4 Lineární diferenciální rovnice
Definice 4.1 (lineární DR). Nechť funkce \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) jsou spojité na intervalu \( \displaystyle I\). Rovnice
| \[ y' + a(x)y = b(x) \] | (L) |
se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDR). Je-li navíc \( \displaystyle b(x)\equiv 0\) na \( \displaystyle I\), nazývá se rovnice (L) homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Poznámka 4.1 (řešitelnost a jednoznačnost). Jsou-li funkce \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) spojité na intervalu \( \displaystyle I\), \( \displaystyle x_{0}\in I\) a \( \displaystyle y_{0}\in \mathbb{R}\) libovolné, má každá počáteční úloha (L)–(PP) právě jedno řešení definované na celém intervalu \( \displaystyle I\).
Poznámka 4.2 (triviální řešení). Homogenní lineární diferenciální rovnice má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce \( \displaystyle a(x)\)) konstantní řešení \( \displaystyle y = 0\), jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení a v praktických úlohách zpravidla nemívá žádný význam.
Poznámka 4.3 (operátorová symbolika). 
Definujeme-li na
množině všech funkcí diferencovatelných na intervalu
\( \displaystyle I\) operátor
\( \displaystyle L\)
vztahem
| \[ L[y](x) = y'(x) + a(x)y(x) \] |
pro každé \( \displaystyle x\in I\), je možno diferenciální rovnici (L) a s ní asociovanou homogenní rovnici zapsat v krátkém tvaru \( \displaystyle L[y] = b(x)\) a \( \displaystyle L[y] = 0.\)
Poznámka 4.4 (linearita operátoru \( \displaystyle L\)).
Operátor \( \displaystyle L\)
splňuje pro všechna reálná čísla
\( \displaystyle C_{1}\),
\( \displaystyle C_{2}\) a všechny
diferencovatelné funkce \( \displaystyle y_{1}(x)\),
\( \displaystyle y_{2}(x)\) vztah
| \[ L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}]. \] |
Vskutku:
\[ \begin{align*} L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}](x) & ={\Bigl ( C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)\Bigr )}' + a(x){\Bigl (C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)\Bigr )} & & \\ & = C_{1}y_{1}'(x) + C_{2}y_{2}'(x) + a(x)C_{1}y_{1}(x) + a(x)C_{2}y_{2}(x) & & \\ & = C_{1}{\Bigl (y_{1}'(x) + a(x)y_{1}(x)\Bigr )} + C_{2}{\Bigl (y_{2}'(x) + a(x)y_{2}(x)\Bigr )} & & \\ & = C_{1}L[y_{1}](x) + C_{2}L[y_{2}](x). & & \\\end{align*}\]
Věta 4.1 (princip superpozice). Pro libovolné diferencovatelné funkce
\( \displaystyle y\),
\( \displaystyle y_{1}\) a
\( \displaystyle y_{2}\) a libovolné
reálné číslo \( \displaystyle C\)
platí
Zformulujme si nejdůležitější z těchto poznatků do následující věty.
Věta 4.2 (obecné řešení nehomogenní LDR). 
Uvažujme
lineární diferenciální rovnici (L) a s ní asociovanou homogenní rovnici
(LH).
- Je-li \( \displaystyle y_{p}(x)\)
libovolné partikulární řešení nehomogenní LDR a
\( \displaystyle y_{0}(x,C)\)
obecné řešení asociované homogenní LDR, je funkce
\[ y(x,C) = y_{p}(x) + y_{0}(x,C) \] (4.1) obecným řešením nehomogenní LDR.
- Je-li \( \displaystyle y_{p}(x)\)
libovolné partikulární řešení nehomogenní LDR a
\( \displaystyle y_{p0}(x)\)
nenulové partikulární řešení asociované homogenní
LDR, je funkce
\[ y(x,C) = y_{p}(x) + Cy_{p0}(x) \] (4.2) obecným řešením nehomogenní LDR.
Slovně:
- Všechna řešení homogenní lineární rovnice jsou násobky jednoho libovolného nenulového řešení této rovnice.
