6 Fyzikální aplikace
- Obsah množiny \( \displaystyle M\)
vypočteme jako
\[ \int\int _{M}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y. \] - Hmotnost množiny \( \displaystyle M\)
vypočteme jako
\[ m =\int\int _{M}\sigma (x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y, \] kde \( \displaystyle \sigma (x,y)\) je plošná hustota (hmotnost vztažená na jednotku povrchu).
- Těžište hmotné množiny
\( \displaystyle M\) je v
bodě \( \displaystyle [x_{T},y_{T}]\),
kde
\[ \begin{align*}
x_{T} & ={ 1
\over m} \int\int x\sigma (x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y, & &
\\y_{T} & ={ 1
\over m} \int\int y\sigma (x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y & &
\\\end{align*}\]
a \( \displaystyle m\) je hmotnost množiny.
- Moment setrvačnosti hmotné množiny
\( \displaystyle M\)
vzhledem k ose je
\[ J =\int\int \rho ^{2}(x,y)\sigma (x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y, \] kde \( \displaystyle \rho (x,y)\) je vzdálenost bodu \( \displaystyle (x,y)\) od osy otáčení. Například pro osu \( \displaystyle x\) je \( \displaystyle \rho (x,y) = y\) a pro osu \( \displaystyle y\) je \( \displaystyle \rho (x,y) = x\). Pro osu procházející kolmo počátkem je \( \displaystyle \rho (x,y) = \sqrt{x^{2 } + y^{2}}\).
V dimenzování nábytku se setkáte s veličinami kvadratický moment průřezu (což je moment setrvačnosti pro \( \displaystyle \sigma (x,y) = 1\)) a modul průřezu, která s kvadratickým momentem úzce souvisí.