Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2012 |
Motivace (tři typy extremálních úloh pro funkce více proměnných). Předpokládejme, že funkce f je spojitá a je definována v bodě (x0,y0), který je buď vnitřním nebo hraničním bodem definičního oboru. Bude nás zajímat, kdy jsou funkční hodnoty v bodě (x0,y0) ”co největší”, tj. kdy bude platit
f(x0,y0)>f(x,y)pro (x,y)≠(x0,y0), | (5.1) |
případně, kdy bude platit
f(x0,y0)≥f(x,y). | (5.2) |
Pokud platí první z nerovností, říkáme, že funkce f má v bodě (x0,y0) ostré maximum a u druhé z nerovností říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) neostré maximum. Přitom musíme důkladně specifikovat, co přesně těmito nerovnostmi rozumíme, tj. pro která (x,y) musí nerovnost platit. Tím se budou jednotlivé druhy maxim lišit. V praxi má smysl rozeznávat tři druhy extremálních úloh, které jsou postupně uvedeny v následujících definicích.
Definice 5.1 (lokální maximum). Je-li bod (x0,y0) vnitřním bodem definičního oboru a nerovnost (5.1) (případně (5.2)) platí pro všechna (x,y) z nějakého okolí bodu (x0,y0), říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) ostré lokální maximum (případně lokální maximum).
Definice 5.2 (absolutní maximum). Je-li funkce definovaná na předem zadané množině M a platí-li nerovnost (5.1) (případně (5.2)) pro všechna (x,y)∈M, říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) ostré absolutní maximum (případně absolutní maximum) na množině M.
Definice 5.3 (vázané maximum). Uvažujme další předem zadanou spojitou funkci dvou proměnných g:R2→R, která splňuje g(x0,y0)=0, tj. bod (x0,y0) leží na vrstevnici g(x,y)=0 grafu funkce g. Rovnici této vrstevnice
g(x,y)=0 | (5.3) |
budeme nazývat vazební podmínkou. Platí-li nerovnost (5.1) (případně (5.2)) pro všechna (x,y) z nějakého okolí bodu (x0,y0), která splňují vazební podmínku (5.3), říkáme, že funkce má v bodě (x0,y0) ostré vázané lokální maximum (případně vázané lokální maximum) vzhledem k vazební podmínce (5.3).
Poznámka 5.1 (geometrická interpretace). Geometricky graf funkce dvou
proměnných zpravidla chápeme jako plochu v trojrozměrném prostoru.
Geometrická interpretace jednotlivých typů extrémů je potom
následující.
Poznámka 5.2 (derivace jako nutná podmínka existence lokálních extrémů). V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné platí poučka, že funkce nemá lokální extrém v bodě, v jehož okolí je rostoucí nebo klesající. Podezřelými body pro existenci lokálních extrémů jsou tedy pouze body, kde je derivace nulová, nebo kde derivace neexistuje. Analogické pravidlo platí i pro funkce více proměnných, jak uvádí následující věta.
Definice 5.5 (stacionární bod). Bod (x0,y0) z definičního oboru funkce f, ve kterém platí
f′x(x0,y0)=0=f′y(x0,y0). | (5.4) |
se nazývá stacionární bod funkce f.
Poznámka 5.3 (důsledek Fermatovy věty). Lokální extrém tedy může nastat buď ve stacionárním bodě, nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Z těchto ”kandidátů” navíc můžeme vyloučit ty, pro které některé parciální derivace neexistují a z těch co existují je alespoň jedna nenulová.
Poznámka 5.4 (stanovení typu lokálního extrému). V ryze praktických případech někdy poznáme z povahy úlohy, že ve stacionárním bodě je extrém a jaký. Například pokud z formulace úlohy je zřejmé, že funkce má nějaké lokální minimum a pokud vyjde jediný stacionární bod, je zřejmé, že lokální minimum je v tomto bodě13 . U funkce jedné proměnné jsme věděli, že ve stacionárním bodě je buď lokální maximum, minimum nebo inflexní bod a dokázali jsme mezi jednotlivými alternativami rozlišit pomocí monotonie14 nebo pomocí druhé derivace15 . U funkcí dvou proměnných umíme rozhodnout o tom, zda a jaký lokální extrém ve stacionárním bodě nastává, pomocí druhých derivací, což je uvedeno v následující větě.
