verze 17.1.2019
Fyzikální význam parciálních derivací Zvuk se v oceánu šíří rychlostí závislou na teplotě, slanosti a tlaku vody. Rychlost zvuku \(c\) je možné modelovat funkcí \[ \begin{aligned} c=&1449.2+4.6t-0.055t^2+0.00029t^3\\&+(1.34-0.01t)(s-35)+0.016d \end{aligned} \] kde \(c\) je rychlost zvuku v metrech za sekundu, \(t\) teplota vody ve stupních Celsia, \(s\) slanost v gramech soli na \(1000\) gramů vody a \(d\) hloubka pod hladinou v metrech. Vypočtěte parciální derivace \[ \frac{\partial c}{\partial t},\quad \frac{\partial c}{\partial s},\quad \frac{\partial c}{\partial d} \] pro \(t=10^\circ\mathrm{C}\), \(s=35\) a \(d=100\mathrm{m}\) a vysvětlete fyzikální význam těchto derivací a jejich fyzikální jednotku.
Příklad: \(\frac{\partial c}{\partial t}\) udává přibližný nárůst rychlosti zvuku, pokud teplota vody stoupne o jeden stupeň. Pro zadané hodnoty platí \(\frac{\partial c}{\partial t}=3.6 \,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}\,^\circ\!\mathrm{C}^{-1}\). To znamená že pro vodu o teplotě \(t=10^\circ\mathrm{C}\) a slanosti \(s=35\) se v hloubce \(d=100\mathrm{m}\) každý stupeň Celsia nad \(10^\circ\mathrm{C}\) projeví zvýšením rychlosti zvuku přiblžně o \(3.6\,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}\).
Gradient Mořští biologové určili, že žralok v okamžiku kdy zjistí přítomnost krve ve vodě plave ke zdroji krve směrem, ve kterém koncentrace nejrychleji roste. Experimentálně zjistili, že koncentrace krve v bodě \(P(x,y)\) je přibližně \[ c(x,y)=e^{-(x^2+2y^2)/10^4} \] kde \(x\) a \(y\) jsou kartézské souřadnice v souřadné soustavě s počátkem v bodě kde je zdroj krve.
Tip: Vektor v bodě \((x_0,y_0)\) směřuje do počátku právě tehdy když se jedná o vektor \((-x_0,-y_0)\) nebo násobek tohoto vektoru kladným skalárem.
Poznámka: Podobná asymetrie v proměnných nastane například v místě se slabým proudem, pokud osu \(x\) orientujeme ve směru proudu. Pracujeme-li v prvním kvadrantu, kde je i žralok, jsme v situaci popsané v této úloze. Pro jednoduchost uvažujeme v úloze vzorec pro \(c\) v celé rovině.
Zákon šíření chyb Vlhkost dřeva je možno určit jako nepřímo měřenou veličinu danou vzorcem \[M=\frac{m-m_0}{m_0},\] kde \(m\) je hmotnost syrového dřeva, \(m_0\) hmotnost sušiny a \(M\) vlhkost vyjádřená desetinným číslem (nikoliv v procentech). Ukažte, že zákon šíření chyb má v tomto případě tvar \[\Delta M=\sqrt{\left(\frac 1{m_0}\Delta m\right)^2+\left(\frac m{m_0^2}\Delta m_0\right)^2}.\] Na jednoduchém realistickém příkladě (např. \(m=136\, \mathrm{g}\pm 1\,\mathrm{g}\) a \(m_0=90\, \mathrm{g}\pm 1\,\mathrm{g}\)) ukažte, že nepřesnost výsledku je více ovlivněna nepřesností při stanovení veličiny \(m_0\) než nepřesností při stanovení \(m\). To znamená, že vliv \(m_0\) nemůžeme podcenit, i když stanovení této veličiny je komplikované (je potřeba správně zvládnout proces sušení).
