2 Základní topologické pojmy
V této podkapitole si vyjádříme přesně, co znamenají intuitivně
známé pojmy jako “ohraničená množina” nebo “hranice a vnitřek
množiny”. Jediný pojem, o který se přitom můžeme opřít, je
poměrně obecný pojem vzdálenost a z něj odvozený pojem okolí.
Uvidíme však, že tyto pojmy jsou pro daný účel zcela dostatečné.
Výhoda použití těchto obecných pojmů je, že níže
uvedené definice platí při libovolné (i neeuklidovské) volbě metriky
\( \displaystyle \rho \) a jsou
přenositelné i do zcela abstraktních metrických prostorů.
V následujících definicích je \( \displaystyle X\in \mathbb{E}^{n}\) bod a \( \displaystyle M\subseteq \mathbb{E}^{n}\) podmnožina v Euklidovském prostoru \( \displaystyle \mathbb{E}^{n}\).
Bod, který není hromadný, tedy leží relativně daleko od ostatních bodů. Například izolovaný bod zcela jistě není hromadný.
Definice 2.4 (vnitřní bod, vnitřek, otevřená množina). Bod \( \displaystyle X\) se nazývá vnitřním bodem množiny \( \displaystyle M\), jestliže \( \displaystyle X\in M\) a existuje nějaké okolí \( \displaystyle O(X)\) bodu \( \displaystyle X\) ležící celé v množině \( \displaystyle M\), tj. \( \displaystyle O(X)\subseteq M\). Množina všech vnitřních bodů množiny \( \displaystyle M\) se nazývá vnitřek množiny \( \displaystyle M\) a označuje \( \displaystyle M^{o}\). Je-li množina \( \displaystyle M\) totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny \( \displaystyle M\) vnitřní, říkáme, že množina \( \displaystyle M\) je otevřená.
Vnitřní bod množiny \( \displaystyle M\) je tedy bod, který je relativně daleko od bodů nepatřících do \( \displaystyle M\). Je obklopen pouze body z množiny \( \displaystyle M\) a všechno ostatní je dál než nějaké kladné číslo.
Definice 2.5 (hraniční bod, hranice). Bod \( \displaystyle X\) se nazývá hraničním bodem množiny \( \displaystyle M\), jestliže každé okolí bodu \( \displaystyle X\) obsahuje alespoň jeden bod ležící v množině \( \displaystyle M\) a současně alespoň jeden bod neležící v množině \( \displaystyle M\). Množina všech hraničních bodů množiny \( \displaystyle M\) se nazývá hranice množiny \( \displaystyle M\) a označuje \( \displaystyle \partial\, M\).
Definice 2.6 (uzávěr, uzavřená množina). Uzávěrem množiny \( \displaystyle M\) rozumíme množinu \( \displaystyle M\) definovanou jako sjednocení vnitřku a hranice množiny \( \displaystyle M\), tj. \( \displaystyle M = M^{o}\cup \partial\, M\). Je-li množina totožná se svým uzávěrem (tj. obsahuje-li všechny své hraniční body), nazývá se uzavřená.
Hranice množiny \( \displaystyle M\) je tedy množina bodů, které leží ”nekonečně blízko”2 bodům množiny \( \displaystyle M\) a současně ”nekonečně blízko” k bodům mimo množinu \( \displaystyle M\). Uzávěr množiny \( \displaystyle M\) je potom množina obsahující body množiny \( \displaystyle M\) a body ležící ”nekonečně blízko” k množině \( \displaystyle M\).
Poznámka 2.1. Nedefinovali jsme ovšem pojem lomená čára. Pro prostory dimenze \( \displaystyle 2\) a \( \displaystyle 3\) pojmu intuitivně rozumíme a pro prostory vyšší dimenze jej používat nebudeme. Zájemce o tuto problematiku najde poučení v odborné literatuře.
Definice 2.8 (oblast, uzavřená oblast, kompaktní množina). Otevřená souvislá množina se nazývá oblast. Uzavřená souvislá množina se nazývá uzavřená oblast. Uzavřená ohraničená množina se nazývá kompaktní.
Poznámka 2.2. Je-li \( \displaystyle X\in M\), je bod \( \displaystyle X\) buď hraničním bodem, nebo vnitřním bodem množiny \( \displaystyle M\).