Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2012 |
V této podkapitole budeme studovat homogenní LDR druhého řádu, tj. rovnici (6.4)
y″ |
kterou můžeme zkráceně zapsat jako \displaystyle L[y] = 0, kde operátor \displaystyle L je lineární diferenciální operátor druhého řádu definovaný vztahem (6.3).
Motivace. Budeme předpokládat že funkce \displaystyle y_{1}(x) a \displaystyle y_{2}(x) jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce
y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x) |
obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme
y'(x) = C_{1}y'_{1}(x) + C_{2}y'_{2}(x) |
a dosazení počátečních podmínek \displaystyle y(\alpha ) =\beta , \displaystyle y'(\alpha ) = γ vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými \displaystyle C_{1}, \displaystyle C_{2}
\begin{aligned}\beta & = C_{1}y_{1}(\alpha ) + C_{2}y_{2}(\alpha ),& \\γ& = C_{1}y'_{1}(\alpha ) + C_{2}y'_{2}(\alpha ). \\ \end{aligned} | (7.1) |
Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel \displaystyle \beta , \displaystyle γ právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice \displaystyle \left (\array{ y_{1}(\alpha )& y_{2}(\alpha ) \cr y_{1}'(\alpha )& y_{2}'(\alpha )} \right ), je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Tímto motivujeme následující definice.
Definice 7.1 (lineární (ne-)závislost funkcí). Buďte \displaystyle y_{1} a \displaystyle y_{2} funkce definované na intervalu \displaystyle I. Řekneme, že funkce \displaystyle y_{1} a \displaystyle y_{2} jsou na intervalu \displaystyle I lineárně závislé, jestliže jedna z nich je na intervalu \displaystyle I násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo \displaystyle k\in \mathbb{R} s vlastností
y_{1}(x) = ky_{2}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}, |
nebo
y_{2}(x) = ky_{1}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}. |
V opačném případě říkáme, že funkce \displaystyle y_{1}, \displaystyle y_{2} jsou na intervalu \displaystyle I lineárně nezávislé.
Definice 7.2 (Wronskián). Buďte \displaystyle y_{1}(x) a \displaystyle y_{2}(x) dvě libovolná řešení homogenní rovnice (6.4). Wronskiánem funkcí \displaystyle y_{1}(x), \displaystyle y_{2}(x) rozumíme determinant
W[y_{1},y_{2}](x) = \left \vert \array{ y_{1}(x)& y_{2}(x) \cr y_{1}'(x)& y_{2}'(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}'(x)-y_{1}'(x)y_{2}(x). | (7.2) |
Věta 7.2 (obecné řešení homogenní LDR). Jsou-li
\displaystyle y_{1} a
\displaystyle y_{2} dvě
netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (6.4) na intervalu
\displaystyle I, je
funkce \displaystyle y
definovaná vztahem
y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R}, | (7.3) |
obecným řešením rovnice (6.4) na intervalu \displaystyle I.
Definice 7.3 (fundamentální systém řešení). Dvojici funkcí \displaystyle y_{1} a \displaystyle y_{2} z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (6.4).
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta Mendelovy univerzity v Brně | © 2007-2012 |