5 Využití derivací
Není-li níže výslovně uvedeno jinak, rozumíme v této podkapitole pod pojmem funkce vždy funkci jedné proměnné.
5.1 Rychlost změny veličiny
Poznámka 5.1 (praktický význam derivace). 
Nechť veličina \( \displaystyle x\)
označuje čas, měřený ve vhodných jednotkách, a nechť
veličina \( \displaystyle y\)
se mění v průběhu času, tj. \( \displaystyle y = y(x)\) .
Derivace \( \displaystyle y'(x)\)
poté značí okamžitou rychlost, s níž dochází ke změně
velikosti veličiny \( \displaystyle y\)
v čase \( \displaystyle x\) .
Značí-li např. \( \displaystyle y(x)\)
polohu pohybujícího se tělesa v čase \( \displaystyle x\) ,
je derivace \( \displaystyle y'(x)\)
rovna okamžité rychlosti tohoto tělesa (pojem rychlost užíváme ve
fyzikálním smyslu tohoto slova). Značí-li veličina \( \displaystyle y\)
velikost populace určitého živočišného druhu v čase \( \displaystyle x\) ,
značí derivace \( \displaystyle y'(x)\)
rychlost nárůstu této populace, tj. počet živočichů, který
se v daném okamžiku narodil (za časovou jednotku), zmenšený o počet
živočichů, který v daném okamžiku uhynul.
5.2 Lineární aproximace funkce jedné proměnné
Poznámka 5.2. Opačná věta neplatí, ze spojitosti funkce obecně neplyne existence derivace. Příkladem budiž funkce \( \displaystyle y = |x|\) v bodě \( \displaystyle x = 0\) .
Poznámka 5.3 (rovnice tečny). 
Má-li funkce
\( \displaystyle f\) v bodě
\( \displaystyle a\)
derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v tomto bodě
| \[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \] |
Rovnici tečny můžeme použít k lineární aproximaci funkce. V okolí bodu \( \displaystyle a\) platí přibližný vzorec
| \[ f(x)\approx f(a) + f'(a)(x - a), \] |
který umožňuje v okolí bodu \( \displaystyle a\) nahradit (obecně nelineární) funkci \( \displaystyle f(x)\) funkcí lineární.
5.3 Lineární aproximace funkce dvou proměnných
Věta 5.2 (dostatečná podmínka spojitosti, lineární aproximace funkce pomocí parciálních derivací).
Nechť funkce \( \displaystyle f\)
má definované a spojité parciální derivace v okolí bodu
\( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) . Potom
platí následující.
- Funkce \( \displaystyle f\) je v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) spojitá.
- Rovina o rovnici
\[ z = f(x_{0},y_{0}) + f'_{x}(x_{0},y_{0})(x - x_{0}) + f'_{y}(x_{0},y_{0})(y - y_{0}) \] je tečná rovina ke grafu funkce \( \displaystyle f\) v bodě \( \displaystyle (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))\)
- Platí přibližný vzorec
\[ f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0}) + f'_{x}(x_{0},y_{0})(x - x_{0}) + f'_{y}(x_{0},y_{0})(y - y_{0}). \] V tomto vzorci je přesnost tím větší, čím
- je menší vzdálenost bodů \( \displaystyle (x,y)\) a \( \displaystyle (x_{0},y_{0})\) ,
- jsou menší druhé derivace funkce \( \displaystyle f\) (pokud existují).
5.4 Taylorův polynom
Předpokládejme že je dána funkce \( \displaystyle f\) s následujícími vlastnostmi:
- Dokážeme vypočítat funkční hodnotu a hodnotu derivací (až do řádu \( \displaystyle n\) ) v jistém bodě \( \displaystyle x_{0}\) .
- Nemáme dostatečně efektivní algoritmus na výpočet funkčních hodnot v ostatních bodech \( \displaystyle x\neq x_{0}\) .
Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) se budeme snažit funkci aproximovat jednodušší funkcí, v našem případě polynomem stupně \( \displaystyle n\) . Nejlepší polynom, který funkci \( \displaystyle f\) v okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) aproximuje je takový polynom, který má s danou funkcí totožné v bodě \( \displaystyle x_{0}\) derivace až do řádu \( \displaystyle n\) . Takový polynom se nazývá Taylorův polynom a nalezneme ho pomocí následující definice.
