2 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Definice 2.1 (DR se separovanými proměnnými). Diferenciální rovnice tvaru
| \[ y' = f(x)g(y), \] | (S) |
kde \( \displaystyle f\) a \( \displaystyle g\) jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených intervalech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými.
| \[ y' - x - y = 0 \] |
není rovnice se separovanými proměnnými.
Rovnice
| \[ e^{-x}y' + e^{x+y}y = 0 \] |
je rovnice se separovanými proměnnými, protože po explicitním vyjádření derivace \( \displaystyle y'\)
| \[ y' ={ -e^{x+y}y \over e^{-x}} \] |
je možno tuto rovnici přepsat pomocí algebraických úprav na tvar
| \[ y' = -ye^{y}\cdot e^{2x}, \] |
což je tvar odpovídající (S).
Řešení DR se separovanými proměnnými 
Algoritmus:
- (i)
- Má-li algebraická rovnice \( \displaystyle g(y) = 0\) řešení \( \displaystyle k_{1}\), \( \displaystyle k_{2}\), …, \( \displaystyle k_{n}\), jsou konstantní funkce \( \displaystyle y\equiv k_{1}\), \( \displaystyle y\equiv k_{2}\), …, \( \displaystyle y\equiv k_{n}\) řešeními rovnice.
- (ii)
- Pracujme na intervalech, kde \( \displaystyle g(y)\neq 0\).
Formálně nahradíme derivaci
\( \displaystyle y'\) podílem
diferenciálů \( \displaystyle { \, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} \)
\[ { \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} = f(x)g(y). \] (2.1) - (iii)
- Odseparujeme proměnné
\[ { \, \mathrm{d}y \over g(y)} = f(x)\, \mathrm{d}x. \] (2.2) - (iv)
- Získanou rovnost (2.2) integrujeme
\[ \int { \, \mathrm{d}y \over g(y)} =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C. \] (2.3) - (v)
- Pokud je zadána počáteční podmínka, je možné ji na tomto místě dosadit do obecného řešení a určit hodnotu konstanty \( \displaystyle C\). Tuto hodnotu poté dosadíme zpět do obecného řešení a obdržíme řešení partikulární.
- (vi)
- Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebo partikulární) do explicitního tvaru (”vyjádříme” odsud \( \displaystyle y\)).
Poznámka 2.1 (řešitelnost a jednoznačnost). Je-li \( \displaystyle g(y_{0})\neq 0\), je řešení počáteční úlohy (S), (PP), které obdržíme pomocí předchozího postupu, definované a jednoznačně určené v nějakém okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\).
Poznámka 2.2 (využití určitého integrálu namísto neurčitého). Partikulární řešení počáteční úlohy (S)–(PP) lze místo (2.3) psát též přímo ve tvaru určitého integrálu
| \[ \int _{y_{0}}^{y}{ \, \mathrm{d}t \over g(t)} =\int _{ x_{0}}^{x}f(t)\, \mathrm{d}t. \] | (2.4) |
Poznámka 2.3 (logistická rovnice). Logistická diferenciální rovnice
| \[ y' = ry\left (1 -{ y \over K} \right ) \] |
je všeobecně přijímaná jako základní diferenciální rovnice používaná pro popis vývoje živočišných a rostlinných populací. Jedná se rovnici se separovnými proměnnými a je možné najít její explicitní řešení. Konstatní řešení jsou \( \displaystyle y = 0\) (není žádná populace) a \( \displaystyle y = K\) (populace je na úrovni odpovídající nosné kapacitě prostředí)
Poznámka 2.4 (autonomní rovnice). V mnoha biologických i technických aplikacích se setkáváme se speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými, ve které na pravé straně nefiguruje nezávislá proměnná, tj. s rovnicí typu
| \[ y' = g(y). \] | (2.5) |
Tyto rovnice se nazývají autonomní diferenciální rovnice. Pro rovnici (2.5) platí všechno co bylo dříve vysloveno pro rovnici (S). Rovnice (2.5) má však navíc poměrně často jednu důležitou vlastnost: v mnoha případech lze ukázat, že ohraničená řešení se pro \( \displaystyle x\to \infty \) a pro \( \displaystyle x\to -\infty \) v limitě blíží k některému z konstantních řešení. Další podstatnou vlastností těchto rovnice je skutečnost, že je-li funkce \( \displaystyle y(x)\) řešením této rovnice, platí totéž i pro funkci \( \displaystyle y(x + c)\). Je-li proměnnou \( \displaystyle x\) čas, znamená to, že nezáleží na počátku měření času.
V praxi se někdy vzhledem k uvedeným skutečnostem u autonomních diferenciálních rovnic zajímáme jen o výše uvedená konstantní řešení, protože všechna další řešení k těmto konstantním řešením konvergují. Poznamenejme ještě, že všechna konstantní řešení vypočteme poměrně snadno již v prvním kroku algoritmu ze strany 54.
Ve většině případů dokážeme identifikovat, zda diferenciální rovnice je rovnice se separovanými proměnnými tak, že z rovnice vyjádříme derivaci a pravou stranu rovnice se snažíme rozložit na součin dvou funkcí jedné proměnné podle vzoru (S). Následující věta udává jednoduše použitelené kritérium, které umožní poznat, zda vůbec lze tento rozklad na součin provést.
Věta 2.1 (kritérium na ověření separability). Nechť funkce dvou proměnných \( \displaystyle \varphi (x,y)\) je nenulová na konvexní oblasti \( \displaystyle G\) a má zde spojité všechny parciální derivace do řádu dva, včetně. Rovnice
| \[ y' =\varphi (x,y) \] |
je rovnice se separovanými proměnnými a lze ji upravit na tvar (S) právě tehdy, když je na množině \( \displaystyle G\) nulový determinant
| \[ \left \vert \array{ \varphi (x,y) & \varphi '_{x}(x,y) \cr \varphi '_{y } (x,y)& \varphi ''_{xy}(x,y)} \right \vert . \] |