Funkce jedne promenne

1 Funkce jedné proměnné

Definice 1.1 (funkce). Buďte $ \displaystyle A$ a $ \displaystyle B$ neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel.

Pravidlo $ \displaystyle f$ , které každému prvku množiny $ \displaystyle A$ přiřadí jediný prvek množiny $ \displaystyle B$ se nazývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zapisujeme $ \displaystyle f : A\to B$ . Skutečnost, že prvku $ \displaystyle a\in A$ je přiřazen prvek $ \displaystyle b\in B$ zapisujeme takto: $ \displaystyle f(a) = b$ . Přitom říkáme, že $ \displaystyle b$ je obrazem prvku $ \displaystyle a$ při zobrazení $ \displaystyle f$ , resp. že $ \displaystyle a$ je vzorem prvku $ \displaystyle b$ při zobrazení $ \displaystyle f$ .

Definice 1.2 (pojmy spojené s funkcemi). Množina $ \displaystyle A$ z definice funkce se nazývá definiční obor funkce $ \displaystyle f$ . Označujeme $ \displaystyle D(f)$ (resp. $ \displaystyle Dom(f)$ ). Množina všech $ \displaystyle b\in B$ , pro které existuje $ \displaystyle a\in A$ s vlastností $ \displaystyle f(a) = b$ se nazývá obor hodnot funkce $ \displaystyle f$ . Označujeme $ \displaystyle H(f)$ (resp. $ \displaystyle Im(f)$ ).

Je-li $ \displaystyle y = f(x)$ nazýváme proměnnou $ \displaystyle x$ též nezávislou proměnnou a proměnnou $ \displaystyle y$ závislou proměnnou. Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic $ \displaystyle [x,y]\in \mathbb{R}^{2}$ s vlastností $ \displaystyle y = f(x)$ .

Poznámka 1.1. Funkce je tedy pravidlo, které jednomu reálnému číslu přiřadí jediné, přesně definované jiné reálné číslo. Je-li toto pravidlo tvaru ”$ \displaystyle y = \text{vzorec s proměnnou $x$}$ ”, nazýváme tento předpis explicitním tvarem funkce, např. $ \displaystyle y = x^{2} +\ln x$ .

Je-li toto pravidlo ve tvaru ”$ \displaystyle \text{vzorec s proměnnými $x,y$} = 0$ ”, nazýváme tento předpis implicitním tvarem funkce., např. $ \displaystyle x - y -\ln y = 0$ . Zjednodušeně řečeno se tedy jedná o pravidlo, které je buď ”efektivní” (explicitní tvar) nebo ”málo efektivní” (implicitní tvar) pro výpočet funkčních hodnot.

Následující definice se týká naprosté většiny funkcí, se kterými budeme pracovat.

Definice 1.3 (základní elementární funkce). Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce a obecná mocnina se nazývají základní elementární funkce.

Definice 1.4 (elementární funkce). Všechny funkce, které ze základních elementárních funkcí získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem se nazývají elementární funkce.

Poznámka 1.2. Elementární funkce jsou tedy všechny funkce, které umíme v konečném tvaru vyjádřit explicitním vzorcem za použití funkcí známých ze střední školy a cyklometrických funkcí.

Motivace. Pro libovolnou dobře definovanou funkci $ \displaystyle f$ platí implikace

\[ x_{1} = x_{2}\Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2}). \]

nyní se budeme zajímat o to, za jakých podmínek lze tuto implikaci obrátit. Obrácení implikace by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic.

Definice 1.5 (prostost ). Nechť $ \displaystyle f$ je funkce a $ \displaystyle M\subseteq D(f)$ podmnožina definičního oboru funkce $ \displaystyle f$ .

Řekneme, že funkce $ \displaystyle f$ je prostá, jestliže každý obraz má jen jediný vzor, tj. pro každé $ \displaystyle y\in f(M)$ existuje jediné $ \displaystyle x\in M$ s vlastností $ \displaystyle f(x) = y$ .

Nespecifikujeme-li množinu $ \displaystyle M$ , máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce $ \displaystyle f$ .

Poznámka 1.3 (grafický důsledek). Funkce je prostá, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf nejvýše jednou.

Poznámka 1.4 (k prostým funkcím). Ekvivalentně lze říci, že funkce $ \displaystyle f$ je prostá na množině $ \displaystyle M$ , jestliže stejné obrazy mají nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřazeny různé obrazy. Matematicky formulováno: platí implikace

\[ f(x_{1}) = f(x_{2})\Rightarrow x_{1} = x_{2}, \]

(1.1)

tj. je-li funkce $ \displaystyle f$ prostá, můžeme tuto funkci ”odstranit” z obou stran rovnice a místo $ \displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2})$ psát ekvivalentně $ \displaystyle x_{1} = x_{2}$ .

