Integrály II
Youtube cvičení1 Výpočet integrálu substitucí
Najděte následující integrály integrováním substituční metodou.
- \(\displaystyle \int x e^{x^2}\mathrm dx\)
- \(\displaystyle \int e^{-ax}\mathrm dx\)
- \(\displaystyle \int \frac x{x^2+1}\mathrm dx\)
- \(\displaystyle \int \sin x\cos^5x\mathrm dx\)
- \(\displaystyle \int \cos x\sqrt{\sin x}\mathrm dx\)
Řešení
V integrované funkci se snažíme “rozšifrovat” součin složené funkce a derivace vnitřní složky. Pokud se to podaří, dáváme substituci takovou, že vnitřní složka složené funkce bude novou proměnnou. V prvním případě je složenou funkcí exponenciální funkce, která má vnitřní složku \(\displaystyle x^2\). Derivace funkce \(\displaystyle x^2\) je \(\displaystyle 2x\) a toto hledáme v součinu se složenou funkcí. Část s proměnnou \(\displaystyle x\) vidíme na začátku integrované funkce. Dvojku ve funkci nemáme, ale to je naštěstí jenom multiplikativní konstanta s takovou konstantou si dokážeme poradit. Viz níže.
- Integrál vypočteme substitucí \[x^2=t,\] odkud plyne \[2x\,\mathrm dx=\mathrm dt\] a \[x\,\mathrm dx=\frac 12 \mathrm dt.\] S touto substitucí dostáváme \[\int x e^{x^2}\mathrm dx = \frac 12 \int e^t\mathrm dt.\] Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud \[\int x e^{x^2}\mathrm dx = \frac 12 e^t =\frac 12 e^{x^2}+C.\]
- Integrál vypočteme substitucí \[-ax=t,\] odkud plyne \[-a\,\mathrm dx=\mathrm dt\] a \[\mathrm dx=-\frac 1a \mathrm dt.\] S touto substitucí dostáváme \[\int e^{-ax}\mathrm dx = -\frac 1a \int e^t\mathrm dt.\] Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud \[\int e^{-ax}\mathrm dx = -\frac 1a e^t =-\frac 1a e^{-ax}+C.\]
- Integrál vypočteme substitucí \[x^2+1=t,\] odkud plyne \[2x\,\mathrm dx=\mathrm dt\] a \[x\,\mathrm dx=\frac 12 \mathrm dt.\] S touto substitucí dostáváme \[\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm dx = \frac 12 \int \frac 1t \mathrm dt.\] Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud \[\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm dx = \frac 12 \ln|t| =\frac 12 \ln(x^2+1)+C.\]
- Integrál vypočteme substitucí \[\cos x=t,\] odkud plyne \[-\sin x\,\mathrm dx=\mathrm dt\] a \[\sin x\,\mathrm dx=- \mathrm dt.\] S touto substitucí dostáváme \[\int \sin x\cos^5 x\,\mathrm dx = - \int t^5 \mathrm dt.\] Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud \[\int \sin x\cos^5 x\,\mathrm dx =- \frac 16 t^6 =-\frac 16 \cos^6 x+C.\]
- Integrál vypočteme substitucí \[\sin x=t,\] odkud plyne \[\cos x\,\mathrm dx=\mathrm dt.\] S touto substitucí dostáváme \[\int \cos x\sqrt{\sin x}\,\mathrm dx = \int \sqrt t \,\mathrm dt.\] Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud \[\int \cos x\sqrt{\sin x}\,\mathrm dx = \frac 23 t^{3/2} = \frac 23 \sin^{3/2} x+C.\]
Kontrola zde.
2 Střední hodnota funkce
Určete střední hodnotu funkce na zadaném intervalu.
- funkce \(\displaystyle \sqrt x\) na intervalu \(\displaystyle [1,4]\)
- funkce \(\displaystyle \sin x\) na intervalu \(\displaystyle [0,\pi]\)
- funkce \(\displaystyle \sin x\) na intervalu \(\displaystyle [0,2\pi]\)
- funkce \(\displaystyle ax^2\) na intervalu \(\displaystyle [0,1]\)
V posledním příkladě určete hodnotu konstanty \(\displaystyle a\) tak, aby střední hodnota byla rovna jedné.
3 Vedení tepla stěnou, lineární materiálové vztahy
Tok tepla v jedné dimenzi je dán Fourierovým zákonem \[Q=-k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}.\] Pro ustálené proudění je \(\displaystyle Q\) konstantní. Pro homogenní materiál s lineární odezvou je výše uvedený vztah přesně lineární, tj. \(\displaystyle k\) je konstanta. Určete tok tepla stěnou šířky \(\displaystyle d\) oddělující prostory o teplotě \(\displaystyle T_1\) a \(\displaystyle T_2\).
