý rozměr vychází \[b=\sqrt{1-h^2}=\sqrt{1-\frac 12}=\frac{1}{\sqrt 2}\] a trám má v tomto případě (maximalizujeme objem) průřez čtverce.

Nosnost: Funkce \(\displaystyle f(b)=b-b^3\) má derivaci \(\displaystyle \frac{\mathrm df}{\mathrm db}=1-3b^2\) a derivace je pro \(\displaystyle b>0\) nulová, jestliže \(\displaystyle b^2=\frac 13\), tj. \(\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt 3}\). Druhý rozměr vychází \[h=\sqrt{1-b^2}=\sqrt{1-\frac 13}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}\] a trám má v tomto případě (maximalizujeme nosnost) průřez obdélníka s poměrem stran \(\displaystyle h:b=\sqrt 2:1\).

Tuhost: Funkci \(\displaystyle f(h)=h^6-h^8\) jsme maximalizovali na přednášce a trám má v tomto případě průřez obdélníka s poměrem stran \(\displaystyle \sqrt 3:1\). Vskutku. Funkce \(\displaystyle f(h)=h^6-h^8\) má derivaci \(\displaystyle \frac{\mathrm df}{\mathrm dh}=6h^5-8h^7=2h^5(3-4h^2)\) a derivace je pro \(\displaystyle h>0\) nulová, jestliže \(\displaystyle h^2=\frac 34\), tj. \(\displaystyle h=\frac{\sqrt 3}{2}\). Druhý rozměr vychází \[b=\sqrt{1-h^2}=\sqrt{1-\frac 34}=\frac{1}{2}\] a trám má v tomto případě průřez obdélníka s poměrem stran \(\displaystyle h:b=\sqrt 3:1\).

Řešení

Měřeno v násobcích rychlosti vody máme minimalizovat funkci \[ y=\frac{(x+1)^3}x. \] Platí \[ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{3(x+1)^2\cdot 1\cdot x-(x+1)^3\cdot 1}{x^2}=\frac{(x+1)^2(3x-(x+1))}{x^2}=\frac{(x+1)^2(2x-1)}{x^2} \] Derivace je rovna nule pro \(\displaystyle x=-1\) (ryba plave rychlostí stejnou jako voda, ale po proudu) a \(\displaystyle x=\frac 12\) (ryba plave proti proudu takovou rychlostí, že její rychlost vzhledem k břehu je poloviční ve srovnání s rychlostí vody v protiproudu). Smysluplné je pouze řešení \(\displaystyle x=\frac 12\) tj polovina rychlosti proudu. Například v proudu o rychlosti \(\displaystyle 20\,\mathrm{km}\,\mathrm{hod}^{-1}\) ryba plave tak, že vzhledem k nehybnému pozorovateli na břehu plave rychlostí \(\displaystyle 10\,\mathrm{km}\,\mathrm{hod}^{-1}\). Ve vodě tedy plave rychlostí \(\displaystyle 30\,\mathrm{km}\,\mathrm{hod}^{-1}\), proud \(\displaystyle 20\,\mathrm{km}\,\mathrm{hod}^{-1}\) ji strhává zpět a výsledná rychlost je \(\displaystyle 10\,\mathrm{km}\,\mathrm{hod}^{-1}\)