Matematická sazba
Tato kapitola bude doplněna v nejbližší době. Prozatím využívejte učebnici nebo následující materiály:
1. Z fyziky víme, že velikost síly F vypočteme vztahem F = m . a, kde m je hmotnost tělesa a a je zrychlení. Jednotkou síly je 1 N (newton), jehož fyzikální rozměr odvodíme z předchozího vztahu: N = kg . m . s-2. 2. Vztahy pro povrch a objem koule jsou: S = 4 pi r2, V = 4/3 pi r3, po dosazení pro r=5,9 dostáváme výsledky: S=437,435 a V=860,29. 3. Takzvaná goniometrická jednička sin2 alpha + cos2 alpha = 1 nám pomáhá při řešení rovnic. 4. Limity typu 0/0 a */* počítáme L'Hospitalovým pravidlem, například ... a odsud další derivací dostáváme ... Derivace je principiálně popsána vztahem 3. 5. Pravděpodobnost výhry při losování k čísel z n možných lze vypočítat pomocí kombinačního čísla n/k. Například při losování 6 čísel ze 49 je ..., tedy 1 : 14 milionům. 6. Co je derivace f'(x)? Je to limita ..., což je v geometrické interpretaci směrnice tečny v bodě x. 7. Pro výpočet bitové šířky x desítkového čísla C řešíme nerovnici: ... 8. Nespojitá funkce g(xi) je definována takto: ... 9. Pro numerický integrál P diskrétní funkce g(x), jejíž hodnoty jsou dány tabulkou v bodech A, A+k, A+2k, ..., A+nk, B, kde k je krok tabulky, můžeme použít vztah pro lichoběžníkovou metodu: ... 10. Určitý integrál funkce je číslo, které představuje plochu ohraničenou funkcí, osou x a daným intervalem, například ... 11. Při řešení soustavy rovnic zapíšeme koeficienty do matice a provedeme naznačenou úpravu: [ a11 a12 ... a1m b1 a21 a22 ... a2m b2 ... ... ... ... ... an1 an2 ... anm bn ] ==> [ c11 c12 ... c1m d1 0 c22 ... c2m d2 ... ... ... ... ... 0 0 ... cnm dn ] 12. Koeficient materiálového namáhání vypočteme podle vztahu ..., kde B je měrná tepelná stabilita, S - plocha stěny, O - objem vzduchu v místnosti, tau0 - doba periodicity pochodu, V - objemový průtok vyměňovaného vzduchu.
Řešení
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{mujstyl}
\begin{document}
\begin{enumerate}
\item Z fyziky víme, že velikost síly $\vec{F}$ vypočteme
vztahem $F=m\cdot a$, kde $m$ je hmotnost tělesa a $a$ je
zrychlení. Jednotkou síly je 1\,N (newton), jehož
fyzikální rozměr odvodíme z předchozího vztahu:
$\mathrm{N = kg \cdot m \cdot s^{-2}}$.
\item Vztahy pro povrch a objem koule jsou:
$$
S = 4 \mathrm{\pi} r^2, \qquad
V = \frac{4}{3} \mathrm{\pi} r^3,
$$
po dosazení pro $r=5{,}9$ dostáváme výsledky:
$S\doteq 437{,}435$ a $V\doteq 860{,}29$.
\item Takzvaná \emph{goniometrická jednička}
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
nám pomáhá při řešení rovnic.
\item Limity typu $\frac{0}{0}$
a $\frac{\infty}{\infty}$ počítáme
L'H\^{o}spitalovým pravidlem, například
\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2-4x}{2x^2+3x-1} =
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{2x-4}{4x+3}
\end{equation}
a odsud další derivací dostáváme
\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{2x-4}{4x+3} =
\frac{1}{2}.
\end{equation}
Derivace je principiálně popsána vztahem \ref{der}.
\item Pravděpodobnost výhry při losování $k$ čísel z $n$
možných lze vypočítat pomocí kombinačního čísla
${n\choose k}$. Například při losování 6 čísel ze 49 je
$$
{49\choose 6} = \frac{49!}{43!\,6!} =
\frac{49\cdot 48\cdot \ldots\cdot 44}{6!} =
49\cdot 4\cdot 47\cdot 46\cdot 3\cdot 11 \doteq
14\cdot 10^6,
$$
tedy $1:14$ milionům.
\item Co je derivace $f'(x)$? Je to limita
\begin{equation}
\label{der}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}
\frac{f(x)-f(x+\Delta x)}{\Delta x},
\end{equation}
což je v geometrické interpretaci směrnice tečny
v bodě $x$.
\item Pro výpočet bitové šířky $x$ desítkového čísla
$C\in\Re$ řešíme nerovnici:
\begin{eqnarray*}
C & \leq & 2^x \\
\log C & \leq & x\cdot\log 2 \\
x & = & \left \lceil
\frac{\log C}{\log 2}
\right \rceil
\end{eqnarray*}
\item Nespojitá funkce $g(\xi)$ je definována takto:
$$
g(\xi) = \left \{
\begin{array}{cl}
0 & \mbox{pro } \xi < 0 \\
\xi & \mbox{pro } \xi \in \langle 0; 1\rangle \\
1 & \mbox{pro } \xi > 1
\end{array}
\right.
$$
\item Pro numerický integrál $P$ diskrétní funkce $g(x)$,
jejíž hodnoty jsou dány tabulkou v bodech
$A,A+k,A+2k,\ldots,A+nk,B$, kde $k$ je \emph{krok}
tabulky, můžeme použít vztah pro lichoběžníkovou metodu:
\begin{equation}
P=k\cdot \left [
\frac{g(A)+g(B)}{2} + \sum_{i=1}^n g(A+ik)
\right ].
\end{equation}
\item Určitý integrál funkce je číslo, které představuje
plochu ohraničenou funkcí, osou $x$ a daným intervalem,
například
$$
\int_0^\mathrm{\pi} \frac{\sin x}{3}\,\mathrm{d}x =
- \left. \frac{\cos x}{3} \right ]_0^\mathrm{\pi} =
\frac{-\cos\mathrm{\pi}+\cos 0}{3} = \frac{1}{3}
$$
\item Při řešení soustavy rovnic zapíšeme koeficienty
do matice a provedeme naznačenou úpravu:
$$
\left [
\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} & b_n
\end{array}
\right ]
\Longrightarrow
\left [
\begin{array}{cccc|c}
c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1m} & d_1 \\
0 & c_{22} & \ldots & c_{2m} & d_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & c_{nm} & d_n
\end{array}
\right ]
$$
\end{enumerate}
\end{document}
Řádky ve stylovém souboru:
\usepackage{unicode-math}
\setmathfont{Cambria Math}