9 Nehomogenní LDR 2. řádu
Nyní se budeme věnovat řešení nehomogenní diferencální rovnice.
Věta 9.1 (důsledek principu superpozice).
Součet libovolného partikulárního řešení nehomogenní
lineární diferenciální rovnice a
obecného řešení asociované homogenní rovnice je obecným
řešením původní nehomogenní rovnice
Podle předchozí věty tedy k vyřešení lineární nehomogenní
rovnice stačí nalézt jedno (partikulární) řešení
této rovnice a obecné řešení asociované homogenní rovnice.
Příklad 9.1. Jedním z řešení rovnice
| \[ y'' + y = 6 \] |
je zcela jistě funkce \( \displaystyle y(x) = 6\). (Vidíme přímo po dosazení.) Obecné řešení je tedy
| \[ y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 6 \] |
Vyřešení asociované homogenní rovnice je bohužel prakticky možné pouze v některých speciálních případech, jako je například rovnice s konstantními koeficienty
| \[ y'' + py' + qy = f(x) \] | (L2) |
(u rovnic s konstantními koeficienty řešíme asociovanou homogenní rovnici pomocí charakteristické rovnice a Věty 8.1 )
Jak najít partikulární řešení?
- Metoda variace konstant – podobná jako u LDR prvního řádu. Konstanty v obecném řešení nahradíme funkcemi, které jsme schopni najít (po vyřešení soustavy rovnic a dvojí integraci).
- Metoda kvalifikovaného odhadu – pokud je pravá strana do jisté míry speciální, je možno partikulární řešení uhodnout. Je-li pravá strana rovnice polynom, exponenciální funkce nebo sinus či kosinus (případně součin či součet uvedených funkcí) je možno odhadnout “hrubý tvar” partikulárního řešení (až na nějaké konstanty) a tento potom pouze jemně “doladit” tak, abychom obdrželi skutečně řešení naší rovnice.
Věta 9.2 (odhad partikulárního řešení). Nechť pravá strana rovnice (L2) má tvar \( \displaystyle f(x) = e^{\alpha x}{\Bigl (P_{n}(x)\cos (\beta x) + Q_{m}(x)\sin (\beta x)\Bigr )},\) kde \( \displaystyle P_{n}(x)\) je polynom stupně \( \displaystyle n\) a \( \displaystyle Q_{m}(x)\) je polynom stupně \( \displaystyle m\).
- Označme \( \displaystyle k =\mathop{ max}\{n,m\}\) větší ze stupňů obou polynomů. Pokud některý z polynomů na pravé straně nefiguruje, dosazujeme za jeho stupeň nulu.
- Uvažujme charakteristickou rovnici pro asociovanou homogenní rovnici, tj. rovnici (8.1). Pokud (obecně komplexní) číslo \( \displaystyle \alpha + i\beta \) není kořenem této rovnice, položme \( \displaystyle r = 0\). Pokud je číslo \( \displaystyle \alpha + i\beta \) jednoduchým kořenem této rovnice, položme \( \displaystyle r = 1\) a pokud dvojnásobným, položme \( \displaystyle r = 2.\)
Partikulární řešení je možno nalézt ve tvaru
| \[ y_{p}(x) = e^{\alpha x}x^{r}{\Bigl (\widehat{P}_{ k}(x)\cos (\beta x) +\widehat{ Q}_{k}(x)\sin (\beta x)\Bigr )}, \] | (9.1) |
kde \( \displaystyle \widehat{P}_{k}(x)\) a \( \displaystyle \widehat{Q}_{k}(x)\) jsou polynomy stupně nejvýše \( \displaystyle k\). Tyto polynomy je možno najít metodou neurčitých koeficientů bez použití integrování.
- Pokud se exponenciální část na pravé straně nevyskytuje, je
\( \displaystyle \alpha = 0\) a proto
je \( \displaystyle e^{\alpha x} = 1\)
a exponenciální člen se neuplatní. Například u
diferenciální rovnice
\[ y'' + 2y' + 3y = (x^{2} + 4)\cos (x) + (x - 2)\sin (x) \] hledáme partikulární řešení ve tvaru \( \displaystyle y_{p} = (ax^{2} + bx + c)\cos (x) + (dx^{2} + ex + f)\sin (x)\). Všimněme si, že v partikulárním řešení u funkce \( \displaystyle \sin (x)\) figuruje kvadratický polynom, i když na pravé straně rovnice je pouze polynom lineární. To proto, že oba polynomy v obecném tvaru partikulárního řešení mají stejný stupeň, který je roven většímu ze stupňů polynomu na pravé straně rovnice.
- Pokud se goniometrická část na pravé straně nevyskytuje, je
\( \displaystyle \beta = 0\). Odsud potom
plyne, že \( \displaystyle \cos (\beta x) = 1\),
\( \displaystyle \sin (\beta x) = 0\)
a ani goniometrická část, ani polynomy
\( \displaystyle Q(x)\) a
\( \displaystyle \widehat{Q}(x)\)
se neuplatní. Například u diferenciální rovnice
\[ y'' - y = (x + 1)e^{x} \] hledáme partikulární řešení ve tvaru \( \displaystyle y = x(ax + b)e^{x}\)
- Pokud je polynom \( \displaystyle Q(x)\)
roven nule, vyskytuje se na pravé straně jenom funkce kosinus. Podobné platí pro polynom
\( \displaystyle P(x)\) a sinus. I v
těchto případech se však v partikulárním řešení mohou vyskytnout
obě funkce \( \displaystyle \cos (\beta x)\)
i \( \displaystyle \sin (\beta x)\).
Například partikulární řešení rovnice
\[ y'' - y = x\sin (x) \] hledáme ve tvaru \( \displaystyle y_{p} = (ax + b)\cos (x) + (cx + d)\sin (x)\) (uvažujeme i část s funkcí sinus i přesto, že se funkce sinus na pravé straně rovnice vůbec nevyskytuje). Z tvrzení věty totiž nijak nevyplývá, že je-li \( \displaystyle Q(x) = 0\), platí totéž i pro \( \displaystyle \widehat{Q}(x)\).
Poznámka 9.2. Větu o odhadu partikulárního řešení je možno použít například pro rovnice
\[ \begin{array}{cl} y'' + y' =\sin (x),\quad y'' + 3y' + y ={ x\sin (x) \over e^{x}} ,\quad y'' + 3y' = -4,\quad y'' + 2y' + y = (x^{2} + 3)\cos (x)& \end{array} \](v druhé rovnici je \( \displaystyle \alpha = -1\)), ale není možno ji použít například na následující rovnice
\[ \begin{array}{cl} y'' + 4y' + 3y =\sin (x) + x^{2}\cos (2x),& \text{(9.2)} \\ y'' + y' - 3y =\ln x & \end{array} \](u první rovnice vadí odlišný argument u obou goniometrických funkcí, u druhé rovnice vadí funkce \( \displaystyle \ln (x)\)). Kromě výše uvedené věty je možno v literatuře najít i větu umožňující najít metodou neurčitých koeficientů najít řešení rovnice, kde pravá strana není přímo ve tvaru požadovaném ve Větě 9.2, ale je součtem několika různých výrazů v tomto tvaru. Tento postup umožní najít metodou neurčitých koeficientů i partikulární řešení rovnice (9.2).