Definice 5.1 (Taylorův polynom). Nechť \( \displaystyle n\in \mathbb{N}\) je přirozené číslo a \( \displaystyle f\) funkce, která je definovaná v bodě \( \displaystyle x_{0}\in \mathbb{R}\) a má zde všechny derivace do řádu \( \displaystyle n\) včetně. Polynom
| \[ T_{n}(x) = f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})} {1!} (x - x_{0}) + \frac{f''(x_{0})} {2!} (x - x_{0})^{2} +\cdots +\frac{f^{(n)}(x_{ 0})} {n!} (x - x_{0})^{n} \] |
se nazývá Taylorův polynom stupně \( \displaystyle n\) funkce \( \displaystyle f\) v bodě \( \displaystyle x_{0}\) . Bod \( \displaystyle x_{0}\) se nazývá střed Taylorova polynomu.
Poznámka 5.4. Taylorův polynom je jediný polynom stupně \( \displaystyle n\) , který má s funkcí \( \displaystyle f\) v bodě \( \displaystyle x_{0}\) společnou funkční hodnotu a hodnotu prvních \( \displaystyle n\) derivací. V případě že středem polynomu je \( \displaystyle x_{0} = 0\) používáme pro Taylorův polynom název Maclaurinův polynom.
Věta 5.3 (Taylorova věta). Nechť funkce \( \displaystyle f\) má v bodě \( \displaystyle x_{0}\) a nějakém jeho okolí \( \displaystyle O(x_{0})\) spojité derivace do řádu \( \displaystyle n + 1\) , včetně. Pak pro všechna \( \displaystyle x\in O(x_{0})\) platí
| \[ f(x) = T_{n}(x) + R_{n+1}(x), \] |
kde \( \displaystyle T_{n}(x)\) je Taylorův polynom funkce \( \displaystyle f\) stupně \( \displaystyle n\) se středem v bodě \( \displaystyle x_{0}\) a \( \displaystyle R_{n+1}(x)\) je zbytek. Tento zbytek splňuje
| \[ R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)} {(n + 1)!} (x -x_{0})^{n+1}, \] | (5.1) |
kde \( \displaystyle c\) je vhodné číslo ležící mezi \( \displaystyle x\) a \( \displaystyle x_{0}\) .
Poznámka 5.5 (aproximace a její přesnost). Z vyjádření zbytku (5.1)
plyne, že tento zbytek je malý, jestliže
- \( \displaystyle x\) je blízko \( \displaystyle x_{0}\) , tj. absolutní hodnota rozdílu \( \displaystyle (x - x_{0})\) je malá
- \( \displaystyle n\) je velké
- \( \displaystyle f^{(n+1)}(x)\) je malá v uvažovaném okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\)
Jsou-li tyto podmínky splněny, můžeme psát v okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\)
| \[ f(x)\approx T_{n}(x) \] |
a chyba, které se při tom dopustíme bude malá. (Z (5.1) jsme schopni určit maximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.)
Poznámka 5.6 (aplikační). Taylorův polynom tedy slouží k tomu, abychom jistou funkční závislost aproximovali závislostí polynomickou. Tím se závislost podstatně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí.
5.5 Bolzanova věta
Věta 5.4 (první Bolzanova věta). Nechť funkce \( \displaystyle f(x)\)
je spojitá na uzavřeném intervalu \( \displaystyle [a,b]\)
a platí \( \displaystyle f(a)\cdot f(b) < 0\)
(tj. \( \displaystyle f(a)\)
a \( \displaystyle f(b)\)
mají opačná znaménka). Pak funkce \( \displaystyle f(x)\)
má na intervalu \( \displaystyle (a,b)\)
nulový bod, tj. existuje číslo \( \displaystyle c\in (a,b)\)
s vlastností \( \displaystyle f(c) = 0\) .
