Diferencialni rovnice

1 Diferenciální rovnice – úvod

Definice 1.1 (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí, DR) s neznámou \( \displaystyle y\) rozumíme rovnici tvaru

\[ y' =\varphi (x,y), \]

(R)

kde \( \displaystyle \varphi \) je funkce dvou proměnných.

Řešením (též integrálem) rovnice na intervalu \( \displaystyle I\) rozumíme každou funkci \( \displaystyle y = y(x)\), která je diferencovatelná na \( \displaystyle I\) a splňuje zde identicky rovnici (R).

Nechť \( \displaystyle x_{0}\), \( \displaystyle y_{0}\) jsou reálná čísla. Úloha najít řešení rovnice (R), které splňuje zadanou počáteční podmínku

\[ y(x_{0}) = y_{0} \]

(PP)

se nazývá počáteční (též Cauchyova) úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (PP) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod \( \displaystyle x_{0}\) řešením rovnice (R).

Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (R). Graf libovolného partikulárního řešení se nazývá integrální křivka.

Poznámka 1.1. Funkce \( \displaystyle y(x)\) je podle uvedené definice řešením rovnice (R) na intervalu \( \displaystyle I\), jestliže

existuje derivace \( \displaystyle y'(x)\) pro všechna \( \displaystyle x\in I\),
výraz \( \displaystyle \varphi (x,y(x))\) je definován pro všechna \( \displaystyle x\in I\),
rovnice (R) platí pro všechna \( \displaystyle x\in I\).

Poznámka 1.2. Rovnici (R) někdy uvádíme v ekvivalentním tvaru

\[ \, \mathrm{d}y =\varphi (x,y)\, \mathrm{d}x, \]

který získáme nahrazením derivace \( \displaystyle y'\) podílem diferenciálů \( \displaystyle \, \mathrm{d}y∕\, \mathrm{d}x\) a formálním vynásobením rovnice diferenciálem \( \displaystyle \, \mathrm{d}x\).

Poznámka 1.3 (obecnější tvar diferenciální rovnice). V některých aplikacích je nutno pracovat s obecnějšími diferenciálními rovnicemi tvaru

\[ \Phi (x,y,y') = 0, \]

kde \( \displaystyle \Phi \) je funkce tří proměnných taková, že z rovnice není možné explicitně vypočítat derivaci \( \displaystyle y'\). Takové rovnice nazýváme nerozřešené vzhledem k derivaci a v tomto textu se jimi zabývat nebudeme.

Poznámka 1.4 (formulace hlavních problémů). V souvislosti s diferenciálními rovnicemi nás zajímají především následující otázky

Má daná počáteční úloha řešení?
Je toto řešení určeno jednoznačně?
Na jakém intervalu je toto řešení definováno?
Je možné toto řešení nalézt analytickou cestou? Pokud ano, jak?

Většina inženýrských aplikací vyžaduje, aby odpověď na první dvě otázky byla kladná. Toto je možné zaručit tehdy, není-li chování funkce \( \displaystyle \varphi (x,y)\) vzhledem k proměnné \( \displaystyle y\) ”příliš divoké”. Přesněji, platí následující.

Je-li funkce \( \displaystyle \varphi (x,y)\) spojitá, je počáteční úloha řešitelná (Peanova věta).
Má-li funkce \( \displaystyle \varphi (x,y)\) ohraničenou parciální derivaci podle \( \displaystyle y\), je řešení v nějakém okolí počáteční podmínky určeno jednoznačně (Picardova věta).

Poznámka 1.5 (geometrický význam diferenciální rovnice). Zajímejme se o to, jak budou vypadat integrální křivky rovnice (R). Protože derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě, lze rovnici (R) chápat jako předpis, který každému bodu v rovině přiřadí směrnici tečny k integrální křivce, která tímto bodem prochází. Sestrojíme-li v dostatečném počtu (například i náhodně zvolených) bodů \( \displaystyle [x,y]\) v rovině kratičké úsečky o směrnici \( \displaystyle \varphi (x,y)\), obdržíme směrové pole diferenciální rovnice — systém lineárních elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám. Často lze ze směrového pole odhadnout tvar integrálních křivek. Protože se však jedná pouze o odhad tvaru integrálních čar, používáme tuto metodu jen v případě, kdy nám stačí pouze hrubá informace o jednotlivých řešeních, nebo v případech kdy selhávají ostatní dostupné metody.

Počáteční podmínka (PP) geometricky vyjadřuje skutečnost, že graf příslušného řešení prochází v rovině bodem \( \displaystyle [x_{0},y_{0}]\). Má-li tato počáteční úloha jediné řešení, neprochází bodem \( \displaystyle [x_{0},y_{0}]\) žádná další křivka. Má-li každá počáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častý případ), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají.