Processing math: 100%
   Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2012 

2 Dvojný integrál na obdélníku

Definujme funkci na obdélníku R=[a,b]×[c,d] ohraničenou funkci f(x,y). Obdélník rozdělme na podobdélníky p1, p2, …, pn o obsazích Δp1, Δp2, …, Δpn. Toto dělení označme D.

V obdélníčku pi najdeme supremum Mi a infimum mi funkce f(x,y). Sestrojme horní a dolní integrální součet příslušný dělení D podle vzorců!!!

S(D)=ki=1MiΔpi …horní součets(D)=ki=1miΔpi …dolní součet

Definice 2.1 (dvojný integrál). Jestliže jsou si horní a dolní integrál rovny, pak jejich společnou hodnotu značíme

Rf(x,y)dxdy(2.1)

a nazýváme dvojný integrál funkce f v R. O funkci f říkáme, že je na množině R integrovatelná.

Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím následující věty o převodu dvojného integrálu na dvojnásobný (dva ”obyčejné” integrály).

Věta 2.1 (Fubini). !!! Nechť R=[a,b]×[c,d] je uzavřený obdélník v R2 a f funkce definovaná a spojitá na R. Pak platí

Rf(x,y)dxdy=ba[dcf(x,y)dy]dx=dc[baf(x,y)dx]dy.

Příklad 2.1. Vypočtěte Ω(x+y)dxdy přes obdélník vyznačený na obrázku.   y
2
         Ω
1

                        x
                 3

Ω(x+y)dxdy=21[30(x+y)dx]dy=21[x22+xy]30dy=21[92+3y(02+0y)]dy=21(92+3y)dy=[92y+3y22]21=922+342(92+312)=9+66=9

Věta 2.2 (Důsledek Fubiniovy věty). Platí-li ve větě 2.1 rovnost f(x,y)=g(x)h(y), platí

Rf(x,y)dxdy=bag(x)dxdch(y)dy.

Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta Mendelovy univerzity v Brně © 2007-2012