Poznámka 5.7 (nelineární nerovnice). Bolzanova věta umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 5.4 totiž funkce může změnit znaménko jedině v bodě, kde je porušena její spojitost (= skokem), nebo v nulovém bodě (= graf protíná osu \( \displaystyle x\) ). Řešíme-li tedy nerovnici \( \displaystyle f(x) > 0\) , nalezneme nejprve body nespojitosti funkce \( \displaystyle f\) a nulové body této funkce, tj. řešení rovnice \( \displaystyle f(x) = 0\) . Obě skupiny bodů vyneseme na reálnou osu a definiční obor se tímto rozpadne na několik podintervalů. Uvnitř každého z těchto intervalů platí buď \( \displaystyle f(x) > 0\) nebo \( \displaystyle f(x) < 0\) . Která z těchto variant platí ve kterém z intervalů lze zjistit například postupným dosazováním reprezentantů z jednotlivých intervalů.
5.6 Lokální extrémy, konvexnost a konkávnost
Definice 5.2 (lokální extrém). Buď \( \displaystyle f\) funkce a \( \displaystyle x_{0}\in D(f)\) .
- Řekneme, že funkce má v bodě \( \displaystyle x_{0}\) lokální maximum, jestliže existuje ryzí okolí \( \displaystyle \overline{O}(x_{0})\) , takové, že \( \displaystyle f(x_{0})\geq f(x)\) pro všechna \( \displaystyle x\in \overline{O}(x_{0})\) . Je-li nerovnost ostrá, říkáme, že funkce \( \displaystyle f\) má v bodě \( \displaystyle x_{0}\) ostré lokální maximum.
- Platí-li opačné nerovnosti, říkáme, že funkce má v bodě \( \displaystyle x_{0}\) lokální minimum a ostré lokální minimum.
- Lokální maximum a minimum nazýváme společným názvem lokální extrémy. Ostré lokální maximum a ostré lokální minimum nazýváme společným názvem ostré lokální extrémy.
Poznámka 5.8 (k předchozí definici). Funkce má v bodě \( \displaystyle x_{0}\)
ostré lokální maximum (minimum), jestliže v nějakém ryzím
okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\)
nabývá pouze nižších (vyšších) funkčních
hodnot, než \( \displaystyle f(x_{0})\) .
Hodnota \( \displaystyle f(x_{0})\)
je tedy jediná nejvyšší (nejnižší) funkční hodnota
v nějakém okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) .
Okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\)
z předchozí definice musí nutně celé ležet v definičním
oboru funkce \( \displaystyle f\) .
(V některé literatuře je tato podmínka poněkud oslabena. Např.
u funkce \( \displaystyle y = \sqrt{x}\)
nemluvíme o lokálním minimum v bodě \( \displaystyle 0\) ,
protože nalevo od bodu \( \displaystyle 0\)
vůbec není definována. Jiní autoři tento bod však za lokální
extrém považují.)
Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jak ukazuje následující věta.
Věta 5.5 (postačující podmínky pro existenci a neexistenci lokálních extrémů). Buď \( \displaystyle f\) funkce definovaná a spojitá v nějakém okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) .
- Jestliže existuje levé okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) , ve kterém je funkce rostoucí a pravé okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) , ve kterém je funkce klesající, je bod \( \displaystyle x_{0}\) bodem ostrého lokálního maxima funkce \( \displaystyle f\) .
- Jestliže existuje levé okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) , ve kterém je funkce klesající a pravé okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) , ve kterém je funkce rostoucí, je bod \( \displaystyle x_{0}\) bodem ostrého lokálního minima funkce \( \displaystyle f\) .
- Jestliže existuje okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) ve kterém je funkce ryze monotonní, lokální extrém v bodě \( \displaystyle x_{0}\) nenastává.
Poznámka 5.10 (absolutní extrémy funkce). Uvažujme funkci, která
je spojitá na uzavřeném intervalu \( \displaystyle [a,b]\) .
Tato funkce nabývá na intervalu \( \displaystyle [a,b]\)
své nejmenší a největší hodnoty (toto tvrzení je známé
jako Weierstrassova věta). Tyto hodnoty nazýváme absolutní maximum a
absolutní minimum funkce \( \displaystyle f\)
na intervalu \( \displaystyle [a,b]\) .
