Dvojny integral na obdelniku

2 Dvojný integrál na obdélníku

Definujme funkci na obdélníku $\displaystyle R = [a,b]\times [c,d]$ ohraničenou funkci $\displaystyle f(x,y)$ . Obdélník rozdělme na podobdélníky $\displaystyle p_{1}$ , $\displaystyle p_{2}$ , …, $\displaystyle p_{n}$ o obsazích $\displaystyle \Delta p_{1}$ , $\displaystyle \Delta p_{2}$ , …, $\displaystyle \Delta p_{n}$ . Toto dělení označme $\displaystyle D$ .

V obdélníčku $\displaystyle p_{i}$ najdeme supremum $\displaystyle M_{i}$ a infimum $\displaystyle m_{i}$ funkce $\displaystyle f(x,y)$ . Sestrojme horní a dolní integrální součet příslušný dělení $\displaystyle D$ podle vzorců

$\begin{align*} S(D) =\sum _{ i=1}^{k}M_{ i}\Delta p_{i} &\text{ …horní součet} & & \\s(D) =\sum _{ i=1}^{k}m_{ i}\Delta p_{i} &\text{ …dolní součet} & & \\\end{align*}$

Supremum množiny všech dolních součtů nazýváme dolní dvojný a značíme $\displaystyle \underline{\int\int _{R}}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$ .
Infimum množiny všech horních součtů nazýváme horní dvojný a značíme $\displaystyle \overline{\int\int _{R}}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$ .

Definice 2.1 (dvojný integrál). Jestliže jsou si horní a dolní integrál rovny, pak jejich společnou hodnotu značíme

$\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$

(2.1)

a nazýváme dvojný $\displaystyle f$ $\displaystyle R$ O funkci $\displaystyle f$ říkáme, že je na množině $\displaystyle R$ integrovatelná.

Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím následující věty o převodu dvojného integrálu na dvojnásobný (dva ”obyčejné” integrály).

Nechť $\displaystyle R = [a,b]\times [c,d]$ je uzavřený obdélník v $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ a $\displaystyle f$ funkce definovaná a spojitá na $\displaystyle R$ . Pak platí

$\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int _{ a}^{b}{\Bigl [\int _{ c}^{d}f(x,y)\, \mathrm{d}y\Bigr ]}\, \mathrm{d}x =\int _{ c}^{d}{\Bigl [\int _{ a}^{b}f(x,y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y.$

Vypočtěte $\displaystyle \int\int _{\Omega }(x + y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$ přes obdélník vyznačený na obrázku. y
2
Ω
1

x
3

$\begin{align*} \int\int _{\Omega }(x + y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y & = \int _{1}^{2}{\Bigl [\int _{ 0}^{3}(x + y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y =\int _{ 1}^{2}{\Bigl [{ x^{2} \over 2} + xy\Bigr ]}_{0}^{3}\, \mathrm{d}y & & \\ & =\int _{ 1}^{2}{\Bigl [{ 9 \over 2} + 3y -{\bigl ({ 0 \over 2} + 0y\bigr )}\Bigr ]}\, \mathrm{d}y =\int _{ 1}^{2}{\Bigl ({ 9 \over 2} + 3y\Bigr )}\, \mathrm{d}y & & \\ & ={\Bigl [{ 9 \over 2} y + 3{ y^{2} \over 2} \Bigr ]}_{1}^{2} ={ 9 \over 2} \cdot 2 + 3\cdot { 4 \over 2} -{\Bigl ({ 9 \over 2} + 3\cdot { 1 \over 2} \Bigr )} & & \\ & = 9 + 6 - 6 = 9 & & \\\end{align*}$

Platí-li ve větě 2.1 rovnost $\displaystyle f(x,y) = g(x)h(y)$ , platí

$\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int _{ a}^{b}g(x)\, \mathrm{d}x\int _{ c}^{d}h(y)\, \mathrm{d}y.$