6 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
Definice 6.1 (lineární diferenciální rovnice druhého řádu). Buďte \( \displaystyle p\), \( \displaystyle q\) a \( \displaystyle f\) funkce definované a spojité na intervalu \( \displaystyle I\). Diferenciální rovnice
| \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \] | (6.1) |
se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu (zkráceně LDR druhého řádu). Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu \( \displaystyle I\) rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu \( \displaystyle 2\) na intervalu \( \displaystyle I\) a po dosazení identicky splňuje rovnost (6.1) na \( \displaystyle I\). Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě \( \displaystyle x_{0}\in I\) počáteční podmínky
| \[ \left \{\array{ y(x_{0}) = y_{0},\quad \cr y'(x_{0}) = y'_{0},\quad } \right . \] | (6.2) |
kde \( \displaystyle y_{0}\) a \( \displaystyle y'_{0}\) jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha (Cauchyova úloha). Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rovnice (6.1).
Poznámka 6.1 (existence a jednoznačnost). Každá počáteční úloha pro rovnici (6.1) má řešení, které je určeno jednoznačně a toto řešení je definované na celém intervalu \( \displaystyle I\).
Poznámka 6.2 (operátorová symbolika). Podobně jako lineární diferenciální rovnice prvního řádu, i zde často pravou stranu rovnice často zkracujeme do tvaru \( \displaystyle L[y](x)\). Definujeme-li tedy
| \[ L[y](x) = y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x), \] | (6.3) |
je tímto předpisem definován operátor, který každé dvakrát diferencovatelné funkci přiřazuje levou stranu rovnice (6.1). Rovnici (6.1) je potom možno zapsat ve tvaru \( \displaystyle L[y] = f(x)\).
Definice 6.3 (speciální typy LDR druhého řádu). Platí-li v rovnici (6.1) \( \displaystyle f(x) = 0\) pro všechna \( \displaystyle x\in I\), nazývá se rovnice (6.1) homogenní, v opačném případě nehomogenní. Jsou-li koeficienty \( \displaystyle p(x)\) a \( \displaystyle q(x)\) na intervalu \( \displaystyle I\) konstantní funkce, nazývá se (6.1) rovnice s konstantními koeficienty.
Poznámka 6.3 (triviální řešení). Funkce \( \displaystyle y(x)\equiv 0\) je řešením homogenní LDR 2. řádu vždy, bez ohledu na tvar koeficientů \( \displaystyle p\), \( \displaystyle q\). (Ověřte sami dosazením.) Toto řešení nazýváme triviální řešení rovnice (6.1).
Věta 6.1 (linearita a princip superpozice). 
Operátor (6.3) zachovává
lineární kombinaci funkcí, tj. pro libovolné dvě funkce
\( \displaystyle y_{1}\) a
\( \displaystyle y_{2}\) a libovolné
reálné konstanty \( \displaystyle C_{1}\)
a \( \displaystyle C_{2}\)
platí
| \[ L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}]. \] | (6.5) |
Jako speciální případ vztahu (6.5) dostáváme implikace
\[ \eqalignno{ &L[y_{2}] = 0\text{ a }L[y_{1}] = f(x) &\qquad &\Rightarrow &\qquad &L[y_{1} + y_{2}] = 0 + f(x) = f(x), & & & & & & \cr &L[y_{1}] = L[y_{2}] = f(x) & &\Rightarrow & &L[y_{1} - y_{2}] = f(x) - f(x) = 0, & & & & & & \cr &L[y_{1}] = L[y_{2}] = 0 & &\Rightarrow & &L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 0 = 0, & & & & & & \cr & & & & & & }\]- Součet řešení zadané nehomogenní a asociované
homogenní LDR je řešením dané nehomogenní rovnice.
- Rozdíl dvou řešení nehomogenní LDR je řešením asociované homogenní rovnice.
- Každá lineární kombinace dvou řešení homogenní LDR je opět řešením této rovnice.