Je zřejmé (odkud?), že těchto extremálních hodnot může
funkce nabývat pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy,
nebo v některém z krajních bodů intervalu \( \displaystyle [a,b]\) .
Definice 5.3 (konvexnost, konkávnost). Buď \( \displaystyle f\) funkce mající derivaci v bodě \( \displaystyle x_{0}\) . Řekneme, že funkce \( \displaystyle f\) je v bodě \( \displaystyle x_{0}\) konvexní (konkávní), jestliže existuje ryzí okolí bodu \( \displaystyle x_{0}\) takové, že pro všechna \( \displaystyle x\in \overline{O}(x_{0})\) leží body grafu funkce nad tečnou (pod tečnou) ke grafu funkce \( \displaystyle f\) sestrojenou v bodě \( \displaystyle x_{0}\) , tj. platí
| \[ f(x) > f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0})\qquad {\Bigl (f(x) < f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0})\Bigr )}. \] | (5.2) |
Řekneme, že funkce je konvexní (konkávní) na otevřeném intervalu I, má-li tuto vlastnost v každém bodě intervalu \( \displaystyle I\) .
V následujících větách si ukážeme, že monotonie a lokální extrémy úzce souvisí s první derivací funkce, zatímco konvexnost/konkávnost a inflexní body souvisí s druhou derivací.
Poznámka 5.11 (geometrický význam). Geometricky jsou stacionární body body, ve kterých má graf funkce vodorovnou tečnu (proč?).
Věta 5.6 (souvislost derivace a lokálních extrémů). Nechť má
funkce v bodě \( \displaystyle x_{0}\)
lokální extrém. Pak funkce \( \displaystyle f\)
v bodě \( \displaystyle x_{0}\)
buď nemá derivaci, nebo je tato derivace nulová, tj. platí \( \displaystyle f'(x_{0}) = 0\)
a \( \displaystyle x_{0}\)
je stacionárním bodem funkce \( \displaystyle f\) .
Poznámka 5.12 (strategie hledání lokálních extrémů).
Podle předchozí věty jsou body kde derivace neexistuje a stacionární
body jedinými ”podezřelými” kandidáty na body, v nichž by
funkce mohla nabývat lokálního extrému. Nikde jinde (a takových
bodů bývá naprostá většina) lokální extrém
nemůže nastat. Při hledání lokálních extrémů
postupujeme tak, že nejprve nalezneme všechny tyto ”podezřelé” body (tj.
funkci
\( \displaystyle f\)
zderivujeme a zjistíme, kde je tato derivace nulová a kde není definovaná)
a poté v každém bodě samostatně rozhodneme, je-li v něm
lokální extrém a případně jaký. K tomu nám
může posloužit Věta 5.5 ve spojení s následující
Větou 5.7.
Věta 5.7 (souvislost derivace a monotonie). Nechť funkce
\( \displaystyle f\) má derivaci na
otevřeném intervalu \( \displaystyle I\) .
- Je-li \( \displaystyle f'(x) > 0\) na intervalu \( \displaystyle I\) , je funkce \( \displaystyle f\) rostoucí na \( \displaystyle I\) .
- Je-li \( \displaystyle f'(x) < 0\) na intervalu \( \displaystyle I\) , je funkce \( \displaystyle f\) klesající na \( \displaystyle I\) .
Následující dvě věty jsou jednoduchým důsledkem definice lokálních extrémů a definice rostoucí a klesající funkce. Přesto mohou tyto věty značně zjednodušit hledání lokálních extrémů funkce.
Věta 5.8 (lokální extrémy složené funkce s monotonní vnější složkou). Nechť funkce \( \displaystyle g(x)\) je definovaná na \( \displaystyle I\) a \( \displaystyle f(x)\) je ryze monotonní na \( \displaystyle g(I)\) . Potom funkce \( \displaystyle g(x)\) a \( \displaystyle f(g(x))\) nabývají na \( \displaystyle I\) svých lokálních extrémů ve stejných bodech. Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce \( \displaystyle f\) rostoucí a opačného typu, pokud je funkce \( \displaystyle f\) klesající.
