1 Neurčitý integrál
Definice 1.1 (neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď \( \displaystyle I\) otevřený interval, \( \displaystyle f\) a \( \displaystyle F\) funkce definované na \( \displaystyle I\) . Jestliže platí
| \[ F'(x) = f(x)\text{ pro všechna $x\in I$,} \] | (1.1) |
nazývá se funkce \( \displaystyle F\) primitivní funkcí k funkci \( \displaystyle f\) , nebo též neurčitý integrál funkce \( \displaystyle f\) na intervalu \( \displaystyle I\) . Zapisujeme
| \[ \int f(x)\, \mathrm{d}x = F(x). \] |
Existuje-li k funkci \( \displaystyle f\) neurčitý integrál na intervalu \( \displaystyle I\) , nazývá se funkce \( \displaystyle f\) integrovatelná na \( \displaystyle I\) .
Poznámka 1.1 (spojitost primitivní funkce). Primitivní funkce \( \displaystyle F(x)\) je vždy spojitá na \( \displaystyle I\) , plyne to z existence derivace.
Věta 1.2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující:
- (i)
- Je-li \( \displaystyle F\) primitivní funkcí k funkci \( \displaystyle f\) na intervalu \( \displaystyle I\) , platí totéž i pro funkci \( \displaystyle G(x) = F(x) + c\) , kde \( \displaystyle c\in \mathbb{R}\) je libovolná konstanta nezávislá na \( \displaystyle x\) .
- (ii)
- Jsou-li \( \displaystyle F\) a
\( \displaystyle G\) primitivní funkce
k téže funkci \( \displaystyle f\) na
intervalu \( \displaystyle I\) , liší se
obě funkce na intervalu \( \displaystyle I\)
nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje
\( \displaystyle c\in \mathbb{R}\)
takové, že
\[ F(x) = G(x) + c\qquad \text{pro všechna $x\in I$.} \]
Poznámka 1.2 (filozofická). Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například \( \displaystyle e^{-x^{2} }\) je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí (viz též Věta 2.5)
Věta 1.3 (linearita neurčitého integrálu). 
Nechť
\( \displaystyle f\) ,
\( \displaystyle g\) jsou funkce
integrovatelné na \( \displaystyle I\) ,
\( \displaystyle c\)
nechť je reálné číslo. Pak na intervalu
\( \displaystyle I\)
platí
Poznámka 1.3 (technická). Vzhledem k součtu a násobení konstantou se tedy integrál chová ”pěkně”, tak jak jsme to viděli i u derivace. Bohužel však neexistují podobné vzorečky pro integrál složené funkce, podílu nebo součinu.
Poznámka 1.4 (základní vzorce pro integrování). Následující vzorce jsou opakem (a v některých případech mírným zobecněním) vzorců pro derivaci základních elementárních funkcí.
\( \displaystyle \int x^{n}\, \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}} {n + 1} + c\)
\( \displaystyle \int \frac{1} {x}\, \mathrm{d}x =\ln |x| + c\)
\( \displaystyle \int a^{x}\, \mathrm{d}x = \frac{a^{x}} {\ln a} + c\)
\( \displaystyle \int e^{x}\, \mathrm{d}x = e^{x} + c\)
\( \displaystyle \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c\)
\( \displaystyle \int \cos x\, \mathrm{d}x =\sin x + c\)
\( \displaystyle \int \frac{1} {\sin ^{2}x}\, \mathrm{d}x = -\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x + c\)
\( \displaystyle \int \frac{1} {\sqrt{A^{2 } - x^{2}}}\, \mathrm{d}x =\arcsin \frac{x} {A} + c\)
\( \displaystyle \int \frac{1} {\sqrt{x^{2 } \pm B}}\, \mathrm{d}x =\ln \left |x + \sqrt{x^{2 } \pm B}\right | + c\)
\( \displaystyle \int \frac{1} {A^{2} + x^{2}}\, \mathrm{d}x = \frac{1} {A}\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{x} {A} + c\)
\( \displaystyle \int \frac{1} {A^{2} - x^{2}}\, \mathrm{d}x = \frac{1} {2A}\ln \left |\frac{A + x} {A - x}\right | + c\)
1.1 Metoda per-partés
Motivace. Pokud vyjdeme ze vztahu pro derivaci součinu
| \[ (uv)' = u'v + uv' \] |
a zintegrujeme jej na tvar
| \[ uv =\int u'v\, \mathrm{d}x +\int uv'\, \mathrm{d}x, \] |
nabízí se nám možnost, vypočítat jeden z integrálů na pravé straně pomocí druhého. To je základní myšlenkou následující metody.
