Řešení

1. \(\displaystyle f'(x)=6x^5-\frac{6}{x^7}\)
2. \(\displaystyle f'(x)=2x+2\)
3. \(\displaystyle f'(r)=3r^2+4r\)
4. \(\displaystyle f'(x)=(3x^{3/2}+9x^5)'=\frac 92\sqrt x+45x^4\)
5. \(\displaystyle f'(x)=-be^{bx}\)
6. \(\displaystyle f'(x)=4(x^2-1)^32x=8x(x^2-1)^3\)
7. \(\displaystyle f'(x)=\frac 1{\sqrt \pi} e^{ax^2}2ax\)
8. \(\displaystyle f'(x)=\frac{-2}{(x+6)^3}\)
9. \(\displaystyle f'(x)=\frac{-2a\mu}{(\mu x+b)^3}\)

Řešení

Jednotka derivace délky podle věku je stejná, jako bychom délku dělili věkem. Tedy \(\displaystyle \left[\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}\right]=\mathrm{cm}/\mathrm{rok}\), tj. centimetr za rok.

Derivace je rychlost změny. Pokud derivujeme délku ryby podle času, je derivace rychlost s jakou se mění délka ryby v čase. Převedeno do srozumitelnějšího jazyka to je možné elegantněji vyjádřit tak, že derivace udává (v centimetrech za rok) okamžitou rychlost růstu ryby, přičemž velikost ryby vyjadřujeme její délkou (a ne například hmotností).

Zadaná funkce vyjadřující závislost délky na čase je polynom. Použitím pravidel pro derivování je snadné ukázat, že pro derivaci délky podle času platí \[ \frac{\mathrm dl}{\mathrm dt} =3\cdot 0.03937 t^2 - 2\cdot 0.945 t + 10.033 = 0.11811 t^2 -1.89 t + 10.033 \] a pro \(\displaystyle t=12\,\mathrm{let}\) dostáváme \[ \frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}\Bigr\vert_{t=12} =4.4\, \mathrm{cm}/\mathrm{rok}. \] Dvanáctiletá ryba roste rychlostí přibližně \(\displaystyle 4.4\) centimetrů za rok, tj. mezi dvanáctým a třináctým rokem vyroste přibližně o \(\displaystyle 4.4\) centimetru. (Slovo přibližně je použito proto, že derivace je okamžitá rychlost růstu a není zaručeno, že tato rychlost se udrží po celou jednotku času, tj. po celý rok.)

• Sage výpočet
• Sage numerický odhad s ilustrací toho, že výsledek se dá odhadnout u použitím základních aritmetických operací, ale že délka kroku nemůže být ani moc krátká ani moc dlouhá.

Řešení

Pro výpočet si stačí uvědomit, že funkce je konstantním násobkem mocninné funkce a umíme ji tedy zderivovat podle pravidla pro derivaci konstantního násobku a pravidla pro derivaci mocninné funkce. Derivace je \[\frac {\mathrm dM}{\mathrm dW}=\frac {\mathrm d}{\mathrm dW}(AW^n)=nAW^{n-1}\] podle pravidla pro derivaci konstantního násobku a pro derivaci mocniny. Jednotka derivace je stejná, jako bychom místo derivování dělili, tj. watt na kilogram, \[\left[\frac {\mathrm dM}{\mathrm dW}\right]=\frac{\mathrm W}{\mathrm {kg}}.\] Derivace udává rychlost, s jakou se projeví změna hmotnosti na bazálním metabolismu. Je to nárůst bazálního metabolismu způsobený nárůstem hmotnosti a přepočtený na jednotkovou změnu hmotnosti. Přibližně také změna bazálního metabolismu ve wattech při změně hmotnosti o kilogram u velkých živočichů nebo v miliwatech při změně hmotnosti o gram u drobných živočichů. Například u malých ptáčků nemá smysl uvažovat nárůst hmotnosti o kilogram a pro interpretaci raději přejdeme k jednotkám tisíckrát menším.

