MatematikaPřednáškaCvičeníWeBWorK
012345678910111213

Stáhnout ve formátu PDF

Youtube cvičení
  • Naučíme se derivovat součin a podíl funkcí. Jedná se o použití vzorců, nejsou nutné předchozí znalosti, je nutné mít pouze k dispozici vzorce.
  • Naučíme se používat vzorec pro lineární aproximaci funkce. Naučíme se nahrazovat komplikované funkční závislosti závislostmi jednoduššími.
  • Naučíme se další triky získané díky lineární a polynomiální aproximaci: numerické derivování a numerické řešení rovnic.

1 Výpočet derivace součinu a podílu

Určete derivace následujících funkcí, kde \(\displaystyle a,b,\mu\in\mathbb{R}\).

  1. \(\displaystyle f(x)=x\ln x\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\frac {x}{ax+b}\)
  4. \(\displaystyle f(t)=\frac{t}{t^2+6}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{ax^2}{x^2+1}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\frac {2x^3}{x^2+1}\)
  7. \(\displaystyle f(x)=\frac {ax}{(x-1)^2}\)

Řešení

  1. \(\displaystyle f'(x)=1\cdot \ln x+x\frac 1x=1+\ln x\)
  2. \(\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+a}+x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
  3. \(\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot (ax+b)-x\cdot a}{(ax+b)^2}=\frac b{(ax+b)^2}\)
  4. \(\displaystyle f'(t)=\frac{(t^2+6)-t2t}{(t^2+6)^2}=\frac{6-t^2}{(t^2+6)^2}\)
  5. \(\displaystyle f'(x)=\frac {2ax(x^2+1)-ax^22x}{(x^2+1)^2}=\frac {2ax}{(x^2+1)^2}\)
  6. \(\displaystyle f'(x)=\frac {6x^2(x^2+1)-2x^32x}{(x^2+1)^2}\)
  7. \(\displaystyle f'(x)=\frac{a(x-1)^2-ax2(x-1)}{(x-1)^4}= \frac{a(x-1)-ax2}{(x-1)^3}=\cdots\)

2 Základní lineární aproximace

Najděte lineární aproximace funkcí \(\displaystyle \sin x\), \(\displaystyle \cos x\) a \(\displaystyle {(1+x)^n}\) v okolí nuly. Tím dokážete platnost následujících přibližných vzorců platných pro \(\displaystyle x\) blízko nuly. \[ \begin{aligned} \sin x&\approx x\\ \cos x&\approx 1\\ (1+x)^n&\approx 1+nx \end{aligned} \]

První dvě aproximace využijeme později pro odvození tvaru matice malých rotací, což je důležité při studiu deformace materiálů. Poslední můžeme využít například pro to, abychom z relativistického vzorce pro celkovou energii extrahovali část závislou na rychlosti, tj. kinetickou energii (na přednášce).

Řešení

\(\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)

  1. \(\displaystyle f(x)=\sin x\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=\sin 0=0\), \(\displaystyle f'(x)=(\sin(x))'=\cos x\), \(\displaystyle f'(0)=\cos (0)=1\) \[\sin(x)\approx 0+1\cdot (x-0)=x\]
  2. \(\displaystyle f(x)=\cos x\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=\cos 0=1\), \(\displaystyle f'(x)=(\cos(x))'=-\sin x\), \(\displaystyle f'(0)=-\sin (0)=0\) \[\cos(x)\approx 1+0\cdot (x-0)=1\]
  3. \(\displaystyle f(x)=(1+x)^n\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=(1+0)^n=1\), \(\displaystyle f'(x)=((1+x)^n)'=n(1+x)^{n-1}\), \(\displaystyle f'(0)=n(1+0)^{n-1}=n\) \[(1+x)^n\approx 1+n\cdot (x-0)=1+nx\]

3 Lineární aproximace

Veličina \(\displaystyle y\) je funkce proměnné \(\displaystyle x\). Najděte její lineární aproximaci v okolí zadaného bodu.

  1. \(\displaystyle y=xe^x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\)
  2. \(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\)
  3. \(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodu \(\displaystyle x=K\)
  4. \(\displaystyle y=\sqrt x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=1\)
  5. \(\displaystyle y=\frac 1{\sqrt x}\) v okolí bodu \(\displaystyle x=1\)

Ve druhém a třetím příkladě aproximujeme funkci modelující růst populace v prostředí s nosnou kapacitou \(\displaystyle K\). Aproximace v okolí bodu \(\displaystyle x=0\) odpovídá velmi malé populaci. Proto se konstanta úměrnosti ze získané lineární aproximace nazývá invazní parametr.