Řešení
Vztah \[Q=-k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\] udává derivaci teploty podle polohy ve tvaru \[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}=-\frac Qk\] a integrací na intervalu \(\displaystyle x\in [0,d]\) dostáváme \[T(d)-T(0)=\int _0^d -\frac Qk\,\mathrm dx=-\frac Qk\int _0^d \mathrm dx= -\frac Qk d.\] Pro \(\displaystyle T(0)=T_1\) a \(\displaystyle T(d)=T_2\) dostáváme \[T_2-T_1=-\frac Qk d\] a odsud \[Q=k\frac{T_1-T_2}d\]
4 Vedení tepla stěnou, nelineární materiálové vztahy
Zopakujte předchozí výpočet pro materiál s nelineární materiálovou odezvou, kdy Fourierův zákon není lineární, tj. \(\displaystyle k\) závisí na teplotě. Nejjednodušší zobecnění je případ, kdy \(\displaystyle k(T)\) je lineární, tj. platí \[k(T)=a+bT.\] Použijte substituční metodu převádějící integrál \(\displaystyle \int k(T(x))\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\,\mathrm dx\) na integrál \(\displaystyle \int k(T)\,\mathrm dT.\) Použijte dále skutečnost, že střední hodnota lineární funkce je aritmetickým průměrem hodnot v krajních bodech intervalu.
Na tomto příkladě jsou zajímavé tři věci.
- Odvodíme vzorec používaný při posuzování tepelných ztrát.
- Přirozeně vychází vzorec, který po zavedení střední hodnoty funkce \(\displaystyle k(T)\) splývá se vzorcem z předchozího příkladu, odvozeného pro konstantní vodivost.
- Nejzajímavější je fakt, že jsme substituční metodou vypočítali integrál funkce, kterou vlastně vůbec neznáme. Vskutku, neznáme teplotní profil \(\displaystyle T(x)\) ve stěně a tím pádem neznáme ani závislost vodivosti \(\displaystyle k(T(x))\) na poloze a ani gradient teploty. Přesto se podařilo integrál vypočítat. Teplotní profil se naučíme hledat jako řešení rovnice vedení tepla.
Řešení
Stejně jako v předchozím příkladě, máme \[k(T)\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}=-Q\] a integrací na intervalu \(\displaystyle [0,d]\) dostáváme \[\int_0^d k(T)\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\,\mathrm dx=-Qd\] a po substituci a označení \(\displaystyle T(0)=T_1\), \(\displaystyle T(d)=T_2\) \[\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,{\mathrm dT}=-Qd.\] S využitím střední hodnoty dostáváme \[(T_2-T_1)\frac{k (T_1)+k (T_2)}2=-Qd\] a po výpočtu \[Q=\frac{k (T_1)+k (T_2)}{2}\frac{T_1-T_2}{d}.\]
5 Střední hodnota funkce dané tabulkou
Určete střední hodnotu koeficientu tepelné vodivosti \(\displaystyle \lambda\) mědi na teplotním intervalu od 100 do 400 Kelvinů. Porovnejte výsledek s aritmetickým průměrem.
Pro výpočet na intervalu od 100 do 800 Kelvinů bychom museli integrovat na intervalu, na kterém nemáme rovnoměrně rozložené uzlové body. Navrhněte, jak v takovém případě postupovat a jak vypočítat \(\displaystyle \int_{100}^{800}\lambda(T)\,\mathrm dT\)
| \(\displaystyle T/\mathrm{K}\) | \(\displaystyle \lambda/ (\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}))\) |
|---|---|
| 100 | 482 |
| 200 | 413 |
| 300 | 401 |
| 400 | 393 |
| 600 | 379 |
| 800 | 366 |
Řešení
Integrál vypočteme lichoběžníkovým pravidlem \[\int_{100}^{400}\lambda(T)\,\mathrm dT\approx \frac {100}2(482+2\times 413+2\times401+393)=125150\]
Střední hodnota na intervalu \(\displaystyle [100,400]\) je \[\frac{1}{300}\int_{100}^{400}\lambda(T)\,\mathrm dT \approx 417\]
Aritmetický průměr je \[\frac{482+413+401+393}4=422.\]
Střední hodnota je vlastně (po dosazení lichoběžníkového pravidla) \[\frac {482+2\times 413+2\times401+393}6\] a jedná se tedy o vážený průměr, kdy vnitřní body jsou započteny dvojnásobnou vahou.
Integrál na intervalu \(\displaystyle [100,800]\) vypočteme díky aditivitě vzhledem k integračnímu oboru \[\int_{100}^{800}\lambda(T)\,\mathrm dT=\int_{100}^{400}\lambda(T)\,\mathrm dT+\int_{400}^{800}\lambda(T)\,\mathrm dT\] a pro každý integrál máme data v ekvidistantních krocích a můžeme použít přímo lichoběžníkové pravidlo.
