Homogenni LDR 2. radu

7 Homogenní LDR 2. řádu

V této podkapitole budeme studovat homogenní LDR druhého řádu, tj. rovnici (6.4)

$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,$

kterou můžeme zkráceně zapsat jako $\displaystyle L[y] = 0$ , kde operátor $\displaystyle L$ je lineární diferenciální operátor druhého řádu definovaný vztahem (6.3).

Budeme předpokládat že funkce $\displaystyle y_{1}(x)$ a $\displaystyle y_{2}(x)$ jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce

$y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)$

obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme

$y'(x) = C_{1}y'_{1}(x) + C_{2}y'_{2}(x)$

a dosazení počátečních podmínek $\displaystyle y(\alpha ) =\beta$ , $\displaystyle y'(\alpha ) = γ$ vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými $\displaystyle C_{1}$ , $\displaystyle C_{2}$

$\begin{aligned}\beta & = C_{1}y_{1}(\alpha ) + C_{2}y_{2}(\alpha ),& \\γ& = C_{1}y'_{1}(\alpha ) + C_{2}y'_{2}(\alpha ). \\ \end{aligned}$

(7.1)

Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle γ$ právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice $\displaystyle \left (\array{ y_{1}(\alpha )& y_{2}(\alpha ) \cr y_{1}'(\alpha )& y_{2}'(\alpha )} \right ),$ je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Tímto motivujeme následující definice.

Buďte $\displaystyle y_{1}$ a $\displaystyle y_{2}$ funkce definované na intervalu $\displaystyle I$ . Řekneme, že funkce $\displaystyle y_{1}$ a $\displaystyle y_{2}$ jsou na intervalu $\displaystyle I$ lineárně z, jestliže jedna z nich je na intervalu $\displaystyle I$ násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo $\displaystyle k\in \mathbb{R}$ s vlastností

$y_{1}(x) = ky_{2}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$},$

nebo

$y_{2}(x) = ky_{1}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}.$

V opačném případě říkáme, že funkce $\displaystyle y_{1}$ , $\displaystyle y_{2}$ jsou na intervalu $\displaystyle I$ lineárně nezávislé.

Buďte $\displaystyle y_{1}(x)$ a $\displaystyle y_{2}(x)$ dvě libovolná řešení homogenní rovnice (6.4). funkcí $\displaystyle y_{1}(x)$ , $\displaystyle y_{2}(x)$ rozumíme determinant

$W[y_{1},y_{2}](x) = \left \vert \array{ y_{1}(x)& y_{2}(x) \cr y_{1}'(x)& y_{2}'(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}'(x)-y_{1}'(x)y_{2}(x).$

(7.2)

Buďte $\displaystyle y_{1}(x)$ a $\displaystyle y_{2}(x)$ dvě řešení rovnice (6.4) na intervalu $\displaystyle I$ . Tato řešení jsou lineárně nezávislá právě tehdy když je jejich Wronskián různý od nuly na intervalu $\displaystyle I$ .

Jsou-li $\displaystyle y_{1}$ a $\displaystyle y_{2}$ dvě netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (6.4) na intervalu $\displaystyle I$ , je funkce $\displaystyle y$ definovaná vztahem

$y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R},$

(7.3)

obecným řešením rovnice (6.4) na intervalu $\displaystyle I$ .

Dvojici funkcí $\displaystyle y_{1}$ a $\displaystyle y_{2}$ z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (6.4).