Funkce

3 Funkce

V praktických aplikacích často hodnoty veličiny závisí ne na hodnotách jedné jediné jiné veličiny, ale na více faktorech³ . Je proto logické, využívat pro popis fyzikálního obrazu světa funkce více proměnných. Následující definice je rozšířením definice funkce jedné proměnné, kterou znáte z úvodního kurzu matematiky.

Definice 3.1 (funkce, definiční obor, obor hodnot). Řekneme, že pravidlo \( \displaystyle f\) je funkcí \( \displaystyle n\) proměnných s definičním oborem \( \displaystyle D(f)\subseteq \mathbb{R}^{n}\) a oborem hodnot \( \displaystyle Im(f)\subseteq \mathbb{R}\), jestliže toto pravidlo každému \( \displaystyle X\in D(f)\) přiřazuje jediné číslo \( \displaystyle Y \in Im(f)\). Píšeme \( \displaystyle Y = f(X)\).

Prvek \( \displaystyle X\) nazýváme vzor a číslo \( \displaystyle Y \) obraz. Je-li \( \displaystyle f\) funkce \( \displaystyle n\) proměnných, píšeme \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}\)

Poznámka 3.1. U funkce dvou proměnných pro přehlednost používáme raději názvy veličin, než názvy bodů z abstraktního Euklidovského prostoru. Píšeme-li například pro konkrétnost \( \displaystyle X = (x,y)\) a \( \displaystyle Y = z\), funkci dvou proměnných potom chápeme jako předpis \( \displaystyle z = f(x,y)\). Podobně funkcí tří proměnných budeme častěji rozumět předpis \( \displaystyle u = f(x,y,z)\).

Stejně jako u funkce jedné proměnné, pro funkci dvou proměnných zavádíme pojem graf, který umožňuje názorné vysvětlení mnoha vztahů a pojmů, které budeme používat. Pojem graf je možno definovat i pro funkci \( \displaystyle n\) proměnných, zde však ztrácí svou geometrickou názornost, protože naše geometrická představivost většinou končí u prostorů dimenze \( \displaystyle 3\).

Definice 3.2 (graf, vrstevnice). Uvažujme funkci dvou proměnných \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}\).

Grafem funkce \( \displaystyle f\) rozumíme množinu bodů \( \displaystyle (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\) s vlastností \( \displaystyle z = f(x,y)\). Zpravidla touto množinou bude nějaká plocha v prostoru.

Nechť \( \displaystyle C\in Im(f)\) je předem dané číslo. Vrstevnicí na úrovni \( \displaystyle C\) rozumíme množinu všech bodů \( \displaystyle (x,y)\in \mathbb{R}^{2}\), splňující \( \displaystyle f(x,y) = C\).

Poznámka 3.2 (geometrická představa). Geometricky lze graf funkce dvou proměnných chápat jako plochu v trojrozměrném prostoru, popsaném souřadnicemi \( \displaystyle x\), \( \displaystyle y\) a \( \displaystyle z\). Vrstevnice na úrovni \( \displaystyle C\) je potom křivka, která je řezem grafu funkce rovinou \( \displaystyle z = C\), tj. vodorovnou rovinou, procházející bodem \( \displaystyle [0,0,C]\).

Motivace. Zatímco v diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné je limita zcela zásadním pojmem, v diferenciálním počtu funkcí dvou a více proměnných je limita nepoměrně obtížnější pojem⁴ . Proto se také limita funkce více proměnných používá poměrně zřídka. Například derivace funkce více proměnných není definována pomocí limity funkce více proměnných, ale pouze pomocí limity funkce jedné proměnné.

