7 Homogenní LDR 2. řádu
V této podkapitole budeme studovat homogenní LDR druhého řádu, tj. rovnici (6.4)
| \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \] |
kterou můžeme zkráceně zapsat jako \( \displaystyle L[y] = 0\), kde operátor \( \displaystyle L\) je lineární diferenciální operátor druhého řádu definovaný vztahem (6.3).
Motivace. Budeme předpokládat že funkce \( \displaystyle y_{1}(x)\) a \( \displaystyle y_{2}(x)\) jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce
| \[ y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x) \] |
obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme
| \[ y'(x) = C_{1}y'_{1}(x) + C_{2}y'_{2}(x) \] |
a dosazení počátečních podmínek \( \displaystyle y(\alpha ) =\beta \), \( \displaystyle y'(\alpha ) = γ\) vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými \( \displaystyle C_{1}\), \( \displaystyle C_{2}\)
| \[ \begin{aligned}\beta & = C_{1}y_{1}(\alpha ) + C_{2}y_{2}(\alpha ),& \\γ& = C_{1}y'_{1}(\alpha ) + C_{2}y'_{2}(\alpha ). \\ \end{aligned} \] | (7.1) |
Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel \( \displaystyle \beta \), \( \displaystyle γ\) právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice \( \displaystyle \left (\array{ y_{1}(\alpha )& y_{2}(\alpha ) \cr y_{1}'(\alpha )& y_{2}'(\alpha )} \right ),\) je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Tímto motivujeme následující definice.
Definice 7.1 (lineární (ne-)závislost funkcí). Buďte \( \displaystyle y_{1}\) a \( \displaystyle y_{2}\) funkce definované na intervalu \( \displaystyle I\). Řekneme, že funkce \( \displaystyle y_{1}\) a \( \displaystyle y_{2}\) jsou na intervalu \( \displaystyle I\) lineárně závislé, jestliže jedna z nich je na intervalu \( \displaystyle I\) násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo \( \displaystyle k\in \mathbb{R}\) s vlastností
| \[ y_{1}(x) = ky_{2}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}, \] |
nebo
| \[ y_{2}(x) = ky_{1}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}. \] |
V opačném případě říkáme, že funkce \( \displaystyle y_{1}\), \( \displaystyle y_{2}\) jsou na intervalu \( \displaystyle I\) lineárně nezávislé.
Definice 7.2 (Wronskián). Buďte \( \displaystyle y_{1}(x)\) a \( \displaystyle y_{2}(x)\) dvě libovolná řešení homogenní rovnice (6.4). Wronskiánem funkcí \( \displaystyle y_{1}(x)\), \( \displaystyle y_{2}(x)\) rozumíme determinant
| \[ W[y_{1},y_{2}](x) = \left \vert \array{ y_{1}(x)& y_{2}(x) \cr y_{1}'(x)& y_{2}'(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}'(x)-y_{1}'(x)y_{2}(x). \] | (7.2) |
Věta 7.2 (obecné řešení homogenní LDR). 
Jsou-li
\( \displaystyle y_{1}\) a
\( \displaystyle y_{2}\) dvě
netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (6.4) na intervalu
\( \displaystyle I\), je
funkce \( \displaystyle y\)
definovaná vztahem
| \[ y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R}, \] | (7.3) |
obecným řešením rovnice (6.4) na intervalu \( \displaystyle I\).
Definice 7.3 (fundamentální systém řešení). Dvojici funkcí \( \displaystyle y_{1}\) a \( \displaystyle y_{2}\) z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (6.4).