Řešení

  1. \(\displaystyle f(x)=xe^x\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=0e^0=0\), \(\displaystyle f'(x)=(xe^x)'=e^x+x e^x\), \(\displaystyle f'(0)=e^0+0e^0=e^0=1\) \[xe^x\approx 0+1\cdot (x-0)=x\]
  2. \(\displaystyle f(x)=rx \left(1-\frac xK\right)\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=r0 \left(1-\frac 0K\right)=0\), \(\displaystyle f'(x)= \left(rx-r\frac 1K x^2\right)' =r-\frac{2r}K x\), \(\displaystyle f'(0)=r-\frac{2r}{K} \cdot 0=r\) \[rx\left(1-\frac xK\right)\approx 0+r(x-0)=rx\]
  3. \(\displaystyle f(x)=rx\left(1-\frac xK\right)\), \(\displaystyle x_0=K\), \(\displaystyle f(K)=rK\left(1-\frac KK\right)=rK(1-1)=0\), \(\displaystyle f'(x)=\left(rx-r\frac 1K x^2\right)'=r-\frac{2r}K x\), \(\displaystyle f'(K)=r-\frac{2r}{K} \cdot K=r-2r=-r\) \[rx\left(1-\frac xK\right)\approx 0-r(x-K)=-r(x-K)=r(K-x)\] Poslední aproximaci je možno přepsat do tvaru \[rx\left(1-\frac xK\right)\approx rK\left(1-\frac xK\right)\]
  4. \(\displaystyle f(x)=\sqrt x\), \(\displaystyle x_0=1\), \(\displaystyle f(1)=\sqrt 1=1\), \(\displaystyle f'(x)=\left(x^{\frac 12}\right)'=\frac 12 x^{-\frac 12}\), \(\displaystyle f'(1)=\frac 12\) \[\sqrt x \approx 1+\frac 12 (x-1)\]
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac 1{\sqrt x}\), \(\displaystyle x_0=1\), \(\displaystyle f(1)=\frac 1{\sqrt 1}=1\), \(\displaystyle f'(x)=\left(x^{-\frac 12}\right)'=-\frac 12 x^{-\frac 32}\), \(\displaystyle f'(1)=-\frac 12\) \[\frac 1{\sqrt x} \approx 1-\frac 12 (x-1)\]

4 Kinetika chemických reakcích pro malé koncentrace

Rychlost mnoha chemických reakcí je dána vzorcem \[ f(x)=\frac {ax}{b+x}, \] kde \(\displaystyle x\) je koncentrace substrátu a \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) jsou parametry (konstanty). Tento vzorec se nazývá kinetika Michaelise a Mentenové. Ukažte, že platí \[ \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{ab}{(b+x)^2}. \] Použijte tento výpočet k lineární aproximaci funkce \[ f(x)=\frac {ax}{b+x}, \] pro malá \(\displaystyle x\).

Řešení

Přímým dosazením dostáváme \(\displaystyle f(0)=\frac {a0}{b+0}=0\), \(\displaystyle f'(0)=\frac{ab}{(b+0)^2}=\frac {ab}{b^2}=\frac ab\) a odsud \[\frac {ax}{b+x}\approx 0+\frac ab (x-0)=\frac ab x.\]

4 Lineární aproximace kvalifikovaným odhadem

Pokud je v součinu výraz, který je blízký nule, ovlivní tento výraz výsledný součin více, než zbylé součinitele. Postavíme toto pozorování na solidnější základy.

Ukažte, že pokud platí \(\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\) a \(\displaystyle g(x_0)=0\neq h(x_0)\), má lineární aproximace funkce \(\displaystyle g\) tvar \[g(x)\approx g'(x_0)(x-x_0)\] a lineární aproximace funkce \(\displaystyle f\) tvar \[f(x)\approx \Bigl[g'(x_0) (x-x_0)\Bigr]h(x_0),\] kde v hranaté závorce je lineární aproximace funkce \(\displaystyle g\) a tato aproximace je vynásobena hodnotou funkce \(\displaystyle h\) v bodě \(\displaystyle x_0\).

