Determinanty, soustavy rovnic
Youtube cvičení1 Určete následující determinanty
- \(\displaystyle D_1= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 &3 \end{vmatrix}\)
- \(\displaystyle D_2= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ x-4 &y-3 \end{vmatrix}\) (\(\displaystyle D_2=0\) je přímka daná bodem \(\displaystyle (4,3)\) a směrovým vektorem \(\displaystyle (2,-1)\))
- \(\displaystyle D_3= \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 4 & 3-\lambda \end{vmatrix}\) (charakteristický polynom matice z prvního bodu)
- \(\displaystyle D_4= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 &-1 & 2\end{vmatrix}\)
- \(\displaystyle D_5= \begin{vmatrix} a & -1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 &-1 & 2\end{vmatrix}\)
- \(\displaystyle D_6= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0& 7-\lambda \end{vmatrix}\) (charakteristický polynom diagonální matice)
Řešení
\[ \begin{aligned} D_1&=2\cdot 3 - (-1)\cdot 4=6+4=10\\ D_2&=2\cdot(y-3)-(-1)\cdot (x-4)=2y-6+x-4=x+2y-10\\ D_3&=(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)-(-1)\cdot 4 = \lambda^2-5\lambda+10\\ D_4&=12\\ D_5&=7a+5\\ D_6&=(2-\lambda)(3-\lambda)(7-\lambda) \end{aligned} \]
2 Soustava lineárních rovnic s jediným řešením
Vyřešte soustavu rovnic.
\[ \begin{pmatrix} 1 &2 &2 \\ 2 &2 &-1\\ 2 &3 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1\\-1 \end{pmatrix} \]
Soustava rovnic je asi nejdůležitější aplikace lineární algebry, ale v dnešním světě není důvod ji řešit ručně. Je však užitečné si alespoň základní manipulace vyzkoušet na jednoduchém příkladě. Tento moc času nezabere.
3 Soustava lineárních rovnic s nekonečně mnoha řešeními
Vyřešte soustavu rovnic.
\[ \begin{pmatrix} 3 &-1 &-1 &-1\\ 2 &1 &1 &-2 \\ 1 &-2 &-2 &1 \\ 3 &-1 &-1 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3\\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0\\0 \end{pmatrix} \]
Soustava s nekonečně mnoha řešeními typicky vychází při hledání vlastních čísel matice. Na tomto příkladě si osaháme případ homogenní soustavy a jednoparametrického řešení, tj. případ, který při výpočtu vlastních vektorů vychází nejčastěji.