Poznámka 1.5 (integrály typické pro výpočet metodou per-partés). Buď \( \displaystyle P(x)\) polynom. Metodou per-partés integrujeme například integrály následujících typů
| \[ \int P(x)e^{\alpha x}\, \mathrm{d}x,\int P(x)\sin (\alpha x)\, \mathrm{d}x,\int P(x)\cos (\alpha x)\, \mathrm{d}x, \] |
a
| \[ \int P(x)\mathop{\mathrm{arctg}} x\, \mathrm{d}x,\int P(x)\ln ^{m}x\, \mathrm{d}x. \] |
U první skupiny integrálů postupujeme tak, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, a v případě potřeby tento postup opakujeme. U druhé skupiny integrálů naopak derivujeme funkce \( \displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}} x\) a \( \displaystyle \ln x\) . Ve všech těchto případech je integrál figurující na pravé straně vzorce (1.2) jednodušší než integrál původní.
Příklad 1.1 (integrace per-partés).
\[ \begin{align*} \int x\mathop{\mathrm{arctg}} x\, \mathrm{d}x &\left [\text{per-partés: }\left \{\begin{aligned}u& =\mathop{\mathrm{arctg}} x&&u' = \frac{1} {x^{2} + 1}& \\v'& = x&&v ={ x^{2} \over 2} \\ \end{aligned}\right .\right ] & & \\ & ={ x^{2} \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x -{ 1 \over 2} \int { x^{2} \over 1 + x^{2}} \, \mathrm{d}x = & & \\ & ={ x^{2} \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x -{ 1 \over 2} \int 1 -{ 1 \over 1 + x^{2}} \, \mathrm{d}x ={ x^{2} \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x -{ 1 \over 2} x +{ 1 \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x + c & & \\\end{align*}\]
1.2 Substituční metoda
Věta 1.5 (první substituční metoda, speciální případ složené funkce).
Nechť \( \displaystyle f(t)\) je funkce
spojitá na intervalu \( \displaystyle I\) ,
nechť funkce \( \displaystyle \varphi (x)\) má
derivaci na intervalu \( \displaystyle J\)
a platí \( \displaystyle \varphi (J) = I\) .
Potom na intervalu \( \displaystyle J\)
platí
| \[ \int f(\varphi (x))\varphi '(x)\, \mathrm{d}x =\int f(t)\, \mathrm{d}t, \] | (1.3) |
dosadíme-li napravo \( \displaystyle t =\varphi (x)\)
Poznámka 1.6 (technická). Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo \( \displaystyle t\) místo \( \displaystyle \varphi (x)\) a \( \displaystyle \, \mathrm{d}t\) místo \( \displaystyle \varphi '(x)\, \mathrm{d}x\) .
Příklad 1.2 (substituční metoda).
\[ \begin{align*} \int \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^{3}x\, \mathrm{d}x & =\int { \sin ^{3}x \over \cos ^{3}x} \, \mathrm{d}x =\int \frac{\sin ^{2}x} {\cos ^{3}x}\sin x\, \mathrm{d}x = & & \\ & =\int \frac{1 -\cos ^{2}x} {\cos ^{3}x} \sin x\, \mathrm{d}x\left [\text{substituce: }\left \{\begin{aligned}\cos x & = t & \\ -\sin x\, \mathrm{d}x& =\, \mathrm{d}t \\\sin x\, \mathrm{d}x & = -\, \mathrm{d}t \\ \end{aligned}\right .\right ] & & \\ & =\int -{ 1 - t^{2} \over t^{3}} \, \mathrm{d}t =\int \frac{1} {t} - t^{-3}\, \mathrm{d}t = & & \\ & =\ln |t| + \frac{1} {2}t^{-2} =\ln |\cos x| +{ 1 \over 2\cos ^{2}x} + c & & \\\end{align*}\]
V jistém smyslu opačným postupem je druhá substituční metoda.
Věta 1.6 (druhá substituční metoda). Nechť
\( \displaystyle f(x)\) je funkce spojitá
na intervalu \( \displaystyle I\) , nechť
funkce \( \displaystyle \varphi (t)\) má nenulovou
derivaci na intervalu \( \displaystyle J\)
a platí \( \displaystyle \varphi (J) = I\) .
Potom na intervalu \( \displaystyle I\)
platí
| \[ \int f(x)\, \mathrm{d}x =\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\, \mathrm{d}t, \] | (1.4) |
dosadíme-li napravo \( \displaystyle t =\varphi ^{-1}(x)\) , kde \( \displaystyle \varphi ^{-1}(x)\) je funkce inverzní k funkci \( \displaystyle \varphi (x)\) .
Poznámka 1.7. Existence inverzní funkce \( \displaystyle \varphi ^{-1}\) plyne z nenulovosti derivace funkce \( \displaystyle \varphi \) . Výraz napravo v (1.4) sice vypadá komplikovaněji, v praxi však substituci volíme vždy tak, aby po úpravě vpravo vyšel integrál jednodušší, který umíme vypočítat.
Poznámka 1.8 (technická). Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo \( \displaystyle \varphi (t)\) místo \( \displaystyle x\) a \( \displaystyle \varphi '(t)\, \mathrm{d}t\) místo \( \displaystyle \, \mathrm{d}x\) .
Poznámka 1.9. Vidíme, že u druhé substituční metody se vlastně jedná o použití vzorce (1.3) zprava doleva.
