1 Úvod
Definice 1.1 (autonomní systém). Nechť \( \displaystyle f\) a \( \displaystyle g\) jsou spojité funkce dvou proměnných. Soustava dvou diferenciálních rovnic
| \[ \begin{aligned}x' = f(x,y), \\y' = g(x,y), \\ \end{aligned} \] | (1.1) |
kde \( \displaystyle ' ={ \, \mathrm{d} \over \, \mathrm{d}t} \) se nazývá dvourozměrný autonomní systém. Jeho řešením rozumíme každou dvojici funkcí \( \displaystyle x(t)\), \( \displaystyle y(t)\), které mají derivace na uvažovaném intervalu a po jejich dosazení do (1.1) přejdou obě rovnice v identity. Proměnná \( \displaystyle t\) se nazývá čas.
Definice 1.2 (počáteční úloha). Nechť \( \displaystyle t_{0}\), \( \displaystyle x_{0}\) a \( \displaystyle y_{0}\) jsou libovolná reálná čísla. Úloha najít řešení soustavy (1.1), které v bodě \( \displaystyle t_{0}\) splňuje počáteční podmínky
| \[ \left \{\array{ x(t_{0}) = x_{0}\quad \cr y(t_{0}) = y_{0}\quad } \right . \] | (1.2) |
se nazývá počáteční úloha.
Poznámka 1.1 (posun v čase). 
Je-li dvojice funkcí \( \displaystyle x(t)\),
\( \displaystyle y(t)\)
řešením soustavy (1.1) a je-li \( \displaystyle c\)
libovolné reálné číslo, platí totéž i pro dvojici funkcí
\( \displaystyle x(t + c)\),
\( \displaystyle y(t + c)\).
Čas \( \displaystyle t_{0}\),
ve kterém formulujeme počáteční podmínky, lze tedy volit libovolně,
Zpravidla klademe bez újmy na obecnosti \( \displaystyle t_{0} = 0\).
Definice 1.3 (stacionární řešení). Nechť \( \displaystyle x^{*}\) a \( \displaystyle y^{*}\) jsou reálná čísla, která splňují
\[ \begin{align*} f(x^{*},y^{*}) & = 0, & & \\g(x^{*},y^{*}) & = 0. & & \\\end{align*}\]Pak dvojice konstantních funkcí \( \displaystyle x(t) = x^{*}\), \( \displaystyle y(t) = y^{*}\) je řešením systému (1.1). Toto řešení se nazývá stacionární řešení.