Řešení

Jednotka derivace \(\displaystyle C'(x)\) je \(\displaystyle \mathrm{milion\ Euro}/\mathrm{kus}\), resp. \(\displaystyle \mathrm{milion\ Euro}/\mathrm{letadlo}\), resp. milion Euro, podle toho, jak nazveme jednotky v nichž měříme počet letadel.

Derivace \(\displaystyle C'(15)\) vyjadřuje rychlost, s jakou rostou náklady při produkci \(\displaystyle 15\) letadel. Je to cena vztažená na jednotkový přírůstek, tj. jedná se vlastně o cenu výroby šestnáctého letadla. Šestnácté letadlo má výrobní náklady 0.25 milionů euro.

Poznámka 1: Jinou cestou jak určit cenu šestáctého letadla je použít rozdíl \[C(16)-C(15)\approx 0.246.\] Toto je cesta, která se zdá výhodnější, protože není nutné derivovat. Ale tato cesta zpravidla vede ke složitějším postupuům, jakmile tento výpočet vstupuje jako jedna z komponent do složitějšího modelu. Odhad ceny dalšího letadla při produkci \(\displaystyle x\) letadel je bez derivace roven \[C(x+1)-C(x)=\sqrt{4(x+1)+4}-\sqrt{4x+4}\] a s derivací \[C'(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+4}}.\] Ve druhém případě máme zlomek s konstantním čitatelem (vlastně se jedná o mocninnou funkci s exponentem \(\displaystyle -\frac 12\)), v prvním případě máme rozdíl dvou odmocnin. Druhá metoda tedy vede k jednodušší funkci a tato jednoduchost může být kriticky důležitá, pokud námi odvozená cena dalšího letadla vstupuje do dalšího výpočtu.

Poznámka 2: Možná jste si vzpomněli na příklady z nižších škol týkající se přímé úměrnosti. Jsou to příklady typu “Za výrobu patnácti jachet ruský oligarcha zaplatí částku \(\displaystyle C\). Kolik zaplatí za šestnáct jachet?” Takové příklady jsou založeny na předpokladu, že výroba každé jachty stojí stejně a cena je nezávislá na počtu. V takovém případě je možné řešit úlohu trojčlenkou, pomocí přímé úměrnosti. V takové situaci by závislost ceny na množství byla lineární. V praxi tomu tak ale často není, závislost je nelineární. Proto není možné použít úměrnost a proto mají v ekonomii místo i veličiny jako mezní náklady, které jsme vypočítali v tomto příkladě pomocí derivace. Slovo “mezní” je odvozeno od skutečnosti, že tato veličina pomáhá určit mez množství výroby, kdy se zvýší cena za jednotku

Řešení

Pro \(\displaystyle H=3.57\sqrt h\) platí \[\frac{\mathrm dH}{\mathrm dh}=\frac 12 \times 3.57 \times \frac {1}{\sqrt h}\] a numericky \[\frac{\mathrm dH}{\mathrm dh}(5)=\frac{3.57}{2\sqrt 5}\approx 0.7983 \frac {\mathrm{km}}{\mathrm m}\approx 0.8 \frac {\mathrm{km}}{\mathrm m}.\] Vzdálenost k horizontu pro pozorovatele ve výšce \(\displaystyle 5\) metrů roste rychlostí 0.8 kilometru na každý metr výšky navíc. Toto je interpretace pro praktické využití. Kromě toho se jednotky dají upravit a ve skutečnosti derivace žádný fyzikální rozměr nemá \[\frac{\mathrm dH}{\mathrm dh}(5)=0.7983 \times \frac {1000\, \mathrm{m}}{\mathrm m}=798\] a každá změna výšky pozorovatele se na vzdálenosti k horizontu projeví svým \(\displaystyle 800\)-násobkem.

