8 Homogenní LDR 2. řádu s konstantními koeficienty
Budeme studovat rovnici tvaru
| \[ y'' + py' + qy = 0, \] | (LH2) |
kde \( \displaystyle p,q\in \mathbb{R}\). Všimněme si nejprve následujícího faktu: Dosadíme-li do levé strany rovnice \( \displaystyle y = e^{zx}\), kde \( \displaystyle z\) je reálné číslo, po výpočtu derivací a po vytknutí faktoru \( \displaystyle e^{zx}\) získáváme
| \[ y'' + py' + qy = e^{zx}(z^{2} + pz + q). \] |
Protože exponenciální faktor na pravé straně je vždy nenulový, bude výraz na pravé straně roven nule pokud bude splněna podmínka
| \[ z^{2} + pz + q = 0. \] | (8.1) |
Pouze v tomto případě bude uvažovaná funkce řešením rovnice (LH2).
Věta 8.1 (fundamentální systém řešení LDR s konstantními koeficienty). Uvažujme DR (LH2) a její charakteristickou rovnici (8.1).
- Jsou-li \( \displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb{R}\) dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice (8.1), definujme \( \displaystyle \class{boxed}{y_{1} = e^{z_{1}x} }\) a \( \displaystyle \class{boxed}{y_{2} = e^{z_{2}x} }.\)
- Je-li \( \displaystyle z_{1}\in \mathbb{R}\) dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (8.1), definujme \( \displaystyle \class{boxed}{y_{1} = e^{z_{1}x} }\) a \( \displaystyle \class{boxed}{y_{2} = xe^{z_{1}x} }.\)
- Jsou-li \( \displaystyle z_{1,2} =\alpha \pm i\beta \not \in \mathbb{R}\) dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice (8.1), definujme \( \displaystyle \class{boxed}{y_{1}(x) = e^{\alpha x}\cos (\beta x) }\) a \( \displaystyle \class{boxed}{y_{2}(x) = e^{\alpha x}\sin (\beta x) }.\)
Potom obecné řešení rovnice (LH2) je
| \[ y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R}. \] |