Definice 3.3 (limita). Nechť \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}\) je funkce \( \displaystyle n\) proměnných definovaná v nějakém ryzím okolí bodu \( \displaystyle A\in \mathbb{R}^{n}\). Řekneme, že funkce \( \displaystyle f\) má v bodě \( \displaystyle A\) limitu rovnu číslu \( \displaystyle L\in \mathbb{R}\), jestliže pro každé okolí \( \displaystyle O(L)\) bodu \( \displaystyle L\) existuje ryzí okolí \( \displaystyle O(A)\) bodu \( \displaystyle A\) takové, že obrazy všech bodů z tohoto ryzího okolí bodu \( \displaystyle A\) leží v okolí bodu \( \displaystyle L\), tj. pro všechna \( \displaystyle X\in O(A)\) platí \( \displaystyle f(X)\in O(L)\). Píšeme

\[ \lim _{X\to A}f(X) = L. \]

Poznámka 3.3. V případě limity funkce dvou proměnných \( \displaystyle f(x,y)\) píšeme pro limitu v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) pro konkrétnost

\[ \lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y) = L. \]

Poznámka 3.4. Podobně jako pro funkci jedné proměnné platí:

Má-li funkce limitu, je limita v tomto bodě určena jednoznačně, tj. existuje-li číslo \( \displaystyle L\), splňující definici limity, je toto číslo jediné s danou vlastností.
Limita součtu (součinu, rozdílu, podílu) je rovna součtu (součinu, rozdílu, podílu) jednotlivých limit, pokud tyto jednotlivé limity existují a příslušná operace je definována, tj. nejedná se o operaci typu \( \displaystyle \pm \infty ∓\infty \), \( \displaystyle 0\infty \), \( \displaystyle { \pm \infty \over \pm \infty } \), \( \displaystyle { k \over 0} \), \( \displaystyle { 0 \over 0} \).
Na rozdíl od funkce jedné proměnné u funkce více proměnných neexistuje analogie l’Hospitalova pravidla pro výpočet ”neurčitých výrazů”.

V bodě, kde funkce má limitu, funkce nemusí být definována. Jestliže v tomto bodě funkce definována je, funkční hodnota nemá žádný vliv na existenci ani hodnotu limity. Je-li však funkční hodnota a hodnota limity stejná, je funkce do jisté míry pěkná – je spojitá.

Definice 3.4 (spojitost). Řekneme, že funkce \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}\) je spojitá v bodě \( \displaystyle A\), jestliže

existuje \( \displaystyle f(A)\), tj . funkce \( \displaystyle f\) je v bodě \( \displaystyle A\) definovaná,
existuje \( \displaystyle \lim _{X\to A}f(X)\), tj. funkce \( \displaystyle f\) má v bodě \( \displaystyle A\) limitu,
platí \( \displaystyle f(A) =\lim _{X\to A}f(X)\).

Řekneme, že funkce \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}\) je spojitá na otevřené množině \( \displaystyle M\), je-li spojitá ve všech bodech množiny \( \displaystyle M\)

Poznámka 3.5. Jak jsme poznamenali, s limitou funkce dvou a více proměnných se pracuje poměrně obtížně. Následující věta uvádí jednu z možností jak ekvivalentně definovat spojitost bez použití pojmu limita.

Věta 3.1 (ekvivalentní definice spojitosti). Nechť \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}\) je funkce \( \displaystyle n\) proměnných definovaná v nějakém okolí bodu \( \displaystyle A\in \mathbb{R}^{n}\). Řekneme, že funkce \( \displaystyle f\) je v bodě \( \displaystyle A\) spojitá, jestliže pro každé okolí \( \displaystyle O(f(A))\) bodu \( \displaystyle f(A)\) existuje okolí \( \displaystyle O(A)\) bodu \( \displaystyle A\) takové, že obrazy všech bodů z tohoto okolí bodu \( \displaystyle A\) leží v okolí bodu \( \displaystyle O(f(A))\), tj. pro všechna \( \displaystyle X\in O(A)\) platí \( \displaystyle f(X)\in O(f(A))\).

Zjišťovat spojitost pomocí definice, případně pomocí předchozí věty, je značně nepraktické a složité. Následující věta však ukazuje, že v praxi pracujeme téměř výhradně se spojitými funkcemi. Přesněji: funkce reprezentované výrazem konečné délky sestaveným z funkcí uvedených v následujícím výčtu jsou spojité všude, kde jsou definované.

Věta 3.2 (spojitost elementárních funkcí). Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce, obecná mocnina a dále všechny funkce, které z nich získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem jsou spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.