Věta 5.9 (lokální extrémy složené funkce s monotonní vnitřní složkou). Nechť funkce \( \displaystyle g(x)\) je spojitá a ryze monotonní na \( \displaystyle I\) a nechť funkce \( \displaystyle f(x)\) je definovaná na \( \displaystyle g(I)\) . Potom složená funkce \( \displaystyle f(g(x))\) má lokální v bodě \( \displaystyle x = a\) právě tehdy, když funkce \( \displaystyle f(t)\) má lokální extrém v bodě \( \displaystyle t = g(a)\) . Tyto lokální extrémy jsou stejného typu pokud je funkce \( \displaystyle g\) rostoucí a opačného typu, pokud je funkce \( \displaystyle g\) klesající.
Příklad 5.1 (lokální extrém složené funkce). Na intervalu \( \displaystyle (0,1)\) hledejme lokální extrémy funkce \( \displaystyle y = x\sqrt{1 - x^{2}}\) . Podle Věty 5.8 stačí najít extrémy druhé mocniny této funkce, tj. funkce \( \displaystyle y = x^{2}(1 - x^{2})\) . Studovaná funkce je totiž na intervalu \( \displaystyle I\) kladná a druhá mocnina tedy roste. Podle Věty 5.9 můžeme zavést substituci \( \displaystyle x^{2} = t\) a studovat funkci \( \displaystyle y = t(1 - t)\) . Pořád totiž pracujeme s kladnými hodnotami \( \displaystyle x\) a druhá mocnina je tedy rostoucí funkce. Grafem funkce \( \displaystyle y = t(1 - t)\) je parabola s lokálním maximem ve vrcholu, tj. v bodě \( \displaystyle t = \frac{1} {2}\) , který leží uprostřed mezi nulovými body \( \displaystyle t = 0\) a \( \displaystyle t = 1\) . Zadaná funkce \( \displaystyle y = x\sqrt{1 - x^{2}}\) má tedy lokální extrém v bodě, který splňuje \( \displaystyle x^{2} = \frac{1} {2}\) , tj. v bodě \( \displaystyle x = \frac{1} {\sqrt{2}}\) . Protože jsme použili rostoucí funkce, jedná se o lokální extrémy stejného typu, tj. je zde lokální maximum. Vidíme, že lokální extrém jsme našli pouze použitím zcela elementárních prostředků. Postup založený na výpočtu derivace a jejích nulových bodů by byl nepoměrně náročnější.
Věta 5.10 (souvislost druhé derivace s konvexností a konkávností). Buď \( \displaystyle f\) funkce mající druhou derivaci na otevřeném intervalu \( \displaystyle I\) .
- Je-li \( \displaystyle f''(x) > 0\) na intervalu \( \displaystyle I\) , je funkce \( \displaystyle f\) konvexní na \( \displaystyle I\) .
- Je-li \( \displaystyle f''(x) < 0\) na intervalu \( \displaystyle I\) , je funkce \( \displaystyle f\) konkávní na \( \displaystyle I\) .
Věta 5.11 (souvislost inflexních bodů a druhé derivace). Nechť má
funkce v bodě \( \displaystyle x_{0}\)
inflexní bod. Pak funkce \( \displaystyle f\)
v bodě \( \displaystyle x_{0}\)
buď nemá druhou derivaci, nebo je tato druhá derivace nulová, tj. platí
\( \displaystyle f''(x_{0}) = 0\)
a \( \displaystyle x_{0}\)
je kritickým bodem funkce \( \displaystyle f\) .
Věta 5.12 (souvislost druhé derivace s lokálními extrémy). Buď \( \displaystyle f\) funkce a \( \displaystyle x_{0}\) stacionární bod funkce \( \displaystyle f\) . Je-li \( \displaystyle f''(x_{0}) > 0\) , nabývá funkce v bodě \( \displaystyle x_{0}\) lokálního minima, je-li \( \displaystyle f''(x_{0}) < 0\) , nabývá funkce v bodě \( \displaystyle x_{0}\) lokálního maxima.
