Energetická bilance Země a skleníkový efekt¶

Následující text je zpracován podle J. Walsh: Climate Modeling in Differential Equations. Jiné zpracování podle stejného zdroje je v kurzu Calculus Applied!, dostupném volně na platformě online kurzů edX. Ukazuje možnou bistabilitu v dynamických modelech. Pro Zemi to znamená možnost přepínat mezi dobou ledovou a meziledovou. Jedná se o hrubý model, přesto popisuje dobře některé rysy dynamiky vývoje teploty Země. Stejná bistabilita je dobře popsána například i v biologických vědách. Zde se jedná o jakousi paměť, které dokáže přepnout univezální buňky tak, aby se trvale staly buňkami tvořícími určité tkáně, například svalovou tkáň. Viz Alon, kapitola 5.1.1

Teplota $T$ planety je ovlivněna absorpcí energie dopadající ze Slunce a vyzařováním energie do kosmu, tj. dvěma proti sobě působícími faktory. Poměr těchto faktorů je rozhodující pro teplotu povrchu. To, že velkou roli hrají fyzikální vlastnosti povrchu a atmosféry si můžeme ukázat na příkladu Merkuru a Venuše. Venuše je v téměř dvojnásobné vzdálenosti od Slunce, než Merkur. Na metr čtvereční jejího povrchu proto dopadá sluneční záření se čtvrtinovou intenzitou. Vskutku, povrch koule na kterou dopadá záření roste s druhou mocninou vzdálenosti a záření Slunce se rovnoměrně rozloží na myšlenou kulovou plochu se středem ve Slunci, protože Slunce vyzařuje všemi směry stejně. Proto intenzita osvětlení na jednotku povrchu ubývá s druhou mocninou vzdálenosti. Dvojnásobná vzdálenost tedy odpovídá čtvrtinovému výkonu na jednotku plochy. Přesto je průměrná teplota Venuše $464^\circ\mathrm{C}$ oproti “pouhým” $167^\circ\mathrm C$ na Merkuru (údaj z Wikipedie, 2.4.2020). Pokusíme se sestavit model popisující situaci na Zemi.

Celková energetická bilance Země¶

Rychlost s jakou roste teplota Země je dána bilancí mezi výkonem $R_\text{in}$ Slunce dopadajícím na metr čtvereční Země a výkonem $R_\text{out}$ vyzářeným z metru čtverečního do okolí. Změna teploty za jednotku času je dána modelem $$C\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=R_\text{in}-R_\text{out},$$ kde $C$ je tepelná kapacita Země na metr čtvereční povrchu. Jedná se o jednoduchý model, který zanedbává jiné osvětlení rovníku a pólů, vedení tepla od rovníku k pólům a pracuje s průměrnou teplotou. Konstanta $C$ nemá vliv na kvalitativní chování modelu a proto ji budeme klást rovnu jedné. Pokud bychom chtěli prozkoumat nejenom kvalitativní, ale i kvantitativní chování, je možné volit $C=2.911,\mathrm{W},\mathrm{rok},\mathrm{m}^{-1},\mathrm{K}^{-1}$ (viz Calculus Applied! na edx.com)

Energie absorbovaná ze Slunce¶

Předpokládejme, že výkon $Q$ dopadající na metr čtvereční od Slunce je konstantní. Z tohoto výkonu se však část odrazí. Odrazivost (albedo) sníží absorbovaný výkon $R_\text{in}$ o odraženou složku. Můžeme tedy psát $$R_\text{in}=Q(1-\alpha(T)),$$ kde $$\alpha (T)=0.5+0.2 \tanh(0.1(265-T))$$ je koeficient odrazivosti. Závislost odrazivosti na teplotě modeluje to, že studená zamrzlá Země má větší odrazivost. Nižší průměrná teplota znamená více ledu na Zemi a má za důsledek větší odrazivost, protože led odráží sluneční záření více než voda.

Vyzařování energie Zemí do vesmíru¶

Výkon $R_\text{out}$ vyzářený do okolí je podle Stefan-Bolzmanova vyzařovacího zákona úměrný čtvrté mocnině termodynamické teploty $T$. (Termodynamická teplota je teplota ve stupních Celsia zvýšená o hodnotu $273.15$ a udává se v Kelvinech. Teplotě nula stupňů Celsia odpovídá termodynamická teplota $273.15$ Kelvinů.) Vyzařování je tedy dáno vztahem $$R_\text{out}=\sigma T^4,$$ kde $\sigma$ je konstanta Stefan-Bolzmanova vyzařovacího zákona. Při aplikaci tohoto zákona je nutno zohlednit to, že Země nezáří jako fyzikálně ideální černé těleso, ale tzv. šedé těleso. Část vyzářeného výkonu se vlivem skleníkového efektu vrátí zpět na Zemi a nevyzáří se. Opravu na reálné těleso a skleníkový efekt můžeme započítat multiplikativní konstantou. Upravený vztah pro vyzařování, který determinuje rychlost ochlazování, je tedy možno psát ve tvaru $$R_\text{out}=\varepsilon\sigma T^4.$$ Dodatečný parametr $\varepsilon$ modeluje skleníkový efekt. Udává, kolik procent záření projde ven do vesmíru. Tedy větší skleníkový efekt znamená menší procento energie vyzářené do vesmíru a to odpovídá menší hodnotě $\varepsilon$.

Analýza stacionárních bodů¶

Existuje několik možností vzájemné polohy křivek modelujících absorpci energie a vyzařování energie. Tři nejzajímavější jsou níže. Červená křivka (ohřívání) je společná, mění se modrá křivka (ochlazování). Díky tomu snadno posoudíme vzájemnou polohu průsečíků v různých obrázcích.

