Supremum a infimum

1 Supremum a infimum

Definice 1.1 (dolní závora). Buď \( \displaystyle A\) neprázdná zdola ohraničená množina reálných čísel. Číslo \( \displaystyle m\) se nazývá dolní závora množiny \( \displaystyle A\), jestliže \( \displaystyle m\leq a\) pro všechna \( \displaystyle a\in A\)

Příklad 1.1.

Dolní závorou intervalu \( \displaystyle (0,1)\) jsou například čísla \( \displaystyle - 1,-\pi ,0\).
Dolní závorou nejsou čísla \( \displaystyle { 1 \over 2} \), \( \displaystyle 6\) ani \( \displaystyle e\).

Definice 1.2 (infimum). Buď \( \displaystyle A\) neprázdná zdola ohraničená množina reálných čísel. Číslo \( \displaystyle \mathop{inf}(A)\) se nazývá infimum množiny \( \displaystyle A\), jestliže je největší dolní závorou množiny \( \displaystyle A\).

Příklad 1.2. Intervaly \( \displaystyle (0,1)\), \( \displaystyle [0,1]\), \( \displaystyle (0,1]\) mají všechny infimum rovno číslu \( \displaystyle 0\).

Definice 1.3 (horní závora). Buď \( \displaystyle A\) neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Číslo \( \displaystyle M\) se nazývá horní závora množiny \( \displaystyle A\), jestliže \( \displaystyle M\geq a\) pro všechna \( \displaystyle a\in A\)

Definice 1.4 (supremum). Buď \( \displaystyle A\) neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Číslo \( \displaystyle \mathop{sup}(A)\) se nazývá supremum množiny \( \displaystyle A\), jestliže je nejmenší horní závorou množiny \( \displaystyle A\).

Příklad 1.3. Intervaly \( \displaystyle (0,1)\), \( \displaystyle [0,1]\), \( \displaystyle (0,1]\) mají všechny supremum rovno číslu \( \displaystyle 1\).