5 Exaktní diferenciální rovnice
Definice 5.1 (exaktní DR). Nechť \( \displaystyle P(x,y)\) a \( \displaystyle Q(x,y)\) jsou funkce dvou proměnných, které mají spojité parciální derivace. Řekneme, že diferenciální rovnice
| \[ P(x,y) + Q(x,y)y' = 0 \] |
je exaktní, jestliže výraz
| \[ P(x,y)\, \mathrm{d}x + Q(x,y)\, \mathrm{d}y \] | (T) |
je totálním diferenciálem nějaké funkce dvou proměnných.
Poznámka 5.1 (ekvivalentní tvar exaktní DR). Exaktní diferenciální rovnici častěji uvádíme v ekvivalentním tvaru pomocí diferenciálu kmenové funkce
| \[ P(x,y)\, \mathrm{d}x + Q(x,y)\, \mathrm{d}y = 0. \] | (E) |
Poznámka 5.2. Rovnice (E) je tedy exaktní právě tehdy, když existuje funkce \( \displaystyle F(x,y)\) proměnných \( \displaystyle x\) a \( \displaystyle y\) s vlastnostmi
| \[ { \partial\, F(x,y) \over \partial\, x} = P(x,y)\quad \text{a}\quad { \partial\, F(x,y) \over \partial\, y} = Q(x,y). \] | (5.1) |
Věta 5.2 (charakterizace totálního diferenciálu). Nechť funkce \( \displaystyle P(x,y)\) a \( \displaystyle Q(x,y)\) mají spojité parciální derivace na otevřené souvislé množině \( \displaystyle M\subseteq \mathbb{R}^{2}\). Výraz (T) je na množině \( \displaystyle M\) totálním diferenciálem nějaké funkce právě tehdy, když na \( \displaystyle M\) platí
| \[ { \partial\, P(x,y) \over \partial\, y} ={ \partial\, Q(x,y) \over \partial\, x} . \] | (5.3) |
Předpokládejme, že jsme pomocí Věty 5.2 ověřili, že výraz (T) je totálním diferenciálem. Je-li funkce \( \displaystyle F(x,y)\) kmenovou funkcí tohoto diferenciálu, musí platit vztahy (5.1). Integrujeme-li první z těchto vztahů podle proměnné \( \displaystyle x\), obdržíme
| \[ F(x,y) =\int P(x,y)\, \mathrm{d}x + C(y), \] | (5.4) |
kde při integrování podle \( \displaystyle x\) považujeme \( \displaystyle y\) za konstantu (podobně jako při výpočtu parciální derivace) a \( \displaystyle C(y)\) je integrační konstanta — tato konstanta nezávisí na \( \displaystyle x\), obecně se však může jednat o veličinu, která závisí na \( \displaystyle y\). Obdrženou rovnost zderivujeme podle \( \displaystyle y\)
| \[ { \partial\, F(x,y) \over \partial\, y} ={ \partial\, \over \partial\, y} \int P(x,y)\, \mathrm{d}x + C'(y), \] |
kde \( \displaystyle C'(y)\) je obyčejná derivace funkce jedné proměnné. Vzhledem k (5.1) je levá strana rovna \( \displaystyle Q(x,y)\). Dosadíme tedy na levou stranu \( \displaystyle Q(x,y)\) a zjednodušíme výraz na pravé straně. Obdržíme rovnici pro \( \displaystyle C'(y)\), kterou vyřešíme a integrací nalezneme hledanou funkci \( \displaystyle C(y)\). (Při úpravách nutně pro \( \displaystyle C'(y)\) vychází rovnice, která neobsahuje proměnnou \( \displaystyle x\). Pokud tomu tak není, dopustili jsme se při počítání chyby, nebo výraz (T) není totálním diferenciálem.) Získanou funkci \( \displaystyle C(y)\) dosadíme do (5.4) a máme nalezenu kmenovou funkci \( \displaystyle F(x,y)\).