Processing math: 39%
   Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2012 

5 Extremální úlohy

Motivace (tři typy extremálních úloh pro funkce více proměnných). Předpokládejme, že funkce f je spojitá a je definována v bodě (x0,y0), který je buď vnitřním nebo hraničním bodem definičního oboru. Bude nás zajímat, kdy jsou funkční hodnoty v bodě (x0,y0) ”co největší”, tj. kdy bude platit

f(x0,y0)>f(x,y)pro (x,y)(x0,y0),(5.1)

případně, kdy bude platit

f(x0,y0)f(x,y).(5.2)

Pokud platí první z nerovností, říkáme, že funkce f má v bodě (x0,y0) ostré maximum a u druhé z nerovností říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) neostré maximum. Přitom musíme důkladně specifikovat, co přesně těmito nerovnostmi rozumíme, tj. pro která (x,y) musí nerovnost platit. Tím se budou jednotlivé druhy maxim lišit. V praxi má smysl rozeznávat tři druhy extremálních úloh, které jsou postupně uvedeny v následujících definicích.

Definice 5.1 (lokální maximum). Je-li bod (x0,y0) vnitřním bodem definičního oboru a nerovnost (5.1) (případně (5.2)) platí pro všechna (x,y) z nějakého okolí bodu (x0,y0), říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) ostré lokální maximum (případně lokální maximum).

Definice 5.2 (absolutní maximum). Je-li funkce definovaná na předem zadané množině M a platí-li nerovnost (5.1) (případně (5.2)) pro všechna (x,y)M, říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) ostré absolutní maximum (případně absolutní maximum) na množině M.

Definice 5.3 (vázané maximum). Uvažujme další předem zadanou spojitou funkci dvou proměnných g:R2R, která splňuje g(x0,y0)=0, tj. bod (x0,y0) leží na vrstevnici g(x,y)=0 grafu funkce g. Rovnici této vrstevnice

g(x,y)=0(5.3)

budeme nazývat vazební podmínkou. Platí-li nerovnost (5.1) (případně (5.2)) pro všechna (x,y) z nějakého okolí bodu (x0,y0), která splňují vazební podmínku (5.3), říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) ostré vázané lokální maximum (případně vázané lokální maximum) vzhledem k vazební podmínce (5.3).

Definice 5.4 (lokální, absolutní a vázané minimum). Změníme-li směr nerovností (5.1) a (5.2), obdržíme podobně (ostré) lokální minimum, (ostré) absolutní minimum na množině M a (ostré) vázané lokální minimum při vazební podmínce (5.3).

Věta 5.1 (absolutní extrémy na kompaktní množině, Weierstrassova věta). !!!Spojitá funkce má na kompaktní množině absolutní maximum a absolutní minimum.


lok´aln´i maximum   z

v´azan´e maximum         vazebn´i podm´inka g(x,y) = 0

  vrstevnice






                                      y

    x

Obrázek 1.1: Jednotlivé typy extrémů funkce dvou proměnných.

Poznámka 5.1 (geometrická interpretace). !!!Geometricky graf funkce dvou proměnných zpravidla chápeme jako plochu v trojrozměrném prostoru. Geometrická interpretace jednotlivých typů extrémů je potom následující.

Poznámka 5.2 (derivace jako nutná podmínka existence lokálních extrémů). V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné platí poučka, že funkce nemá lokální extrém v bodě, v jehož okolí je rostoucí nebo klesající. Podezřelými body pro existenci lokálních extrémů jsou tedy pouze body, kde je derivace nulová, nebo kde derivace neexistuje. Analogické pravidlo platí i pro funkce více proměnných, jak uvádí následující věta.

Věta 5.2 (Fermatova). !!!Jestliže funkce f(x,y) má v bodě (x0,y0) lokální extrém (ostrý nebo neostrý), pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová.

Definice 5.5 (stacionární bod). Bod (x0,y0) z definičního oboru funkce f, ve kterém platí

fx(x0,y0)=0=fy(x0,y0).(5.4)

se nazývá stacionární bod funkce f.

Poznámka 5.3 (důsledek Fermatovy věty). Lokální extrém tedy může nastat buď ve stacionárním bodě, nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Z těchto ”kandidátů” navíc můžeme vyloučit ty, pro které některé parciální derivace neexistují a z těch co existují je alespoň jedna nenulová.

Poznámka 5.4 (stanovení typu lokálního extrému). V ryze praktických případech někdy poznáme z povahy úlohy, že ve stacionárním bodě je extrém a jaký. Například pokud z formulace úlohy je zřejmé, že funkce má nějaké lokální minimum a pokud vyjde jediný stacionární bod, je zřejmé, že lokální minimum je v tomto bodě13 . U funkce jedné proměnné jsme věděli, že ve stacionárním bodě je buď lokální maximum, minimum nebo inflexní bod a dokázali jsme mezi jednotlivými alternativami rozlišit pomocí monotonie14 nebo pomocí druhé derivace15 . U funkcí dvou proměnných umíme rozhodnout o tom, zda a jaký lokální extrém ve stacionárním bodě nastává, pomocí druhých derivací, což je uvedeno v následující větě.

