3 Homogenní diferenciální rovnice
Definice 3.1 (homogenní DR). Nechť \( \displaystyle f\) je spojitá funkce. Diferenciální rovnice
| \[ y' = f{\Bigl ({ y \over x} \Bigr )} \] | (H) |
se nazývá homogenní diferenciální rovnice.
Zavedeme-li novou funkci \( \displaystyle u\)
vztahem \( \displaystyle u(x) ={ y(x)
\over x} \),
získáme
| \[ y(x) = u(x)x,\qquad y'(x) = u'(x)x + u(x). \] | (3.1) |
Po dosazení do (H) dostáváme
| \[ u'x + u = f(u), \] | (3.2) |
což je ekvivalentní rovnici se separovanými proměnnými
| \[ u' ={\Bigl ( f(u) - u\Bigr )}{ 1 \over x} . \] |