Obecne krivocare souradnice

5 Obecné křivočaré souřadnice

I když polární souřadnice jsou zdaleka nejpoužívanějšími křivočarými souřadnicemi, v praxi je někdy vhodné či nutné volit i jiné souřadnice. Máme-li korektně definovány obecné křivočaré souřadnice \( \displaystyle u\) a \( \displaystyle v\), jsou transformační vztahy mezi těmito křivočarými souřadnicemi a kartézskými souřadnicemi \( \displaystyle x\), \( \displaystyle y\) ve tvaru

\[ \begin{align*} x & = g(u,v) & & \\y & = h(u,v) & & \\\end{align*}\]

kde \( \displaystyle g\), \( \displaystyle h\) jsou dostatečně hladké funkce dvou proměnných. Pro převod dvojného integrálu z kartézských souřadnic do souřadnic \( \displaystyle u\), \( \displaystyle v\) je nutno vypočítat následující determinant

\[ J(u,v) = \left \vert \array{ { \partial\, g(u,v) \over \partial\, u} & { \partial\, g(u,v) \over \partial\, v} \cr { \partial\, h(u,v) \over \partial\, u} & { \partial\, h(u,v) \over \partial\, v} } \right \vert \neq 0 \]

zvaný Jakobián.

Věta 5.1 (převod dvojného integrálu do křivočarých souřadnic). Platí

\[ \int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int\int _{\Omega }f(g(u,v),h(u,v))\, |J(u,v)|\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v \]

Poznámka 5.1. Výběr křivočarých souřadnic se řídí tvarem množiny \( \displaystyle \Omega \). Snažíme se o to, aby vyjádření této množiny bylo v nových souřadnicích co nejjednodušší.