Linearita Laplaceova operátoru Ukažte, že Laplaceův operátor \(\Delta\) splňuje pro libovolné dostatečně hladké funkce \(f\), \(g\) a konstantu \(C\) vztahy \[\Delta (f+g)=\Delta f + \Delta g\] a \[\Delta (Cf)=C\Delta f.\]
Poznámka: Vztahy dokázané v této úloze říkají, že Laplaceův operátor je lineárním operátorem. To je velmi důležitá vlastnost, která usnadňuje řešení rovnic. Díky této vlastnosti můžeme rovnici, ve které vystupuje lineární operátor, rozsekat na několik dílčích rovnic. Místo jedné velmi těžké úlohy poté máme k řešení několik úloh o řád jednodušších. Tyto jednodušší úlohy vyřešíme a z jednotlivých výstupů sestavíme řešení původní rovnice. Uvidíme blíže v případě diferenciálních rovnic, ale princip, který použijeme je naprosto univerzální a použitelný pro jakýkoliv operátor, který zachovává součet a konstantní násobek.
Rotace gradientu Uvažujte homogenní tíhové pole, ve kterém je potenciál dán vztahem \[E(x,y,z)=gz,\] kde \(g\) je konstanta. Vypočtěte intenzitu \(\vec K=-\nabla E\) a rotaci \(\nabla \times\vec K\) této intenzity.
Obecněji, uvažujte potenciál \(E(x,y,z)\) a vypočtěte intenzitu \(\vec K=-\nabla E\) a rotaci \(\nabla \times\vec K\) této intenzity v případě kdy \(E\) je libovolná funkce, o které předpokládáme pouze to, že všechny její potřebné derivace existují a jsou spojité.
Výsledek tohoto příkladu pro nás bude nesmírně důležitý u křivkových integrálů. Zajímavé je, že platí pro prakticky libovolnou funkci \(E\) a že výsledek je přímým důsledkem Schwarzovy věty. Všimněte si, kde se v průběhu výpočtu tato věta použila.
Divergence rotace Vypočtěte divergenci vektorového pole které je rotací zadaného vektorového pole, tj. pro libovolné dostatečně hladké vektorové pole \(\vec F\) vypočtěte \(\nabla \cdot( \nabla \times \vec F)\).
Výsledky předchozích dvou příkladů ukazují, že pole které je gradientem nějakého skalárního pole je nevírové a pole, které je rotací nějakého vektorového pole je nezřídlové. Důležité je, že tyto implikace se dají i obrátit. Výpočet rotace umožňuje učit vektorová pole, ke kterým existuje skalární potenciál a ve kterých je možné zavést potenciální energii. Podobně, výpočet divergence umožňuje určit, kdy je možné k poli zavést (poněkud méně známý) vektorový potenciál.
Radiální silová pole generovaná bodovým zdrojem Obě nejznámější silová pole s intezitou mířící do (od) zdroje pole ubývají s druhou mocninou vzdálenosti, gravitační pole i elektrické pole. Prozkoumáme, zda to je náhoda. Vektorové pole \[\vec F(x,y,z)=\frac 1{(x^2+y^2+z^2)^n}(x,y,z)\] směřuje od středu a ubývá s \((2n-1)\)-ní mocninou vzdálenosti, protože je možné tento vztah přepsat do tvaru \[\begin{aligned}\vec F(x,y,z)&=\frac 1{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^{2n-1}} \frac {(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ &=\frac 1{r^{2n-1}}\frac{(x,y,z)}{r},\end{aligned}\] kde \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) je vzdálenost od počátku a vektor \(\frac{(x,y,z)}{r}\) je vektor jednotkové délky směřující od počátku. Určete pro kterou hodnotu parametru \(n\) má pole nulovou divergenci všude mimo počátek (což fyzikálně odpovídá tomu, že nejsou další zdroje tohoto pole kromě bodového náboje nebo hmotného bodu v počátku, kde je divegrence nekonečná). Pro ruční počítání použijte vztah \[\nabla (f\vec G)=f\cdot\nabla \vec G+\vec G\cdot \nabla f,\] kde \(f\) je skalární funkce, \(\vec G\) vektorová funkce a \(\nabla(\ )\) je divergence resp. gradient, podle toho zda působí na vektor nebo skalár.