Věta 5.3 (test pomocí druhé derivace). Nechť bod
(x0,y0) je stacionárním
bodem funkce f a
nechť funkce f
má spojité všechny parciální derivace druhého řádu v okolí tohoto bodu.
Označme symbolem H
následující determinant
H(x0,y0)=|fxx″ |
Nastane právě jeden z následujících případů
Definice 5.6 (Hessián). Matice uvedená v předchozí větě se nazývá Hessova matice a její determinant se nazývá Hessián.
Poznámka 5.5 (lokální extrémy funkce více než dvou proměnných). Všechny výše uvedené poznatky lze snadno zobecnit i na funkce \displaystyle 3 a obecně \displaystyle n proměnných. Výjimkou je v tomto směru pouze předchozí věta, která je v případě funkcí více než \displaystyle 2 proměnných znatelně složitější.
Poznámka 5.6. Všimněte si, že Věta 5.3 je nepoužitelná v případě, že některá z parciálníchderivací neexistuje. Rozhodnout v takovém případě o existenci lokálního extrému je obecně velice obtížný úkol. Při řešení takového úkolu opět nepříjemně pocítíme skutečnost, že zde nemáme jednu pěknou vlastnost, která nám v podobných případech pomáhala u funkce jedné proměnné – totiž monotonii.
Poznámka 5.7 (stanovení lokálních extrémů funkce dvou proměnných).
Poznámka 5.8 (vázané lokální extrémy funkce dvou proměnných).
Předpokládejme, že z vazební podmínky (5.3) lze explicitně vypočítat
buď \displaystyle y =\varphi (x),
nebo \displaystyle x =\psi (y).
Uvažujme nejprve první případ.
Pokud nelze z vazební podmínky vypočítat \displaystyle y, ale lze vypočítat \displaystyle x =\psi (y), postupujeme analogicky.
Jsou i vazební podmínky, které nesplňují výše uvedené předpoklady. V těchto případech nejčastěji používáme postup využívající Lagrangeových multiplikátorů (možno nalézt v odborné literatuře).
Poznámka 5.9 (vázané lokální extrémy funkce tří proměnných). Předpokládejme, že hledáme extrém funkce tří proměnných \displaystyle f(x,y,z) při vazební podmínce \displaystyle g(x,y,z) = 0. Předpokládejme, že z vazební podmínky lze vyjádřit jednu z proměnných pomocí ostatních, nechť je to například \displaystyle z. Lze tedy \displaystyle g(x,y,z) = 0 přepsat do tvaru \displaystyle z =\varphi (x,y). Dosadíme-li tento vztah do funkce \displaystyle f, obdržíme funkci \displaystyle f(x,y,\varphi (x,y)), která je funkcí dvou proměnných \displaystyle xa \displaystyle y. Nalezneme lokální extrémy této funkce. Je-li \displaystyle (x_{0},y_{0}) takovým lokálním extrémem, je bod \displaystyle (x_{0},y_{0},\varphi (x_{0},y_{0})) vázaným lokálním extrémem stejného typu funkce \displaystyle f(x,y,z) při vazební podmínce \displaystyle g(x,y,z) = 0.
Poznámka 5.10 (absolutní extrémy funkce dvou proměnných). Mějme zadánu hladkou
funkci \displaystyle f definovanou na
kompaktní množině \displaystyle M.
Věta 5.4 (Bolzanova). Nechť \displaystyle f je funkce dvou proměnných spojitá na otevřené souvislé množině \displaystyle M\subseteq \mathbb{R}^{2} a nechť pro některé \displaystyle A, \displaystyle B\in M platí \displaystyle f(A)f(B) < 0, tj. nechť se \displaystyle f(A) a \displaystyle f(B) liší znaménkem. Pak existuje bod \displaystyle C\in M s vlastností \displaystyle f(C) = 0.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta Mendelovy univerzity v Brně | © 2007-2012 |