2 Funkce více proměnných
Symbol \( \displaystyle \mathbb{R}^{n}\) označuje uspořádanou \( \displaystyle n\) -tici reálných čísel.
Definice 2.1 (funkce, definiční obor, obor hodnot). Řekneme, že pravidlo \( \displaystyle f\) je funkcí \( \displaystyle n\) proměnných s definičním oborem \( \displaystyle D(f)\subseteq \mathbb{R}^{n}\) a oborem hodnot \( \displaystyle Im(f)\subseteq \mathbb{R}\) , jestliže toto pravidlo každému \( \displaystyle X\in D(f)\) přiřazuje jediné číslo \( \displaystyle Y \in Im(f)\) . Píšeme \( \displaystyle Y = f(X)\) .
Prvek \( \displaystyle X\) nazýváme vzor a číslo \( \displaystyle Y \) obraz. Je-li \( \displaystyle f\) funkce \( \displaystyle n\) proměnných, píšeme \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}\)
Definice 2.2 (graf, vrstevnice). Uvažujme funkci dvou proměnných \( \displaystyle f :\mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}\) .
Grafem funkce \( \displaystyle f\) rozumíme množinu bodů \( \displaystyle (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\) s vlastností \( \displaystyle z = f(x,y)\) . Zpravidla touto množinou bude nějaká plocha v prostoru.
Nechť \( \displaystyle C\in Im(f)\) je předem dané číslo. Vrstevnicí na úrovni \( \displaystyle C\) rozumíme množinu všech bodů \( \displaystyle (x,y)\in \mathbb{R}^{2}\) , splňující \( \displaystyle f(x,y) = C\) .
Poznámka 2.1 (geometrická představa). Geometricky lze graf funkce dvou proměnných chápat jako plochu v trojrozměrném prostoru, popsaném souřadnicemi \( \displaystyle x\) , \( \displaystyle y\) a \( \displaystyle z\) . Vrstevnice na úrovni \( \displaystyle C\) je potom křivka, která je řezem grafu funkce rovinou \( \displaystyle z = C\) , tj. vodorovnou rovinou, procházející bodem \( \displaystyle [0,0,C]\) .