5 Růst populace a přežívání jedinců
Populace živočišného druhu činí 5600 jedinců a tato populace roste rychlostí \[R(t)=720 e^{0.1t}\] jedinců za rok. (V tomto čísle je zahrnuta přirozená natalita, mortalita a povolený lov.) Vlivem znečištění životního prostředí se však jedinci dožívají kratšího věku, než je zahrnuto v popsaném modelu. Zlomek populace, který přežije časový interval délky \(\displaystyle t\), je \[S(t)=e^{-0.2t}.\] Odhadněte počet živočichů za 10 let a odhadněte, jaký by tento počet byl, kdyby k žádnému znečištění nedocházelo, tj. kdyby bylo \(\displaystyle S(t)=1\).
Napište jenom příslušné integrály a okomentujte, jakými metodami bychom je počítali. Vlastní výpočet provádět nemusíte.
(Podle J. Stewart, T. Day: Biocalculus, Calculus for Life Sciences.)
Řešení
Nechť výchozí stav je rok \(\displaystyle t=0\).
Bez znečištění: Pokud je \(\displaystyle N(t)\) počet jedinců po roce \(\displaystyle t\), platí \[N(10)=N(0)+\int_0^{10} R(t)\,\mathrm dt=5600+\int_0^{10} 720 e^{0.1 t}\,\mathrm dt= 5600+\left[7200 e^{0.1t}\right]_0^{10}\approx 18000, \] kde integrál se dá vypočítat přímou integrací pomocí vzorce.
Se znečištěním: Jedinci, kteří jsou v populaci na začátku, musí přežít 10 let, to znamená, že se jejich počet sníží na \(\displaystyle S(10)\)-násobek. Jedinci, kteří se narodí v roce \(\displaystyle t\) musí přežít \(\displaystyle 10-t\) let a to znamená, že jejich počet se sníží na \(\displaystyle S(10-t)\)-násobek. Toto snížení musíme započítat do předchozího modelu bez znečištění a dostaneme \[ \begin{aligned} N(10)&=N(0)S(10)+\int_0^{10} R(t)S(10-t)\,\mathrm dt=\\&=5600 e^{-2}+\int_0^{10} 720 e^{0.1 t}e^{-0.2(10-t)}\,\mathrm dt\\&= 5600 e^{-2}+720 e^{-2} \int_0^{10} e^{0.3 t}\,\mathrm dt= \cdots =7000, \end{aligned} \] kde i tento integrál se dá vypočítat přímou integrací pomocí vzorce.
5 Rodičovské stromy
Při obnově lesů je nutné velké množství sadebního materiálu. Kromě školek hrají při obnově lesa důležitou roli rodičovské stromy. Plošná hustota semen (například v počtu semen na metr čtvereční) ve vzdálenosti \(\displaystyle r\) od stromu je dána funkcí \[D(r)=D_0 e^{-r^2/a^2}.\] Pro vhodnou volbu jednotek dosáhneme toho, že platí \(\displaystyle a=1\). Pracujme proto s funkcí \[D(r)=D_0 e^{-r^2}.\] Určete množství semen uvnitř kruhu o poloměru \(\displaystyle R\).
Napište jenom příslušný integrál a okomentujte, jakou metodou bychom ho počítali. Vlastní výpočet provádět nemusíte.
(Volně přeformulováno podle L. Edestein–Keshet: Differential calculus for the life sciences. Příklad je použitelný pro stromy s velkými semeny, například dub. Pro jiné stromy musí semena sbírat stromolezci.)
Řešení
Množství semen na metr čtvereční závisí na vzdálenosti od stromu, je to tedy podobná úloha jako úloha s prouděním tekutiny potrubím v přednášce. Postupujeme analogicky, jenom místo rychlosti tekutiny máme hustotu semen. Množství je součin hustoty a obsahu, \(\displaystyle N=S\cdot D\). Protože \(\displaystyle D\) není na celém obsahu konstantní, rozdělíme na části, kde konstantní je, a příspěvky sečteme, tj. \[N=\sum_{kruh} D\cdot\Delta S.\] Protože \(\displaystyle D\) je funkce \(\displaystyle r\), potřebujeme sčítat (integrovat) přes \(\displaystyle r\). Proto kruh dělíme na mezikruží a přes tato mezikruží sčítáme, tj. \[N=\sum_{kruh} D \frac{\Delta S}{\Delta r}\Delta r.\] Limitním přechodem uděláme skok v součtu nekonečně malý a součet přejde na integrál, podíl změn přejde na derivaci, tj. dostaneme \[N=\int_{kruh} D \frac{\mathrm dS}{\mathrm dr}\,\mathrm d r.\] Obsah \(\displaystyle S=\pi r^2\) roste s poloměrem, \(\displaystyle \frac {\mathrm dS}{\mathrm dr}=2\pi r\). Po dosazení této derivace a po dosazení za \(\displaystyle D\) a vyjádření toho, co znamená integrál přes kruh o poloměru \(\displaystyle R\) získáme integrál \[N=\int _0^R D_0e^{-r^2}2\pi r\,\mathrm dr,\] který můžeme vypočítat pomocí substituce \(\displaystyle -r^2=t\).