Poznámka 5.13 (technická). Předchozí věta nedává odpověď na otázku zda a jaký lokální extrém nastává ve stacionárním bodě, který je současně i kritickým bodem. V tomto případě totiž nelze o existenci a kvalitě lokálního extrému pomocí druhé derivace rozhodnout. Proto je lepší při hledání lokálních extrémů využívat Věty 5.5 a 5.7.
5.7 Newtonova–Raphsonova metoda
Budeme se zabývat úkolem najít přibližné řešení rovnice
| \[ f(x) = 0, \] | (5.3) |
kde \( \displaystyle f(x)\) je diferencovatelná funkce.
Při přibližném řešení rovnic zpravidla máme k dipozici jistý počáteční odhad, který nám udává přibližnou polohu kořene, a naším úkolem je tento počáteční odhad zpřesnit na požadovanou přesnost. Tento počáteční odhad získáme například grafickým řešením rovnice, nebo v nouzi hrubou výpočetní silou střelbou naslepo.
Jedna z metod zpřesnění počátečního odhadu kořenů (Newtonova–Raphsonova) spočívá v aproximaci funkce tečnou a hledání kořene této tečny. Je-li počáteční odhad kořene \( \displaystyle x = x_{0}\) , můžeme funkci v okolí bodu dotyku aproximovat tečnou
| \[ f(x)\approx f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}) \] | (5.4) |
a označíme-li \( \displaystyle x_{1}\) novou aproximaci kořene, určíme \( \displaystyle x_{1}\) z podmínky
| \[ 0\approx f(x_{0}) + f'(x_{0})(x_{1} - x_{0}) \] |
tj.
\[ \begin{align*} f'(x_{0})(x_{1} - x_{0}) &\approx - f(x_{0}) & & \\x_{1} - x_{0} &\approx -\frac{f(x_{0})} {f'(x_{0})} & & \\x_{1} &\approx x_{0} -\frac{f(x_{0})} {f'(x_{0})}. & & \\\end{align*}\]Tento postup můžeme opakovat a odhad \( \displaystyle x_{1}\) můžeme dále zpřesnit. Za jistých podmínek se takto budeme přibližovat k řešení rovnice \( \displaystyle f(x)\) . Stanovení podmínek konvergence metody je obsaženo v následující větě. Zhruba řečeno, funkce \( \displaystyle f(x)\) , musí být dostatečně hladká, počáteční odhad musí být dostatečně blízko kořene a derivace zde nesmí být rovna nule.
Věta 5.13 (Newtonova–Raphsonova metoda). Nechť \( \displaystyle f(x)\) je funkce, která má na \( \displaystyle [a,b]\) spojitou druhou derivaci a nechť existuje číslo \( \displaystyle c\) takové, že \( \displaystyle f(c) = 0\) . Jestliže \( \displaystyle f'(c)\neq 0\) , potom existuje \( \displaystyle \delta > 0\) takové, že posloupnost
| \[ x_{k+1} = x_{k} -\frac{f(x_{k})} {f'(x_{k})} \] | (5.5) |
konverguje k číslu \( \displaystyle c\) pro libovolné počáteční \( \displaystyle x_{0}\) splňující \( \displaystyle |x_{0} - c| <\delta \) .
Konvergence metody je velmi rychlá – každým krokem se počet přesných cifer prakticky zdvojnásobí.
Příklad 5.2 (Newtonova–Raphsonova metoda). Pro funkci \( \displaystyle f(x) =\cos (x) - x\) má iterační schéma tvar \( \displaystyle x_{n+1} = x_{n} + \frac{\cos (x_{n})-x_{n}} {1+\sin (x_{n})} \) a volíme-li \( \displaystyle x_{0} = 0.5\) , vypadá posloupnost iterací následovně: \( \displaystyle x_{1} = 0.75522241710563\) , \( \displaystyle x_{2} = 0.73914166614987\) , \( \displaystyle x_{3} = 0.73908513392080\) , \( \displaystyle x_{4} = 0.73908513321516\) .