Situace je jednoduchá zejména v případě, kdy funkce \(\displaystyle g\) je lineární a je sama svojí lineární aproximací. Ukažte, že s uvedenou výbavou je možno napsat lineární aproximace prvních tří funkcí z příkladu přímo a bez výpočtu. Ukažte, že výpočet není nutný a výsledek se dá kvalifikovaně odhadnout i v předchozím příkladě s kinetikou Michaelise a Mentenové. Pro tyto účely použijte triviální identitu \[ \frac {ax}{b+x}=x\cdot\frac {a}{b+x}. \]

Řešení

Obecný vzorec je \[f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\]

Vztah \[g(x)\approx g'(x_0)(x-x_0)\] z něj plyne okamžitě použitím funkce \(\displaystyle g\) a podmínky \(\displaystyle g(x_0)=0\).

Pro funkci \(\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\) v našem případě máme \[ \begin{aligned} f(x_0)&=g(x_0)h(x_0)=0\cdot h(x_0)=0\\ f'(x_0)&=g'(x_0)h(x_0)+g(x_0)h'(x_0)=g'(x_0)h(x_0)+0\cdot h'(x_0)=g'(x_0)h(x_0)\\ \end{aligned} \] a přímým dosazením \[f(x)\approx 0+g'(x_0)h(x_0)(x-x_0)=\Bigl[g'(x_0)(x-x_0)\Bigr]h(x_0)\]

  1. Funkce \(\displaystyle f(x)=xe^x\) má v \(\displaystyle x=0\) první součinitel nulový a druhý součinitel nenulový a platí \(\displaystyle e^0=1\). V okolí \(\displaystyle x=0\) je první součinitel lineární. Proto v okolí \(\displaystyle x=0\) platí \[xe^x\approx xe^0=x\cdot 1=x.\]
  2. Funkce \(\displaystyle f(x)=rx\left(1-\frac xK\right)\) má v \(\displaystyle x=0\) první součinitel \(\displaystyle rx\) nulový a
    druhý součinitel \(\displaystyle \left(1-\frac xK\right)\) nenulový a platí \(\displaystyle \left(1-\frac 0K\right)=1\). V okolí \(\displaystyle x=0\) je první součinitel lineární a v okolí \(\displaystyle x=0\) platí \[rx\left(1-\frac xK\right)\approx rx\left(1-\frac 0K\right)=rx.\]
  3. Funkce \(\displaystyle f(x)=rx\left(1-\frac xK\right)\) má v bodě \(\displaystyle x=K\) první součinitel \(\displaystyle rx\) nenulový roven \(\displaystyle rK\) a druhý součinitel \(\displaystyle \left(1-\frac xK\right)\) nulový. Druhý součinitel je lineární. Proto v okolí \(\displaystyle x=K\) platí \[rx\left(1-\frac xK\right)\approx rK\left(1-\frac xK\right)=r(K-x).\]
  4. Funkce \(\displaystyle f(x)=x\frac {a}{b+x}\) má v bodě \(\displaystyle x=0\) první součinitel \(\displaystyle x\) nulový a druhý součinitel \(\displaystyle \frac {a}{b+x}\) nenulový a roven \(\displaystyle \frac ab\). První součinitel je lineární. Proto v okolí \(\displaystyle x=0\) platí \[x\frac a{b+x}\approx x\frac ab.\]

5 Numerické derivování a závislost tepelné vodivosti mědi na teplotě

pixabay.com
pixabay.com

Tabulka udává závislost koeficientu tepelné vodivosti mědi na teplotě, \(\displaystyle \lambda=\lambda(T)\). Odhadněte pomocí centrální diference derivaci funkce \(\displaystyle \lambda\) pro \(\displaystyle T=400K\) (cca \(\displaystyle 127^\circ \mathrm C\)). Určete i fyzikální jednotku derivace \(\displaystyle \frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm dT}\) a slovní interpretaci vypočtené hodnoty.

Poznámka: Teplota v Kelvinech (termodynamická teplota) je teplota ve stupních Celsia posunutá tak, aby teplota \(\displaystyle -273{,}15^\circ\mathrm C\) odpovídala \(\displaystyle 0\,\mathrm K\). Dílky a tedy i změny teploty jsou na obou stupnicích identické.