Definice 1.6 (inverzní funkce ). Nechť funkce $ \displaystyle f : A\to B$ je prostá. Pravidlo, které každému $ \displaystyle x$ z množiny $ \displaystyle f(A)$ přiřadí to (jediné) $ \displaystyle y$ , pro které platí $ \displaystyle f(y) = x$ se nazývá inverzní funkce k funkci $ \displaystyle f$ , označujeme $ \displaystyle f^{-1}$ .

Poznámka 1.5. Symbol $ \displaystyle f^{-1}(x)$ lze tedy chápat buď jako hodnotu inverzní funkce k funkci $ \displaystyle f$ v bodě $ \displaystyle x$ , nebo jako převrácenou hodnotu k číslu $ \displaystyle f(x)$ , tj jako $ \displaystyle [f(x)]^{-1} = \frac{1} {f(x)}$ . Nebude-li z kontextu zřejmé, o kterou variantu se jedná, musíme toto upřesnit.

Poznámka 1.6 (geometrický význam inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že graf funkce $ \displaystyle f$ a graf funkce k ní inverzní $ \displaystyle f^{-1}$ jsou souměrné podle přímky $ \displaystyle y = x$ , tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu.

Poznámka 1.7 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci $ \displaystyle y = f(x)$ určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné $ \displaystyle x$ a $ \displaystyle y$ , máme tedy $ \displaystyle x = f(y)$ . Tato rovnice definuje implicitně inverzní funkci $ \displaystyle y = f^{-1}(x)$ . Z této rovnice vyjádříme proměnnou $ \displaystyle y$ (pokud toto nelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvaru). Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že funkce $ \displaystyle f$ není prostá a inverzní funkce neexistuje) a definuje explicitně inverzní funkci $ \displaystyle f^{-1}$ . U základních elementárních funkcí je zpravidla inverzní funkce jednoduše jiná základní elementární funkce, například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně (viz Tabulka 1.1). Protože vlastnost ”být inverzní funkcí” je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální.


Funkce $ \displaystyle y = f(x)$	Funkce inverzní $ \displaystyle y = f^{-1}(x)$


$ \displaystyle y = \sqrt{x}$	$ \displaystyle y = x^{2}$ , $ \displaystyle x\geq 0$

$ \displaystyle y = x^{2}$ , $ \displaystyle x\geq 0$	$ \displaystyle y = \sqrt{x}$

$ \displaystyle y = e^{x}$	$ \displaystyle y =\ln x$

$ \displaystyle y =\ln x$	$ \displaystyle y = e^{x}$

$ \displaystyle y = a^{x}$	$ \displaystyle y =\log _{a}x$

$ \displaystyle y =\sin x$ , $ \displaystyle x\in [-\pi ∕2,\pi ∕2]$	$ \displaystyle y =\arcsin x$

$ \displaystyle y =\cos x$ , $ \displaystyle x\in [0,\pi ]$	$ \displaystyle y =\arccos x$

$ \displaystyle y =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ , $ \displaystyle x\in [-\pi ∕2,\pi ∕2]$	$ \displaystyle y =\mathop{\mathrm{arctg}} x$

Tabulka 1.1: Inverzní funkce k základním elementárním funkcím.

Poznámka 1.8 (využití inverzní funkce – nelineární rovnice). Má-li funkce $ \displaystyle f$ inverzní funkci $ \displaystyle f^{-1}$ a je-li tato inverzní funkce definována v bodě $ \displaystyle x$ , potom má nelineární rovnice s neznámou $ \displaystyle y$

\[ f(y) = x \]

právě jedno řešení dané vzorcem

\[ y = f^{-1}(x). \]

Příklad 1.1 (nelineární rovnice). Řešme rovnici

\[ e^{{ 2 \over x-1} } = 2. \]

Protože k exponenciální funkci je inverzní logaritmická funkce, plyne odsud

\[ \frac{2} {x - 1} =\ln 2, \]

odkud již snadno vyjádříme

\[ x = \frac{2} {\ln 2} + 1. \]

Jinou možností je přepsat rovnici do tvaru, který obsahuje exponenciální funkci na obou stranách rovnice

\[ e^{{ 2 \over x-1} } = e^{\ln 2} \]

a odstranit tuto exponenciální funkci z obou stran rovnice (exponenciální funkce je totiž prostá a lze použít (1.1) a připojenou poznámku). Obdržíme samozřejmě stejný výsledek.

Motivace. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí a klesající funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zachovávají (rostoucí) nebo obracejí (klesající) směr nerovnosti při aplikaci funkce na obě strany nerovnice.

