Trajektorie

2 Trajektorie

Nechť dvojice funkcí $\displaystyle x(t)$ , $\displaystyle y(t)$ je řešením systému (1.1). Množina $\displaystyle T$ bodů v rovině $\displaystyle (x,y)$ definovaná relací

$T = \{(\tilde{x},\tilde{y}) :\ x(\tilde{t}) =\tilde{ x}\text{ a }y(\tilde{t}) =\tilde{ y}\text{ pro nějaké }\tilde{t}\in \mathbb{R}\}$

se nazývá trajektorie systému (1.1). Rovinu, do které zakreslujeme trajektorie, nazýváme fázovou rovinou.

Trajektorie stacionárního řešení je tvořena jediným bodem $\displaystyle (x^{*},y^{*})$ a nazývá se stacionární bod.

Zakreslíme-li trajektorii nějakého řešení autonomního systému, ztrácíme informaci o čase. Máme pouze informace, kterých hodnot $\displaystyle (x,y)$ řešení nabývají v tomtéž okamžiku, ovšem nemáme informaci o tom, za jak dlouho řešení do tohoto stavu dospěje. Abychom alespoň měli zachycenu informaci o tom, který stav předchází a který následuje, zpravidla trajektorie orientujeme podle směru toku času.

Prochází-li trajektorie bodem $\displaystyle (x^{*},y^{*})$ , jedná se o trajektorii odpovídající řešení počáteční úlohy

$\left \{\array{ x(0) = x^{*}\quad \cr y(0) = y^{*}.\quad } \right .$

Tato trajektorie má v bodě $\displaystyle (x^{*},y^{*})$ tečnu danou směrovým vektorem $\displaystyle (f(x^{*},y^{*}),g(x^{*},y^{*}))$ . Podobně jako u směrového pole diferenciální rovnice, zakreslení směrových vektorů tečných k trajektoriím lze uskutečnit jen ze znalosti funkcí $\displaystyle f$ a $\displaystyle g$ a odsud je zpravidla možné si udělat základní představu o tvaru trajektorií. Systém těchto vektorů spolu se zakreslenými vybranými trajektoriemi se nazývá fázový portrét autonomního systému. Jedná se a jakousi obdobu směrového pole diferenciální rovnice.

Vzhledem k jednoznačné řešitelnosti se dvě různé trajektorie nikde neprotínají. Mají-li proto dvě trajektorie společný alespoň jeden bod, jsou zcela totožné!

Ve fázové rovině mohou existovat oblasti, které mají tu vlastnost, že každá trajektorie která vstoupí do této oblast ji již v žádném pozdějším čase nemůže opustit. Tyto oblasti se nazývají pozitivně invariantní oblasti. Naopak, oblasti které mají tu vlastnost, že pokud se v nich trajektorie vyskytuje v jistém čase, vyskytuje se v nich i ve všech dřívějších časech, se nazývají negativně invariantní.

Na část trajektorie $\displaystyle T$ , kde každému $\displaystyle x$ odpovídá jediné $\displaystyle y$ , lze pohlížet jako na graf funkce $\displaystyle y = y(x)$ . Vzhledem k tomu, že podle pravidla pro derivaci složené a inverzní funkce platí v diferenciální symbolice

${ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} ={ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}t} \cdot { \, \mathrm{d}t \over \, \mathrm{d}x} ={ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}t} \cdot { 1 \over { \, \mathrm{d}x \over \, \mathrm{d}t} } ={ { \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}t} \over { \, \mathrm{d}x \over \, \mathrm{d}t} } ,$

vyhovuje uvažovaná část trajektorie diferenciální rovnici

${ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} ={ g(x,y) \over f(x,y)} .$

Tato rovnice definuje jednoznačně trajektorie (až na směr toku času) podobně, jako systém (1.1). Poznamenejme, že v bodech $\displaystyle x$ -nulklin (viz dále) je pravá strana rovnice nespojitá a v singulárních bodech může být porušena jednoznačnost řešení. Jako důsledek této vlastnosti dostáváme následující větu.

Buď $\displaystyle \mu (x,y)$ funkce kladná a diferencovatelná na množině $\displaystyle \Omega$ . Autonomní systémy

$\begin{align*} x' & = f(x,y)\mu (x,y) & & \\y' & = g(x,y)\mu (x,y) & & \\\end{align*}$

a (1.1) mají v $\displaystyle \Omega$ stejné fázové portréty.

Pokud je ve Větě 2.1 funkce $\displaystyle \mu$ záporná, tvrzení věty zůstává v platnosti v téměř stejném znění, pouze je ve fázovém portrétu nutno otočit směr všech trajektorií.

Předpokládejme, že každá trajektorie systému (1.1) je prodloužena maximálně oběma směry, tj. pro $\displaystyle t\to \pm \infty$ . Rozeznáváme pouze tři následující typy trajektorií

(i)

Stacionární body. Tyto body odpovídají stacionárním řešením.

(ii)

Uzavřené trajektorie (cykly). Tyto trajektorie odpovídají periodickým řešením. Uvnitř každého cyklu leží alespoň jeden stacionární bod.

(iii)

Trajektorie, které samy sebe nikde neprotínají a pro

$\displaystyle t\to \pm \infty$ tyto trajektorie mají jednu z následujících vlastností.

(a): Trajektorie mají alespoň jednu složku neohraničenou.
(b): Trajektorie konvergují k některému ze stacionárních bodů.
(c): Trajektorie konvergují k některému z cyklů.
(d): Trajektorie konvergují k množině tvořené konečným počtem singulárních bodů a jinými trajektoriemi, které vedou z jednoho stacionárního bodu do druhého.

V praxi se s posledním typem trajektorií většinou nesetkáváme a každá trajektorie, která je ohraničená a není stacionárním bodem ani cyklem začíná a končí buď ve stacionárním bodě, se odmotává z nějakého cyklu (resp. namotává na nějaký cyklus).

Křivka složená z bodů $\displaystyle (x,y)$ v rovině, které splňují $\displaystyle f(x,y) = 0$ se nazývá $\displaystyle x$ . V bodech této nulkliny platí $\displaystyle x' = 0$ a veličina $\displaystyle x$ se tedy v okolí této nulkliny nemění (resp. mění velice pomalu). Z geometrického hlediska má tato křivka vlastnost, že každá trajektorie ji protíná ve svislém směru (zdola nahoru nebo shora dolů).

Podobně, křivka složená z bodů $\displaystyle (x,y)$ v rovině, které splňují $\displaystyle g(x,y) = 0$ se nazývá $\displaystyle y$ . Tato křivka má tu vlastnost, že každá trajektorie ji protíná ve vodorovném směru, protože v bodech $\displaystyle y$ -nulkliny platí $\displaystyle y' = 0$ .

Poznámka 2.6 (spojitá závislost na počátečních podmínkách). Malá změna počátečních podmínek vyvolává relativně malou změnu výsledného řešení autonomního systému. Z tohoto důvodu dvě trajektorie, které prochází dvěma dostatečně blízkými body, mají v okolí tohoto bodu přibližně stejný směr, s výjimkou okolí stacionárních bodů.