Věta 5.3 (test pomocí druhé derivace). !!!Nechť bod (x0,y0) je stacionárním bodem funkce f a nechť funkce fspojité všechny parciální derivace druhého řádu v okolí tohoto bodu. Označme symbolem H následující determinant

H(x0,y0)=|fxx

Nastane právě jeden z následujících případů

  • \displaystyle H > 0 a \displaystyle f''_{xx} > 0. Potom má funkce \displaystyle f v bodě \displaystyle (x_{0},y_{0}) ostré lokální minimum.
  • \displaystyle H > 0 a \displaystyle f''_{xx} < 0. Potom má funkce \displaystyle f v bodě \displaystyle (x_{0},y_{0}) ostré lokální maximum.
  • \displaystyle H < 0. Potom funkce \displaystyle f nemá v bodě \displaystyle (x_{0},y_{0}) lokální extrém.
  • \displaystyle H = 0. Nelze rozhodnout o existenci a kvalitě lokálního extrému pomocí druhých derivací. Může nastat kterýkoliv z výše uvedených případů.

Definice 5.6 (Hessián). Matice uvedená v předchozí větě se nazývá Hessova matice a její determinant se nazývá Hessián.

Poznámka 5.5 (lokální extrémy funkce více než dvou proměnných). Všechny výše uvedené poznatky lze snadno zobecnit i na funkce \displaystyle 3 a obecně \displaystyle n proměnných. Výjimkou je v tomto směru pouze předchozí věta, která je v případě funkcí více než \displaystyle 2 proměnných znatelně složitější.

Poznámka 5.6. Všimněte si, že Věta 5.3 je nepoužitelná v případě, že některá z parciálníchderivací neexistuje. Rozhodnout v takovém případě o existenci lokálního extrému je obecně velice obtížný úkol. Při řešení takového úkolu opět nepříjemně pocítíme skutečnost, že zde nemáme jednu pěknou vlastnost, která nám v podobných případech pomáhala u funkce jedné proměnné – totiž monotonii.

Poznámka 5.7 (stanovení lokálních extrémů funkce dvou proměnných). !!!  

Poznámka 5.8 (vázané lokální extrémy funkce dvou proměnných). !!!Předpokládejme, že z vazební podmínky (5.3) lze explicitně vypočítat buď \displaystyle y =\varphi (x), nebo \displaystyle x =\psi (y). Uvažujme nejprve první případ.

Pokud nelze z vazební podmínky vypočítat \displaystyle y, ale lze vypočítat \displaystyle x =\psi (y), postupujeme analogicky.

Jsou i vazební podmínky, které nesplňují výše uvedené předpoklady. V těchto případech nejčastěji používáme postup využívající Lagrangeových multiplikátorů (možno nalézt v odborné literatuře).

Poznámka 5.9 (vázané lokální extrémy funkce tří proměnných). Předpokládejme, že hledáme extrém funkce tří proměnných \displaystyle f(x,y,z) při vazební podmínce \displaystyle g(x,y,z) = 0. Předpokládejme, že z vazební podmínky lze vyjádřit jednu z proměnných pomocí ostatních, nechť je to například \displaystyle z. Lze tedy \displaystyle g(x,y,z) = 0 přepsat do tvaru \displaystyle z =\varphi (x,y). Dosadíme-li tento vztah do funkce \displaystyle f, obdržíme funkci \displaystyle f(x,y,\varphi (x,y)), která je funkcí dvou proměnných \displaystyle xa \displaystyle y. Nalezneme lokální extrémy této funkce. Je-li \displaystyle (x_{0},y_{0}) takovým lokálním extrémem, je bod \displaystyle (x_{0},y_{0},\varphi (x_{0},y_{0})) vázaným lokálním extrémem stejného typu funkce \displaystyle f(x,y,z) při vazební podmínce \displaystyle g(x,y,z) = 0.

Poznámka 5.10 (absolutní extrémy funkce dvou proměnných). !!!Mějme zadánu hladkou funkci \displaystyle f definovanou na kompaktní množině \displaystyle M.

Věta 5.4 (Bolzanova). Nechť \displaystyle f je funkce dvou proměnných spojitá na otevřené souvislé množině \displaystyle M\subseteq \mathbb{R}^{2} a nechť pro některé \displaystyle A, \displaystyle B\in M platí \displaystyle f(A)f(B) < 0, tj. nechť se \displaystyle f(A) a \displaystyle f(B) liší znaménkem. Pak existuje bod \displaystyle C\in M s vlastností \displaystyle f(C) = 0.

Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta Mendelovy univerzity v Brně © 2007-2012