Řešení

1. \(\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x\cdot y^2\)
   • Konstantní řešení jsou řešení rovnice \[ y^2=0,\] tj. je jediné konstantní řešení \[ y=0.\]
   • Pro nekonstantní řešení dostaneme po separaci \[ y^{-2}\mathrm dy=x\mathrm dx \] a integrováním \[ -\frac 1y=\frac 12 x^2+C.\]
2. \(\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=t\cdot e^y\)
   • Konstantní řešení jsou řešení rovnice \[ e^y=0.\] Protože tato rovnice nemá řešení, zadaná diferenciální rovnice nemá konstantní řešení.
   • Pro nekonstantní řešení dostaneme po separaci \[ e^{-y}\mathrm dy= t\mathrm dt\] a integrováním \[ -e^{-y}=\frac 12 t^2 +C.\]
3. \(\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x\cdot \sqrt y\)
   • Konstantní řešení jsou řešení rovnice \[ \sqrt y=0,\] tj. jediné řešení \[ y=0.\]
   • Pro nekonstantní řešení dostaneme po separaci \[ \frac 1{\sqrt y}\mathrm dy=x\mathrm dx \] a integrováním \[ 2\sqrt y=\frac 12 x^2+C.\]
4. \(\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x\sqrt y,\ \ y(0)=1\)
   • Konstantní řešení \[y=0\] (viz předchozí příklad) nesplňuje počáteční podmínku a proto jej nemusíme uvažovat
   • Obecné řešení \[ 2\sqrt y=\frac 12x^2 +C\] dává po dosazení \(\displaystyle x=0\) a \(\displaystyle y=1\) rovnici \[2\sqrt 1=0+C.\] Odsud dostáváme \(\displaystyle C=2\) a řešení zadané počáteční úlohy je \[2\sqrt y=\frac 12 x^2+2.\]
5. \(\displaystyle \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=k\cdot r^3,\ \ r(0)=r_0>0\)
   • Konstantní řešení jsou řešení rovnice \[ r^3=0,\] tj. jediné konstantní řešení je \[ r=0\] a toto řešení nesplňuje počáteční podmínku.
   • Pro nekonstantní řešení dostaneme po separaci \[ r^{-3}\mathrm dr=k\mathrm dt \] a integrováním \[ -\frac 12 r^{-2}=kt+C.\] Dosazením počáteční podmínky \(\displaystyle t=0\), \(\displaystyle r=r_0\) dostáváme \[ -\frac 12 r_0^{-2}=C.\] Tím je dána konstanta \(\displaystyle C\) a po použití této konstanty v obecném řešení dostáváme řešení počáteční úlohy ve tvaru \[ -\frac 12 r^{-2}=kt-\frac 12 r_0^{-2}.\]
6. \(\displaystyle \frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=m+2\), \(\displaystyle m(0)=0\)
   • Konstantní řešení jsou řešení rovnice \[ m+2=0,\] tj. \[ m=-2\] a toto řešení nesplňuje počáteční podmínku.
   • Pro nekonstantní řešení dostaneme po separaci \[ \frac1{m+2}\mathrm dm=dt \] a integrováním \[ \ln|m+2|=t+C.\] Po dosazení počáteční podmínky \(\displaystyle t=m=0\) dostáváme \[C=\ln 2\] a počáteční úloha má řešení \[\ln(m+2)=t+\ln (2).\] (Vzhledem k počáteční podmínce je \(\displaystyle m\) kladné a nemusíme psát absolutní hodnotu.)
7. \(\displaystyle \frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=m+2\), \(\displaystyle m(0)=-2\)
   • Konstantní řešení jsou řešení rovnice \[ m+2=0,\] tj. \[ m=-2.\] Toto řešení splňuje počáteční podmínku.
   • Pravá strana má ohraničenou (dokonce konstantní) derivaci podle \(\displaystyle m\). Proto je řešení každé počáteční úlohy určeno jednoznačně. Řešení z předchozího bodu je jediné a další nemusíme hledat.

Řešení

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}&=\frac kh\\ h\,\mathrm dh&=k\, \mathrm dt\\ \int h\,\mathrm dh&=\int k\, \mathrm dt\\ \frac {h^2}{2}&=kt+C\\ \end{aligned} \]

Řešení

Buď \(\displaystyle V\) objem vody a \(\displaystyle h\) výška hladiny od dna. Podle zadání ve všech případech platí \[\frac {\mathrm dV}{\mathrm dt}=-k_1\sqrt h\] a musíme derivaci \(\displaystyle \frac {\mathrm dV}{\mathrm dt}\) vyjádřit pomocí \(\displaystyle \frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}\).

Pro cylindr, kvádr nebo jakoukoliv nádrž se svislými stěnami je objem úměrný výšce hladiny, \(\displaystyle V=k_2 h\), a proto \(\displaystyle \frac {\mathrm dV}{\mathrm dt}=k_2\frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}\). Odsud \[k_2\frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}=\frac {\mathrm dV}{\mathrm dt}=-k_1\sqrt h,\] tj. \[\frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}=-\frac{k_1}{k_2}\sqrt h\] a pro \(\displaystyle k=\frac{k_1}{k_2}\) má model tvar \[\frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}=-k\sqrt h.\]

Pro kužel platí díky konstantnímu úhlu u vrcholu vztah \(\displaystyle V=k_3h^3\) (díky podobnosti je objem přímo úměrný třetí mocnině libovolného délkového parametru) a proto \(\displaystyle \frac {\mathrm dV}{\mathrm dt}=k_3 \times 3h^2 \frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}\). Odsud \[3k_3 h^2 \frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}=\frac {\mathrm dV}{\mathrm dt}=-k_1\sqrt h,\] tj. \[\frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}=-\frac{k_1}{3k_3}h^{-3/2}\] a po přeznačení konstanty má model pro kuželovou nádrž tvar \[\frac {\mathrm dh}{\mathrm dt}=-kh^{-3/2}.\]

Řešení

Rychlost s jakou se mění objem je \(\displaystyle \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}\), rychlost přisypávání označme \(\displaystyle R\), povrch návětrné strany \(\displaystyle S\). Podle zadání platí \[ \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = R - k_0S.\] Protože kužel má stále stejný tvar, objem jednoznačně determinuje rozměry, povrch kužele, nebo i povrch poloviny pláště, tj. povrch návětrné strany. Z rozměrové analýzy na základě Buckinghamova Pi-teorému z přednášky je zřejmé, že musí platit úměrnost mezi takovými mocninami těchto veličin, pro které jednotky “pasují”, Existuje tedy konstanta taková, že \[S=k_1V^{\frac 23}.\] Spojením těchto dvou vztahů dostáváme \[ \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = R - k V^{\frac 23},\] kde \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle k=k_0k_1\) jsou konstanty.

Řešení

Označme \(\displaystyle f(V)=R-kV^{\frac 23}\). Konstantní řešení je řešením rovnice \(\displaystyle f(V)=0\), tj. \[R-kV^{\frac 23}=0.\] Odsud \[V_0=\left(\frac{R}{k}\right)^{3/2}.\] Protože \(\displaystyle f\) klesá v bodě \(\displaystyle V_0\), je toto řešení stabilní.

Protože \(\displaystyle f(0)>0\), malá hromada vždy roste a proto nemůže skončit celá rozfoukaná. Pro malý objem je přisypávání intenzivnější než rozfoukávání.

Protože \(\displaystyle f\) je pro velké \(\displaystyle V\) záporná, pro velkou hromadu objem ubývá (více se rozfouká než přisype) a hromadu není možné navršit libovolně velkou.