4 Derivace složené funkce
Jak již bylo řečeno, v praxi při výpočtu parciální derivace zadané funkce používáme ”obvyklá” pravidla pro derivování funkce jedné proměnné, přičemž proměnné, přes které nederivujeme, považujeme za konstanty. Parciální derivace vystupují v řadě praktických aplikací, například rovnice vedení tepla na dvourozměrné desce, kde teplota \( \displaystyle T(t,x,y)\) je funkcí času \( \displaystyle t\) a polohy \( \displaystyle (x,y)\) má tvar
| \[ { 1 \over k} \cdot { \partial\, T \over \partial\, t} ={ \partial\, ^{2}T \over (\partial\, x)^{2}} +{ \partial\, ^{2}T \over (\partial\, y)^{2}} , \] |
kde \( \displaystyle k\) je materiálová konstanta. Někdy je pro řešení úlohy vhodné zvolit jiné než kartézské souřadnice, které lépe charakterizují fyzikální podstatu problému.8 Zde je nutno tedy umět derivovat i v případě, že funkci \( \displaystyle T\) neznáme. Představíme si tedy jistou analogii pravidla pro derivaci složené funkce. Pro jednoduchost předpokládejme, že všechny funkce se kterými pracujeme v následující větě mají spojité parciální derivace v oblasti, ve které pracujeme.
Věta 4.1. Uvažujme funkci \( \displaystyle z(x,y)\) a nechť \( \displaystyle x = f(u,v)\), \( \displaystyle y = g(u,v)\). Potom derivace složené funkce \( \displaystyle z(f(u,v),g(u,v))\) podle \( \displaystyle u\) je dána vztahem
| \[ { \partial\, z \over \partial\, u} ={ \partial\, z \over \partial\, x} \cdot { \partial\, x \over \partial\, u} +{ \partial\, z \over \partial\, y} \cdot { \partial\, y \over \partial\, u} \] |
Příklad 4.1. Uvažujme funkci dvou proměnných \( \displaystyle z(x,y)\). Položme \( \displaystyle x = r\cos \varphi \) a \( \displaystyle y = r\sin \varphi \). Potom \( \displaystyle r = x^{2} + y^{2}\) a \( \displaystyle \varphi =\mathop{\mathrm{arctg}} { y \over x} \). Platí
\[ \begin{align*} { \partial\, z \over \partial\, r} & ={ \partial\, z \over \partial\, x} \cdot { \partial\, x \over \partial\, r} +{ \partial\, z \over \partial\, y} \cdot { \partial\, y \over \partial\, r} ={ \partial\, z \over \partial\, x} \cdot \cos \varphi +{ \partial\, z \over \partial\, y} \cdot \sin \varphi . & & \\\end{align*}\]