Sage výpočet

Řešení

Je zadán vztah mezi dvěma veličinami a pro jednu z těchto veličin známe její hodnotu derivaci podle času. Máme za úkol určit derivaci podle času druhé z veličin.

Ze zadání známe poloměr \(\displaystyle r=50\,\mathrm{m}\) a rychlost růstu poloměru \(\displaystyle \frac {\mathrm dr}{\mathrm dt}=1.5\,\text{m}\,\text{min}^{-1}\). Zajímá nás rychlost růstu obsahu \(\displaystyle \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}\).

Derivováním vztahu \[S=\pi r^2\] podle \(\displaystyle r\) získáváme \[\frac {\mathrm dS}{\mathrm dr}=2\pi r.\] Derivováním podle \(\displaystyle t\) dostaneme \[\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm dS}{\mathrm dr} \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}= 2\pi r \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\] a numericky \[\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt} = 2\pi \times 50 \times 1.5 \approx 471 \,\mathrm{m}^2\,\text{min}^{-1}.\]

Sage výpočet (v tomto jednoduchém případě spíše jako ukázka zápisu, než jako nástroj pro urychlení výpočtu)

Řešení

Je zadán vztah mezi dvěma veličinami a pro jednu z těchto veličin známe její hodnotu derivaci podle času. Máme za úkol určit derivaci podle času druhé z veličin.

Podle zadání je \(\displaystyle \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=0.01\) krychlových metrů za minutu, \(\displaystyle h=0.5\) metru a chceme znát \(\displaystyle \frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}\). Derivováním dostáváme \[\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dh} \frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac 34 h^2 \frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}.\] Odsud \[\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac 43 \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} \frac 1{h^2}\] a po dosazení \[\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac 43 \times 0.01 \times \frac 1{0.5^2} \,\mathrm{m}\,\mathrm{min}^{-1}=0.053 \,\mathrm{m}\,\mathrm{min}^{-1}.\] Hromada roste do výšky rychlostí 5.3 centimetru za minutu.

Sage výpočet (v tomto jednoduchém případě spíše jako ukázka zápisu, než jako nástroj pro urychlení výpočtu)

Řešení

Ze zadání: \(\displaystyle r=10\,\mathrm{km}\), \(\displaystyle N=300\,000\), \(\displaystyle \sigma=\frac{N}{\pi r^2}\) je hustota osídlení a ta je konstantní, \(\displaystyle \frac {\mathrm dN}{\mathrm dt}=10\,000 \,\text{rok}^{-1}\). Zajímá nás \(\displaystyle \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\).

Výpočet: Pro počet obyvatel platí \(\displaystyle N=\sigma \pi r^2\) a derivováním \[\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm dN}{\mathrm dr}\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\sigma \pi 2r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}.\] Odsud \[ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\frac 1{2\pi r\sigma}\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} \] a protože \(\displaystyle \pi r\sigma=\frac Nr\), máme \[ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\frac {r}{2N}\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt}=\frac {10}{2\times 300\,000}\times 10\,000=0.166 \,\mathrm{km}\,\mathrm{rok}^{-1}\approx 170\,\mathrm m\,\mathrm{rok}^{-1} \]

Existuje ještě poněkud přímočařejší, ale na provedení mírně náročnější postup, protože je nutné derivovat podíl funkcí. Zderivujeme přímo definiční vztah pro hustotu osídlení \(\displaystyle \sigma=\frac{N}{\pi r^2}\) podle času. Vlevo je derivace konstanty, tj. nula, vpravo derivace podílu. Proto \[0=\frac{\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} \pi r^2 - N2\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}}{(\pi r^2)^2}\] a odsud \[\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} \pi r^2 - N2\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=0.\] Nyní osamostatníme derivaci poloměru a dostaneme \[ \begin{aligned} \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} \pi r^2 &= N2\pi r\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\\ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} &= \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} \frac r{2N} \end{aligned} \] a výsledek je stejný jako v předchozím postupu.