Poznámka 3.6. V praxi tedy limitu výše uvedených funkcí umíme vypočítat dosazením. Pouze, pokud to ”nelze”, tj. pokud bod, v němž počítáme limitu, není v definičním oboru funkce, musí se tato limitu počítat jinak a situace se liší případ od případu (připomínám, že u funkcí více proměnných neexistuje obdoba l’Hospitalova pravidla). U funkcí více proměnných se limitou zabýváme spíše výjimečně.

Nejdůležitější aplikací limit u funkce jedné proměnné byla možnost definovat rychlost růstu této funkce jako směrnici tečny a směrnici tečny počítat jako limitu ze směrnic sečny ke grafu funkce.

Prochází-li funkce bodem \( \displaystyle (x,f(x))\) a bodem \( \displaystyle (x +\Delta x,f(x +\Delta x))\), je směrnice sečny procházející těmito body rovna podílu \( \displaystyle { f(x +\Delta x) - f(x) \over \Delta x} \). Směrnice tečny (a tedy i rychlost růstu) v bodě \( \displaystyle x\) je potom limita

\[ \lim _{\Delta x\to 0}{ f(x +\Delta x) - f(x) \over \Delta x} . \]

Do jisté míry analogický postup použijeme i u funkce jedné proměnné. Že je situace komplikovanější očekává každý, kdo někdy stál na nerovné ploše – jiným směrem je to ”co nejrychleji dolů”⁵ , jiným směrem to je ”po vrstevnici” a jiným směrem to je ”strmě vzhůru”⁶ . To, zda funkční hodnoty rostou a klesají a jak rychle, tedy závisí na směru, kterým se díváme. My se budeme zabývat tím, jaká je rychlost růstu ve dvou význačných směrech – rovnoběžně s každou ze souřadných os.

Definice 3.5 (parciální derivace). Nechť \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}\) je funkce dvou proměnných. Řekneme, že funkce má v bodě \( \displaystyle (x,y)\) parciální derivaci podle proměnné \( \displaystyle x\) rovnu číslu \( \displaystyle f'_{x}(x,y)\), jestliže existuje konečná limita

\[ f'_{x}(x,y) =\lim _{\Delta x\to 0}{ f(x +\Delta x,y) - f(x,y) \over \Delta x} . \]

Řekneme, že funkce má na otevřené množině \( \displaystyle M\) parciální derivaci podle \( \displaystyle x\), jestliže má v každém bodě množiny \( \displaystyle M\) parciální derivaci podle \( \displaystyle x\). Předpisem, který každému bodu takovéto množiny \( \displaystyle M\) přiřadí hodnotu parciální derivace podle \( \displaystyle x\) v tomto bodě je definována funkce nazývaná parciální derivace podle \( \displaystyle x\). Podobně definujeme parciální derivaci podle \( \displaystyle y\) pomocí limity

\[ f'_{y}(x,y) =\lim _{\Delta y\to 0}{ f(x,y +\Delta y) - f(x,y) \over \Delta y} . \]

Opětovným derivováním těchto funkcí dostáváme druhé a vyšší derivace (podobně jako v jednorozměrném případě).

Podle definice vidíme, že při parciální derivaci podle \( \displaystyle x\) se vlastně jedná o to, že na funkci dvou proměnných \( \displaystyle f : z = f(x,y)\) pohlížíme pouze jako na funkci proměnné \( \displaystyle x\), proměnné \( \displaystyle y\) si nevšímáme⁷ a derivace této funkce (ve smyslu derivace funkce jedné proměnné) je parciální derivace funkce \( \displaystyle f\) podle proměnné \( \displaystyle x\). Podobně, pohlížíme-li na funkci \( \displaystyle f\) pouze jako na funkci proměnné \( \displaystyle y\), je derivace této funkce jedné proměnné parciální derivací funkce \( \displaystyle f\) podle \( \displaystyle y\). Zcela analogicky definujeme parciální derivace funkcí \( \displaystyle n\) proměnných.

Poznámka 3.7. Derivaci funkce \( \displaystyle z = f(x,y)\) podle \( \displaystyle x\) označujeme též \( \displaystyle f_{x}\), \( \displaystyle z'_{x}\), \( \displaystyle z_{x}\), \( \displaystyle { \partial\, f \over \partial\, x} \), \( \displaystyle { \partial\, z \over \partial\, x} \). Podobně pro derivaci podle \( \displaystyle y\). Druhé derivace označujeme \( \displaystyle z''_{xx}\), \( \displaystyle f''_{yy}\), \( \displaystyle z''_{xy}\), \( \displaystyle { \partial\, ^{2}z \over \partial\, x\partial\, y} \), \( \displaystyle { \partial\, ^{2}z \over \partial\, y^{2}} \) a podobně.