Definice 1.7 (monotonie funkce ). Nechť $ \displaystyle f$ je funkce a $ \displaystyle M\subseteq D(f)$ podmnožina definičního oboru funkce $ \displaystyle f$ .

(i): Řekneme, že funkce $ \displaystyle f$ je na množině $ \displaystyle M$ rostoucí jestliže pro každé $ \displaystyle x_{1},x_{2}\in M$ s vlastností $ \displaystyle x_{1} < x_{2}$ , platí $ \displaystyle f(x_{1}) < f(x_{2})$ .
(ii): Řekneme, že funkce $ \displaystyle f$ je na množině $ \displaystyle M$ klesající jestliže pro každé $ \displaystyle x_{1},x_{2}\in M$ s vlastností $ \displaystyle x_{1} < x_{2}$ , platí $ \displaystyle f(x_{1}) > f(x_{2})$ .
(iii): Řekneme, že funkce $ \displaystyle f$ je na množině $ \displaystyle M$ (ryze) monotonní je-li buď rostoucí, nebo klesající na $ \displaystyle M$ .

Nespecifikujeme-li množinu $ \displaystyle M$ , máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce $ \displaystyle f$ .

Poznámka 1.9 (využití monotonie – nelineární nerovnice). To, že je funkce rostoucí názorně znamená, že jsou-li vzory funkce (hodnoty $ \displaystyle x$ ) uspořádány podle velikosti, platí pro jejich obrazy (hodnoty $ \displaystyle f(x)$ ) stejné uspořádání. Je-li $ \displaystyle f(x)$ tedy rostoucí funkce, jsou nerovnosti $ \displaystyle a < b$ a $ \displaystyle f(a) < f(b)$ ekvivalentní. Totéž platí i pro neostré nerovnice.

Můžeme tedy libovolnou (ostrou nebo neostrou) nerovnici např. ”logaritmovat”, nebo ”odlogaritmovat” logaritmem o základu větším než $ \displaystyle 1$ . Pozor! Je-li funkce $ \displaystyle f(x)$ klesající, obrací se při aplikaci funkce (nebo při vynechání funkce) na obě strany nerovnice znaménko nerovnosti.

Okamžitě z definice vyplývá následující věta.

Věta 1.1. Je-li funkce $ \displaystyle f$ na množině $ \displaystyle M$ ryze monotonní, je na této množině i prostá.

Následující věta ukazuje, že při přechodu k inverzní funkci se zachovává ryzí monotonie.

Věta 1.2. Je-li funkce $ \displaystyle f(x)$ rostoucí (klesající), má tutéž vlastnost i funkce inverzní $ \displaystyle f^{-1}(x)$ .

Poznámka 1.10. Sudá funkce není prostá, nemá proto inverzní funkci.

Poznámka 1.11 (shrnující poznámka). Shrňme si, jak nám znalost vlastností funkcí umožňuje pracovat s rovnicemi a nerovnostmi.

\[ \begin{align*} a = b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je prostá}}\ f(a) = f(b) & & & & \\a < b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je rostoucí}}\ f(a) < f(b) & &a\leq b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je rostoucí}}\ f(a)\leq f(b) & & & & \\a < b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je klesající}}\ f(a) > f(b) & &a\leq b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je klesající}}\ f(a)\geq f(b) & & & & \\\end{align*}\]

Je-li funkce $ \displaystyle f$ prostá, pak pro každé $ \displaystyle y\in H(f)$ má rovnice

\[ f(x) = y \]

s neznámou $ \displaystyle x$ právě jedno řešení a toto řešení je možno vyjádřit vztahem $ \displaystyle x = f^{-1}(y)$ .


Funkce \( \displaystyle y = f(x)\)	Funkce inverzní \( \displaystyle y = f^{-1}(x)\)


\( \displaystyle y = \sqrt{x}\)	\( \displaystyle y = x^{2}\) , \( \displaystyle x\geq 0\)

\( \displaystyle y = x^{2}\) , \( \displaystyle x\geq 0\)	\( \displaystyle y = \sqrt{x}\)

\( \displaystyle y = e^{x}\)	\( \displaystyle y =\ln x\)

\( \displaystyle y =\ln x\)	\( \displaystyle y = e^{x}\)

\( \displaystyle y = a^{x}\)	\( \displaystyle y =\log _{a}x\)

\( \displaystyle y =\sin x\) , \( \displaystyle x\in [-\pi ∕2,\pi ∕2]\)	\( \displaystyle y =\arcsin x\)

\( \displaystyle y =\cos x\) , \( \displaystyle x\in [0,\pi ]\)	\( \displaystyle y =\arccos x\)

\( \displaystyle y =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\) , \( \displaystyle x\in [-\pi ∕2,\pi ∕2]\)	\( \displaystyle y =\mathop{\mathrm{arctg}} x\)