Zdroj: Cengel, Mass and heat transfer.
\(\displaystyle T/\mathrm K\) \(\displaystyle \lambda\Bigm/ \mathrm {W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})\)
200 413
400 393
600 379
800 366

Řešení

Teploty jsou v ekvidistantních krocích po \(\displaystyle 200\) kelvinech. Vezmeme od výchozí hodnoty \(\displaystyle 400\) kelvinů nejbližší nižší (\(\displaystyle 200\,\mathrm K\)) a nejbližší vyšší (\(\displaystyle 600\,\mathrm K\)) teplotu, najdeme v tabulce odpovídající koeficienty tepelné vodivosti, rozdílem určíme změnu v tomto koeficientu a podílem přepočteme změnu na jeden Kelvin. \[\frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm dT}(400) \approx \frac{(379 -413) \mathrm {W}/(\mathrm m\,\mathrm K)}{2\cdot 200\mathrm K}=-0.085\,\mathrm W \,\mathrm m^{-1}\,\mathrm K^{-2}\] Při teplotě \(\displaystyle T=400 K\) hodnota koeficientu tepelné vodivosti s rostoucí teplotou klesá. S každým stupněm Celsia (s každým Kelvinem) nad danou teplotu klesne koeficient tepelné vodivosti o \(\displaystyle 0.085\,\mathrm W \,\mathrm m^{-1}\,\mathrm K^{-1}\).

Pokusíme se trošku slovně ilustrovat, co nám vlastně vyšlo. Při teplotě \(\displaystyle 400\,\mathrm K\) a teplotním gradientu jeden stupeň Celsia na metr délky prochází mědí tepelný výkon \(\displaystyle 393\) wattů na metr čtvereční, tj. za sekundu se plochou metru čtverečního přenese \(\displaystyle 393\) joulů. S každým stupněm Celsia navíc tato hodnota malinko poklesne: o \(\displaystyle 0.085\) joulu. Odsud je patrné, že při změně teploty řádově o desítky stupňů se koeficent změní o malé jednotky procent a v těchto situacích nebude závislost na teplotě významná.

6 Iterační metoda

pixabay.com
pixabay.com

Úlohy s tepelnou bilancí (např. osluněná stěna) často vedou na rovnice obsahující čtvrtou mocninu a první mocninu neznámé veličiny. Toto je dáno tím, že vyzařování tepla souvisí podle Stefanova-Bolzmannova zákona se čtvrtou mocninou teploty a přenos tepla prouděním nebo vedením souvisí s první mocninou teploty. Koeficient u první mocniny bývá větší než u čtvrté mocniny, protože konstanta ze Stefanova-Bolzmannova zákona je velmi malá. Typickým představitelem by mohla být rovnice \[x^4-8x+6=0.\] Napište iterační vzorec pro řešení této rovnice Newtonovou metodou a proveďte několik iterací s vhodnou celočíselnou počáteční aproximací. Poté porovnejte s postupem, kdy v rovnici osamostatníte \(\displaystyle x\) z lineární části a z takové rovnice sestavíte iterační vzorec.

Řešení

Newtonova metoda: Využitím funkčního předpisu \(\displaystyle f(x)=x^4-8x+6\) a derivace \(\displaystyle f'(x)=4x^3-8\) dostáváme iterační vzorec \[x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^4-8x_n+6}{4x_n^3-8},\] který konverguje velmi rychle.

Iterace Hodnota
\(\displaystyle x_0\) \(\displaystyle 1.000000000000000\)
\(\displaystyle x_1\) \(\displaystyle 0.750000000000000\)
\(\displaystyle x_2\) \(\displaystyle 0.800123762376238\)
\(\displaystyle x_3\) \(\displaystyle 0.801613150991155\)
\(\displaystyle x_4\) \(\displaystyle 0.801614587354561\)
\(\displaystyle x_5\) \(\displaystyle 0.801614587355901\)
\(\displaystyle x_6\) \(\displaystyle 0.801614587355901\)

Sage.

Ad hoc iterace: Rovnici převedeme na tvar \[x=\frac{x^4+6}{8}\] a zkusíme iterace \[x_{n+1}=\frac{x_n^4+6}{8}.\] Konergenci pozorujeme, ale je pomalá.

Iterace Hodnota
\(\displaystyle x_0\) \(\displaystyle 1.000000000000000\)
\(\displaystyle x_1\) \(\displaystyle 0.875000000000000\)
\(\displaystyle x_2\) \(\displaystyle 0.823272705078125\)
\(\displaystyle x_3\) \(\displaystyle 0.807422868167514\)
\(\displaystyle x_4\) \(\displaystyle 0.803126865733812\)
\(\displaystyle x_5\) \(\displaystyle 0.802005182967586\)
\(\displaystyle x_6\) \(\displaystyle 0.801715260030858\)

Sage.

MatematikaPřednáškaCvičeníWeBWorK
012345678910111213
Copyright by Robert Mařík, content is available under CC BY-SA 3.0, built with Pandoc