Druhé parciální derivace funkce dvou proměnných jsou celkem čtyři. Následující věta ukazuje, že smíšené druhé derivace jsou většinou totožné, tj. že druhé derivace existují ve většině případů pouze tři.

Věta 3.3 (Schwarzova věta). Jsou-li parciální derivace \( \displaystyle f''_{xy}\) a \( \displaystyle f''_{yx}\) definované a spojité na otevřené množině \( \displaystyle M\), pak jsou totožné, tj. pro všechna \( \displaystyle (x,y)\in M\) platí

\[ f''_{xy}(x,y) = f''_{yx}(x,y). \]

V praxi jsou předpoklady předchozí věty téměř bez výjimky splněny a větu je možné zobecnit pro derivace libovolného řádu. Není proto nutné rozlišovat při derivování pořadí, podle kterého derivujeme, ale pouze počet kolikrát derivujeme podle \( \displaystyle x\) a kolikrát podle \( \displaystyle y\).

Poznámka 3.8 (praktický výpočet parciální derivace). Poznamenejme ještě že při praktickém výpočtu používáme pro výpočet parciálních derivací tatáž pravidla jako pro výpočet obyčejných derivací, tj. používáme vzorce pro derivaci součinu, podílu, složené funkce, součtu, rozdílu apod. Oprávněnost tohoto postupu je dána faktem, že parciální derivace funkce více proměnných je podle definice rovna (obyčejné) derivaci této funkce podle uvažované proměnné, pokud na ostatní proměnné pohlížíme jako na parametry a pracujeme s nimi tedy analogicky jako s reálnými konstantami.

Definice 3.6 (hladké funkce). Buď \( \displaystyle M\) otevřená množina. Řekneme, že funkce \( \displaystyle f\) je hladká na \( \displaystyle M\), jestliže má na množině \( \displaystyle M\) spojité všechny parciální derivace prvního řádu. Řekneme, že funkce \( \displaystyle f\) je na \( \displaystyle M\) hladká řádu \( \displaystyle k\), jestliže má na množině \( \displaystyle M\) spojité všechny parciální derivace do řádu \( \displaystyle k\) včetně. Množinu spojitých funkcí na \( \displaystyle M\) označujeme \( \displaystyle C(M)\), množinu hladkých funkcí \( \displaystyle C^{1}(M)\), množinu hladkých funkcí řádu \( \displaystyle k\) označujeme \( \displaystyle C^{k}(M)\).

Poznámka 3.9 (důsledky existence a spojitosti parciálních derivací). V bodě, ve kterém má funkce jedné proměnné derivaci, je funkce spojitá a má tečnu. U funkce více proměnných podobná věta neplatí, z existence parciálních derivací neplyne spojitost. Spojitost plyne až z existence a spojitosti parciálních derivací. Následující věta udává, že funkce hladké v okolí nějakého bodu jsou v tomto bodě spojité, mají tomto bodě tečnou rovinu a funkční hodnoty těchto funkcí lze aproximovat funkčními hodnotami na této tečné rovině.

Věta 3.4 (dostatečná podmínka spojitosti, lineární aproximace funkce pomocí parciálních derivací). Nechť funkce \( \displaystyle f\) má definované a spojité parciální derivace v okolí bodu \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\). Potom platí následující.

Funkce \( \displaystyle f\) je v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) spojitá.
Rovina o rovnici
\[ z = f(x_{0},y_{0}) + f'_{x}(x_{0},y_{0})(x - x_{0}) + f'_{y}(x_{0},y_{0})(y - y_{0}) \]

je tečná rovina ke grafu funkce \( \displaystyle f\) v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))\)
Platí přibližný vzorec
\[ f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0}) + f'_{x}(x_{0},y_{0})(x - x_{0}) + f'_{y}(x_{0},y_{0})(y - y_{0}). \]

V tomto vzorci je přesnost tím větší, čím
- je menší vzdálenost bodů \( \displaystyle (x,y)\) a \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\),
- jsou menší druhé derivace funkce \( \displaystyle f\) (pokud existují).