- Součet jednoho libovolného řešení zadané nehomogenní a obecného řešení asociované homogenní lineární rovnice je obecným řešením dané nehomogenní rovnice.
Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice. Tímto se bude zabývat v následujících odstavcích.
4.1 Homogenní LDR
Podle definice je homogenní LDR rovnice tvaru
| \[ y' + a(x)y = 0. \] | (LH) |
Řešení homogenní LDR separací proměnných.
Rovnice (LH) je rovnice se separovanými proměnnými. Vskutku, z (LH) obdržíme
| \[ { \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} = -a(x)y \] |
a pro \( \displaystyle y\neq 0\) platí
\[ \begin{align*} { \, \mathrm{d}y \over y} & = -a(x)\, \mathrm{d}x, & & \\\ln |y| & = -\int a(x)\, \mathrm{d}x + c,\qquad c\in \mathbb{R}. & & \\\end{align*}\]Odsud
| \[ y = C\ e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x},\quad C\in \mathbb{R}\setminus \{0\}, \] |
kde \( \displaystyle C\) je nenulová konstanta. Protože volbou \( \displaystyle C = 0\) dostáváme triviální řešení \( \displaystyle y\equiv 0\), povolíme \( \displaystyle C\in \mathbb{R}\) libovolné. Obecné řešení rovnice (LH) je tvaru
| \[ y(x,C) = Ce^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x},\qquad C\in \mathbb{R}, \] | (4.3) |
a každé partikulární řešení rovnice (LH) obdržíme vhodnou volbou konstanty \( \displaystyle C\). Označíme-li \( \displaystyle y_{p0}\) libovolné netriviální partikulární řešení, je možno obecné řešení rovnice (LH) psát ve tvaru
| \[ y(x,C) = Cy_{p0}(x),\qquad C\in \mathbb{R}. \] | (4.4) |
Řešení homogenní LDR ”selskou úvahou”.
Slovně lze problém řešení lineární homogenní rovnice \( \displaystyle y' = -a(x)y\) formulovat následovně: nalezněte funkci \( \displaystyle y\) takovou, že její defrivace je rovna funkci samotné, vynásobené navíc faktorem \( \displaystyle (-a(x))\). Uvědomíme-li si, že funkce, které je rovna svojí derivaci je (mimo jiné) exponenciální funkce \( \displaystyle e^{x}\), můžeme řešení problému hledat ve tvaru exponenicální funkce, kde se po derivaci faktor \( \displaystyle (-a(x))\) objeví jako derivace vnitřní složky. V exponentu tedy musí figurovat výraz, jehož derivace je \( \displaystyle (-a(x))\). Řešením homogenní rovnice je tedy funkce \( \displaystyle y = e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x}\) a (jak plyne z linearity) i její libovolný násobek. Vidíme, že dostáváme opět vzorec (4.3). Homogenní rovnici lze tedy se znalostí obecné teorie vyřešit překvapivě snadno.
4.2 Nehomogenní LDR – metoda variace konstanty
Poznámka 4.5 (aplikace operátoru \( \displaystyle L\) na součin funkcí). Než začneme hledat řešení nehmogenní rovnice, prozkoumejme, jak se lineární operátor \( \displaystyle L\) chová vzhledem k součinu funkcí. Postupným rozepsáním definice operátoru, derivací součinu, částečným vytknutím a opětovným použitím definice operátoru \( \displaystyle L\) dostáváme pro libovolné dvě diferencovatelné funkce \( \displaystyle u\), \( \displaystyle v\)
\[ \begin{align*} L[u\cdot v](x) & ={\Bigl ( u(x)v(x)\Bigr )}' + a(x)u(x)v(x) & & \\ & = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) + a(x)u(x)v(x) & & \\ & = v(x){\Bigl (u'(x) + a(x)u(x)\Bigr )} + u(x)v'(x) & & \\ & = v(x)L[u](x) + u(x)v'(x). & & \\\end{align*}\]Tento výpočet ukazuje, že pokud platí \( \displaystyle L[u] = 0\), tj. pokud je funkce \( \displaystyle u\) řešením asociované homogenní diferenciální rovnice, je možno řešení nehomogenní rovnice \( \displaystyle L[y] = b(x)\) hledat ve tvaru součinu \( \displaystyle y(x) = u(x)v(x)\), kde funkce \( \displaystyle v(x)\) splňuje vztah
| \[ b(x) = L[u\cdot v](x) = v(x)L[u](x) + u(x)v'(x) = 0 + u(x)v'(x) = u(x)v'(x), \] |
tj. \( \displaystyle v'(x) = b(x)\bigm /u(x)\). Odsud
však funkci \( \displaystyle v\)
můžeme nalézt již pouhou integrací a součin
\( \displaystyle u(x)v(x)\)
poté bude řešením nehomogenní rovnice. Abychom tyto úvahy více
ozřejmili, zapamatujeme si hlavní myšlenku – budeme hledat řešení
nehomogenní rovnice ve tvaru součinu nějaké funkce a řešení
asociované homogenní rovnice – a projdeme si všechny úvahy ještě jednou
v ”běžném” neoperátorovém označení.
