1 Euklidovský metrický prostor
Definice 1.1 (metrický prostor, metrika). Množina \( \displaystyle \mathbb{E}^{n}\) prvků z \( \displaystyle \mathbb{R}^{n}\) s metrikou \( \displaystyle \rho \) definovanou pro \( \displaystyle X = (x_{1},x_{2},\mathop{\mathop{…}}x_{n})\in \mathbb{R}^{n}\) a \( \displaystyle Y = (y_{1},y_{2},\mathop{\mathop{…}},y_{n})\in \mathbb{R}^{n}\) vztahem
| \[ \rho (X,Y ) = \sqrt{(x_{1 } - y_{1 } )^{2 } + (x_{2 } - y_{2 } )^{2 } +\cdots +(x_{n } - y_{n } )^{2}} \] | (1.1) |
se nazývá Euklidovský metrický prostor. Prvky prostoru \( \displaystyle E^{n}\) budeme nazývat body. Funkce \( \displaystyle \rho \) se nazývá Euklidovská metrika. Číslo \( \displaystyle \rho (X,Y )\) se nazývá Euklidovská vzdálenost bodů \( \displaystyle X\), \( \displaystyle Y \).
Poznámka 1.1. V prostorech \( \displaystyle \mathbb{E}^{2}\) a \( \displaystyle \mathbb{E}^{3}\) se jedná o ”běžnou” definici vzdálenosti, používanou v každodenním životě. I následující tři vlastnosti metriky jsou v těchto prostorech velice názorné.
Věta 1.1 (vlastnosti euklidovské metriky). Pro libovolná \( \displaystyle X,Y,Z\in \mathbb{E}^{n}\) platí
\[ \eqalignno{ &\rho (X,Y ) =\rho (Y,X) & &\text{symetrie} & & & & \cr &\rho (X,Y ) = 0\kern 2.77695pt \Longleftrightarrow \kern 2.77695pt X = Y & &\text{totožnost} & & & & \cr &\rho (X,Y ) +\rho (Y,Z)\geq \rho (X,Z)\quad & &\text{trojúhelníková nerovnost} & & & & }\]Následující definice zavádí název pro množinu bodů, které jsou ”blízko” daného bodu \( \displaystyle X\) (tj. nejsou od něj vzdáleny více, než jistá maximální přípustná hodnota \( \displaystyle \varepsilon \)).
Definice 1.2 (okolí, ryzí okolí). Buď \( \displaystyle X\in \mathbb{E}^{n}\) bod z \( \displaystyle \mathbb{E}^{n}\) a \( \displaystyle \varepsilon > 0\) kladné reálné číslo. Epsilonovým okolím bodu \( \displaystyle X\) rozumíme množinu označenou \( \displaystyle O_{\varepsilon }(X)\) skládající se z bodů, jejichž vzdálenost od bodu \( \displaystyle X\) je menší než \( \displaystyle \varepsilon \), tj.
| \[ O_{\varepsilon }(X) = \{Y \in \mathbb{E}^{n} :\rho (X,Y ) <\varepsilon \}. \] |
Ryzím epsilonovým okolím bodu \( \displaystyle X\) rozumíme množinu \( \displaystyle O_{\varepsilon }(X)\) definovanou
| \[ O_{\varepsilon }(X) = O_{\varepsilon }(X)\setminus \{X\}, \] |
tj. \( \displaystyle \varepsilon \)-okolí bodu \( \displaystyle X\), s vyloučením bodu \( \displaystyle X\).
Poznámka 1.2. V prostorech \( \displaystyle \mathbb{E}^{2}\) a \( \displaystyle \mathbb{E}^{3}\) je tedy \( \displaystyle \varepsilon \)-okolím bodu \( \displaystyle X\) vnitřek kruhu, resp. vnitřek koule se středem v bodě \( \displaystyle X\) a poloměrem \( \displaystyle \varepsilon \). Proto obecně okolí nazýváme též otevřenou \( \displaystyle n\)-rozměrnou koulí. Ryzí okolí je potom otevřená \( \displaystyle n\)-rozměrná koule bez svého středu. Nebude-li velikost \( \displaystyle \varepsilon \) podstatná, budeme ji vynechávat. V případě jednorozměrného prostoru definice splývá s definicí okolí bodů na reálné ose, jak ji známe z prvního ročníku.
Poznámka 1.3 (neeuklidovské metriky). V teorii metrických prostorů se metrikou nazývá jakákoliv nezáporná funkce \( \displaystyle \rho (X,Y )\) dvou proměnných, která splňuje vlastnosti uvedené ve Větě 1.1. Toto je někdy výhodnější. Definujeme-li například \( \displaystyle \rho _{\mathop{max}}(X,Y ) =\mathop{ max}\{|x_{i} - y_{i}|,i = 1,2,\mathop{\mathop{…}},n\}\) bude množinou všech bodů \( \displaystyle Y \) splňující pro daný bod \( \displaystyle X\) nerovnici \( \displaystyle \rho _{\mathop{max}}(X,Y ) <\varepsilon \) čtverec. V této metrice jsou okolí bodu v rovině čtvercového tvaru 1 , což je jistě jednodušší objekt než kruh vzniklý při použití euklidovské metriky. Níže vyložená teorie nezávisí na tom, zda použijeme Euklidovskou metriku, metriku \( \displaystyle \rho _{\mathop{max}}\), či nějakou jinou metriku. Proto se budeme držet metriky Euklidovské – ve dvou a trojrozměrných prostorech lépe odpovídá ”zažité představě” o vzdálenosti. Protože tedy nebudeme používat jinou metriku, než metriku Euklidovskou a jiný metrický prostor než Euklidovský, budeme přívlastek ”Euklidovský” vynechávat.
Poznámka 1.4 (obecné metrické prostory). Teorie metrických prostorů je jedna z nejabstraktnějších partií matematiky, se kterými se studenti setkávají. V této teorii obecněji metrickým prostorem nazýváme jakoukoliv množinu, na níž lze definovat metriku s vlastnostmi uvedenými ve Větě 1.1. Tato množina může být například
- množina bodů v trojrozměrném prostoru
- množina bodů v prostoru libovolné dimenze
- množina funkcí (například v teorii aproximace nás zajímá, jak jsou dvě funkce blízko sebe)
- množina slov (v lingvistice jsou dvě slova “blízko sebe” pokud jsou si podobná)