Poznámka 3.10 (tečná rovina). Pozorný čtenář si jistě všiml, že jsme nedefinovali pojem ”tečná rovina”. Definici tohoto pojmu je poněkud komplikovaná, jedná se však pouze o rigorózní vyjádření toho, co si pod tímto pojmem zpravidla představuje člověk, jež má zkušenosti například s tečnou rovinou ke kouli. Protože se snažíme náš výklad co nejméně formalizovat, budeme se spoléhat jenom na tuto intuitivní představu tečné roviny.

Definice 3.7 (totální diferenciál, kmenová funkce). Nechť \( \displaystyle f(x,y)\) je funkce dvou proměnných, která má spojité parciální derivace. Výraz

\[ \, \mathrm{d}f(x,y) = f'_{x}(x,y)\, \mathrm{d}x + f'_{y}(x,y)\, \mathrm{d}y \]

(3.1)

se nazývá totální diferenciál funkce \( \displaystyle f(x,y)\). Funkce \( \displaystyle f(x,y)\) se nazývá kmenová funkce tohoto diferenciálu.

Věta 3.5 (charakterizace totálního diferenciálu). Nechť funkce \( \displaystyle P(x,y)\) a \( \displaystyle Q(x,y)\) mají spojité parciální derivace na otevřené souvislé množině \( \displaystyle M\). Výraz

\[ P(x,y)\, \mathrm{d}x + Q(x,y)\, \mathrm{d}y \]

je totálním diferenciálem nějaké funkce na množině \( \displaystyle M\) právě tehdy, když platí

\[ { \partial\, P(x,y) \over \partial\, y} ={ \partial\, Q(x,y) \over \partial\, x} . \]

Poznámka 3.11 (funkce zadaná implicitně). Uvažujme funkci \( \displaystyle f(x,y)\) dvou proměnných, splňující v nějakém bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) podmínku \( \displaystyle f(x_{0},y_{0}) = 0\) a mající v okolí bodu \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) spojité parciální derivace.

Rovnice \( \displaystyle f(x,y) = 0\) vrstevnice na úrovni \( \displaystyle 0\) popisuje křivku procházející bodem \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\).
Dosadíme-li \( \displaystyle z = 0\) v rovnici tečné roviny ke grafu funkce v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}) = 0)\), obdržíme rovnici přímky v rovině \( \displaystyle z = 0\) (tj. v rovině obsahující osy \( \displaystyle x\) a \( \displaystyle y\))
\[ f'_{x}(x_{0},y_{0})(x - x_{0}) + f'_{y}(x_{0},y_{0})(y - y_{0}) = 0, \] (3.2)

která je tečnou k uvažované vrstevnici.
Normálový vektor této přímky, tj. vektor \( \displaystyle \vec{n} = (f'_{x}(x_{0},y_{0}),f'_{y}(x_{0},y_{0}))\), se nazývá gradient funkce \( \displaystyle f\) v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\), označujeme jej \( \displaystyle \text{grad}f\), nebo \( \displaystyle \nabla f\). Jedná se o vektor kolmý v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) k uvažované vrstevnici na úrovni \( \displaystyle 0\). Tento vektor udává směr, ve kterém funkce \( \displaystyle f\) nejrychleji roste.
Platí-li \( \displaystyle f'_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\) (tj. není-li tečna (3.2) svislá přímka bez směrnice), je rovnicí \( \displaystyle f(x,y) = 0\) v okolí bodu \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) implicitně určena právě jedna spojitá funkce \( \displaystyle y = g(x)\) (tj. vrstevnice je v okolí bodu \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) grafem nějaké spojité funkce \( \displaystyle g\)).
Funkce \( \displaystyle g\) z předchozího bodu má v \( \displaystyle x_{0}\) derivaci, která je rovna je směrnici tečny (3.2), tj. platí
\[ g'(x_{0}) = -{ f'_{x}(x_{0},y_{0}) \over f'_{y}(x_{0},y_{0})} \]