Pro malé teploty je dominantní ohřev, pro velké teploty ochlazování. Nestane se tedy, že by teplota rostla neomezeně, nebo že by Země zchládla na nulu. Za této situace musí být alespoň jeden stabilní bod.

import numpy                      # knihovna pro numerické výpočty
from scipy.integrate import solve_ivp  # řešení diferenciálních rovnic

import bokeh.io                   # knihovna pro kreslení interaktivních grafů
import bokeh.plotting             # knihovna pro kreslení interaktivních grafů
bokeh.io.output_notebook()        # grafy kreslit sem do zápisníku

colors = ['lightblue','blue','navy']  # paleta barev, odstíny modré

epsilon = [0.75, 0.6, 0.45]               # definice parametrů pro skleníkový efekt

def ohrivani(T):
  Q=342
  alpha = 0.5+0.2*numpy.tanh(0.1*(265-T))   # odrazivost, souvisi s podilem ledu na Zemi a se stavem atmosfery
  return Q*(1-alpha)         # Absorbovany vykon Q ze Slunce, snizeny o odrazenou cast, alpha je odrazivost pri teplote T

def ochlazovani(T, epsilon):
  sigma=5.67*10**(-8)        # Fyzikalni konstana, Stefan-Boltzmann constant
  return T**4*sigma*epsilon  # Vyzarovani do kosmu, snizene koeficientem epsilon pro modelovani sklenikoveho efektu

T = numpy.linspace(150, 400, 100)    # definice intervalu pro kreslení růstových křivek
p = bokeh.plotting.figure(title="Efekt ohřevu a ochlazování Země, tři scénáře dle intenzity skleníkového efektu", 
                          x_axis_label='termodynamická teplota / Kelvin', 
                          y_axis_label='výkon na metr čtvereční',
                          y_range=(0, 300),
                          plot_width=1000
                          )
for i in range(len(epsilon)):                          # Cyklus přes parametry
    p.line(T,ochlazovani(T,epsilon[i]),                # Vykreslení křivky ochlazování pro různé hodnoty skleníkového efektu
           color=colors[i], 
           legend_label="ochlazování, epsilon=%s"%str(epsilon[i]), 
           width=3
           )

p.line(T,ohrivani(T),                                  # Vykreslení křivky pro ohřev dopadajícím výkonem
       color='red', 
       legend_label="ohřev Země", 
       width=3) 


p.legend.click_policy="hide"                   # Skrývat křivky po kliknutí na legendu
bokeh.plotting.show(p) 

Loading BokehJS ...

Vysoká hodnota $\varepsilon$ značí malý skleníkový efekt. Jeden průsečík značí jeden stacionární bod, který je stabilní. Tento půsečík je nejvíce nalevo v porovnání s dalšími situacemi níže, odpovídá zamrzlé Zemi.
Střední hodnota skleníkového efektu. Model má dva stabilní stacionární body a jeden (uprostřed) nestabilní. Pravý bod by mohl odpovídat Zemi jak ji známe dnes, levý bod Zemi jak vypadala v době ledové. V historii pravděpodobně několikát došlo z nejrůznějších důvodů k přeskočení mezi těmito stabilními stacionárními body.
Malá hodnota $\varepsilon$ značí velký skleníkový efekt. Jeden průsečík značí jeden stacionární bod, který je stabilní. Tento půsečík je nejvíce napravo v porovnání s dalšími situacemi výše, odpovídá rozpálené Zemi.

Analýza odpovídá našemu očekávání, že vyšší skleníkový efekt způsobí nárůst teploty. Tento závěr souhlasí se závěry, které jsou předkládány médii i odborníky na globální klimatickou změnu.

Dynamika vývoje¶

Namodelujeme vývoj podle zadané diferenciální rovnice pro různé počáteční podmínky. Protože používáme zjednodušený model bez započtení tepelné kapacity Země, dostáváme kvalitativní chování. Křivky charakterem odpovídají plnému modelu, ale jednotky času jsou jiné.

tmin, tmax = 0,5                              # definice počátečního a koncového časového okamžiku
t = numpy.linspace(tmin, tmax, 100)           # definice intervalu pro kreslení funkcí času
colors = 10*bokeh.palettes.Greens5            # paleta barev
for i in range(len(epsilon)):                 # cyklus přes hodnoty parametru
    p = bokeh.plotting.figure(title="Teplota jako funkce času", 
                          x_axis_label='čas', 
                          y_axis_label='teplota',
                          plot_width=1000
                          )

                     # Vyřešení rovnice "dT/dt= ohrev - ochlazovani" pro danou počáteční podmínku
    for IC in numpy.linspace(150, 320, 20):                          # Cyklus přes počátečnmí podmínky
        sol = solve_ivp(lambda t, T: ohrivani(T)-ochlazovani(T,epsilon[i]), [tmin, tmax], [IC], t_eval=t, max_step=0.01)  # Vyřešení rovnice pro danou počáteční podmínku
        p.line(sol.t, sol.y[0])    # Vykreslení řešení                     
    
    bokeh.plotting.show(p) 

Literatura¶

U. Alon: An Introduction to Systems Biology: Design Principles of Biological Circuits, 2nd edition, CRC Press, 2019.
Calculus Applied! URL https://www.edx.org/course/calculus-applied (27.3.2021)
J. Walsh: Climate Modeling in Differential Equations, The UMAPJournal36 (4) (2015) 325–363. URL http://sigmaa.maa.org/em/USE_Math_2014/Walsh-ODEclimate.pdf (27.3.2021).
Wikipedie, Stefanův–Boltzmannův zákon online (27.3.2021)

A-Ro-Ma-Math