Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2012 |
Definujme funkci na obdélníku R=[a,b]×[c,d] ohraničenou funkci f(x,y). Obdélník rozdělme na podobdélníky p1, p2, …, pn o obsazích Δp1, Δp2, …, Δpn. Toto dělení označme D.
V obdélníčku pi
najdeme supremum Mi
a infimum mi
funkce f(x,y).
Sestrojme horní a dolní integrální součet příslušný
dělení D
podle vzorců
Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím následující věty o převodu dvojného integrálu na dvojnásobný (dva ”obyčejné” integrály).
Příklad 2.1. Vypočtěte
∫∫Ω(x+y)dxdy
přes obdélník vyznačený na obrázku.
∫∫Ω(x+y)dxdy=∫21[∫30(x+y)dx]dy=∫21[x22+xy]30dy=∫21[92+3y−(02+0y)]dy=∫21(92+3y)dy=[92y+3y22]21=92⋅2+3⋅42−(92+3⋅12)=9+6−6=9
Věta 2.2 (Důsledek Fubiniovy věty). Platí-li ve větě 2.1 rovnost f(x,y)=g(x)h(y), platí
∫∫Rf(x,y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy. |
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta Mendelovy univerzity v Brně | © 2007-2012 |