4 Derivace
Definice 4.1 (derivace elementární funkce jedné proměnné). Buď \( \displaystyle f(x)\) elementární funkce proměnné \( \displaystyle x\) . Funkce \( \displaystyle f'(x)\) vytvořená postupnou aplikací následujících pravidel se nazývá derivace funkce \( \displaystyle f(x)\) .
|
(1) \( \displaystyle (c)' = 0\) (2) \( \displaystyle (x^{n})' = nx^{n-1}\) (3) \( \displaystyle (a^{x})' = a^{x}\ln a\) (4) \( \displaystyle (e^{x})' = e^{x}\) (5) \( \displaystyle (\log _{a}x)' = \frac{1} {x\ln a}\) (6) \( \displaystyle (\ln x)' = \frac{1} {x}\) (7) \( \displaystyle (\sin x)' =\cos x\) (8) \( \displaystyle (\cos x)' = -\sin x\) (9) \( \displaystyle (\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x)' = \frac{1} {\cos ^{2}x}\) (10) \( \displaystyle (\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x)' = -\frac{1} {\sin ^{2}x}\) (11) \( \displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1} {\sqrt{1 - x^{2}}}\) (12) \( \displaystyle (\arccos x)' = - \frac{1} {\sqrt{1 - x^{2}}}\) (13) \( \displaystyle (\mathop{\mathrm{arctg}} x)' = \frac{1} {1 + x^{2}}\) (14) \( \displaystyle (\mathop{\mathrm{arccotg}} x)' = - \frac{1} {1 + x^{2}}\) |
A jsou-li \( \displaystyle u,v :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \( \displaystyle c\in \mathbb{R}\) , potom
1. \( \displaystyle (u(x)\pm v(x))' = u'(x)\pm v'(x)\)
2. \( \displaystyle (cu(x))' = cu'(x)\)
3. \( \displaystyle (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
4. \( \displaystyle {\Bigl (\frac{u(x)} {v(x)}\Bigr )}' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {v^{2}(x)} \)
5. \( \displaystyle {\Bigl (u(v(x))\Bigr )}' = u'(v(x))v'(x)\)
Poznámka 4.1 (druhá derivace a vyšší derivace). Protože výsledkem derivace je funkce, můžeme tuto funkci opět derivovat. Výsledkem je druhá derivace funkce původní. Dalším derivováním získáme třetí a další derivace. Druhou derivaci onačujeme \( \displaystyle y''\) , třetí derivaci \( \displaystyle y'''\) atd, obecně \( \displaystyle n\) -tou derivaci označujeme \( \displaystyle y^{(n)}\) . Například funkce \( \displaystyle y = x^{3}\) splňuje \( \displaystyle y' = 3x^{2}\) , \( \displaystyle y'' = 6x\) , \( \displaystyle y''' = 6\) a \( \displaystyle y^{(n)} = 0\) pro libovolné \( \displaystyle n\geq 4\) .
Definice 4.2 (parciální derivace). Nechť \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}\) je funkce dvou proměnných. Pro libovolné ale pevné \( \displaystyle y\) definujme funkci jedné proměnné \( \displaystyle \varphi (x) = f(x,y)\) . Derivaci funkce \( \displaystyle \varphi (x)\) nazýváme parciální derivaci funkce \( \displaystyle f(x,y)\) podle proměnné \( \displaystyle x\) . Podobně definujeme parciální derivaci podle \( \displaystyle y\) pomocí derivace funkce jedné proměnné \( \displaystyle \varphi (y) = f(x,y)\)
Poznámka 4.2. Derivaci funkce jedné proměnné \( \displaystyle y = f(x)\) označujeme též \( \displaystyle \frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x}\) nebo \( \displaystyle \frac{\mathrm{d}f} {\mathrm{d}x}\) .
Derivaci funkce dvou proměnných \( \displaystyle z = f(x,y)\) podle \( \displaystyle x\) označujeme též \( \displaystyle f_{x}\) , \( \displaystyle z'_{x}\) , \( \displaystyle z_{x}\) , \( \displaystyle { \partial\, f \over \partial\, x} \) , \( \displaystyle { \partial\, z \over \partial\, x} \) . Podobně pro derivaci podle \( \displaystyle y\) . Druhé derivace označujeme \( \displaystyle z''_{xx}\) , \( \displaystyle f''_{yy}\) , \( \displaystyle z''_{xy}\) , \( \displaystyle { \partial\, ^{2}z \over \partial\, x\partial\, y} \) , \( \displaystyle { \partial\, ^{2}z \over \partial\, y^{2}} \) a podobně.
Druhé parciální derivace funkce dvou proměnných jsou celkem čtyři. Následující věta ukazuje, že smíšené druhé derivace jsou většinou totožné, tj. že druhé derivace existují ve většině případů pouze tři.
Jsou-li parciální derivace
\( \displaystyle f''_{xy}\) a
\( \displaystyle f''_{yx}\)
definované a spojité na otevřené množině
\( \displaystyle M\) , pak jsou totožné,
tj. pro všechna \( \displaystyle (x,y)\in M\)
platí