Poznámka 4.6 (metoda variace konstanty). Partikulární řešení \( \displaystyle y_{p}\) nehomogenní LDR hledáme ve tvaru
| \[ y_{p}(x) = K(x)y_{p0}(x), \] | (4.5) |
kde \( \displaystyle y_{p0}(x)\) je nějaké pevné netriviální řešení asociované homogenní LDR a \( \displaystyle K(x)\) zatím neznámá spojitě diferencovatelná funkce. Jedná se vlastně o postup, při kterém konstantu \( \displaystyle C\) ve vzorci (4.4) nahradíme funkcí \( \displaystyle K(x)\) — proto se tato metoda nazývá metoda variace konstanty. Výpočtem derivace \( \displaystyle y_{p}'\) obdržíme
| \[ y_{p}'(x) = K'(x)y_{p0}(x) + K(x)y'_{p0}(x), \] |
dosazením do (L) dostáváme
| \[ K'(x)y_{p0}(x) + K(x)y'_{p0}(x) + a(x)K(x)y_{p0}(x) = b(x) \] |
a odsud
| \[ K'(x)y_{p0}(x) + K(x){\bigl [y'_{p0}(x) + a(x)y_{p0}(x)\bigr ]} = b(x). \] |
Protože \( \displaystyle y_{p0}(x)\) je řešením homogenní LDR, je výraz v hranatých závorkách roven nule a dostáváme
| \[ K'(x)y_{p0}(x) = b(x). \] | (4.6) |
Odsud již snadno vyjádříme derivaci neznámé funkce
\( \displaystyle K'(x)\) a integrováním
nalezneme funkci \( \displaystyle K(x)\).
Dosazením do (4.5) nalezneme partikulární řešení
nehomogenní LDR a z Věty 4.2 obdržíme obecné
řešení nehomogenní LDR. Započteme-li navíc do funkce
\( \displaystyle K(x)\) i integrační
konstantu \( \displaystyle C\),
obdržíme ze vzorce (4.5) nikoliv pouze partikulární, ale již přímo
obecné řešení nehomogenní LDR. 
V praxi je výhodné zapamatovat si tento postup a pokaždé
jej aplikovat 
na příslušnou rovnici. Všimněme si,
že po dosazení (4.5) do (L) se členy obsahující funkci
\( \displaystyle K(x)\) vyruší a rovnice
bude obsahovat funkci \( \displaystyle K(x)\)
pouze prostřednictvím derivace této funkce
\( \displaystyle K'(x)\), jak
plyne z (4.6). Pokud se toto nestane, je ve výpočtu obsažena chyba.
Provedení variace konstanty v případě zcela obecných funkcí \( \displaystyle a(x)\), \( \displaystyle b(x)\) vede k následujícímu vzorci.
Věta 4.3 (vzorec pro obecné řešení nehomogenní LDR). Obecné řešení rovnice (L) je
Přitom každý neurčitý integrál vyjadřuje jednu libovolnou z primitivních funkcí (integrační konstanty již neuvažujeme).