Popřemýšlejte, zda by to stejně dopadlo v dvourozměrném světě. Pro které \(n\) bude mít vektorové pole \[\vec F(x,y)=\frac 1{(x^2+y^2)^n}(x,y)\] nulovou divergenci, pokud divergenci i gradient počítáme ve 2D?
Tento příklad ukazuje, že obyvatelé Plochozemě by dokázali snadno odhalit, že jejich dvourozměrný svět je vnořen do světa trojrozměrného. Stačilo by, aby výše uvedeným postupem vypočítali, že ve dvourozměrném světě má gravitační síla ubývat s první mocninou vzdálenosti. Pokud by zjistili, že ve skutečnosti gravitační síla ubývá s druhou mocninou vzdálenosti (například lidstvu se to povedlo zjistit analýzou pohybu planet) měli by na světě rozpor, který by jim ukázal omyl v chápání jejich světa. A co lidstvo? V trojrozměrném světě má gravitační síla ubývat s druhou mocninou vzdálenosti a víme, že takto se gravitační síla chová i ve skutečnosti. Proto máme všechny předpoklady se domnívat, že náš svět je ve své podstatě trojrozměrný. Nejsme jenom trojrozměrné řezy nějakého vícedimenzionálního prostoru, jako byli obyvatelé Plochozemě dvojrozměrnými řezy trojrozměrného prostoru.
Výpočet funkce pomocí výpočtu jejího integrálu Podle Ampérova zákona je křivkový integrál magnetické indukce \(\vec B\) magnetického pole vyvolaného vodiči s elektrickým proudem ve vakuu po uzavřené křivce roven součtu proudů ve vodičích, které tato křivka obklopuje vynásobenému permeabilitou vakua \(\mu_0\), tj. platí \[\oint_C \vec B\,d\vec r=\mu_0 I.\] Magnetická indukce pole v okolí nekonečně dlouhého přímého vodiče leží v rovině kolmé na vodič a je tečná ke kružnici se středem ve vodiči. Vzhledem k symetrii je velikost magnetické indukce \(\vec B\) v okolí konkrétního vodiče s proudem \(I\) ve vzdálenosti \(r\) od vodiče závislá jenom na \(r\). Ukažte, že z Amperova zákona je možné odvodit vztah pro velikost magnetické indukce ve vzdálenosti \(r\) od nekonečně dlouhého přímého vodiče \[B=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac Ir.\]
Tento příklad je zajímavý tím, že nejprve určíme křivkový integrál veličiny, kterou hledáme, a potom teprve určíme onu hledanou veličinu. O té jsme doteď věděli jenom několik málo informací (směr a skutečnost, že velikost závisí jenom na vzdálenosti od vodiče).
Chybějící perpetum mobile. Předpokládejme, že gravitační pole by vypadalo tak, že gravitační síla působí ve směru tečném ke kružnici se středem v počátku proti směru hodinových ručiček. Potom by nebylo těžké sestrojit perpetum mobile (rozmyslete jak). Že se toto nikomu nepodařilo sestrojit znamená, že takové gravitační pole nemáme k dispozici. Podobná situace je i s polem elektrickým. V případě magnetického pole však pole s požadovanými vlastnostmi k dispozici máme! Je to magnetické pole v okolí přímého dlouhého vodiče. Přesto ani v tomto případě nikdo perpetum mobile nesestrojil. I pokud odhlédneme od toho, že k vytvoření takového pole je potřeba elektrický proud, magnetické pole funguje jinak. Například magnetická síla působí na pohybující se náboj a je kolmá k intenzitě a rychlosti. Oproti tomu gravitační i elektrická síla působící na objekt má směr intezity pole. A pokud bychom chtěli místo pohybujícího se náboje použít permanentní magnet, narazíme na to, že nelze oddělit severní a jižní pól magnetu podobně jako je možné oddělit kladný a záporný elektrický náboj. Proto se permanentní magnet v poli jenom natočí, ale nerozpohybuje.
Obdélníkový nosník nastojato a naplacato Vypočítejte kvadratický moment průřezu obdélníku vzhledem k ose procházející vodorovně težištěm. Poté uvažujte vodorovný nosník obdélníkového průřezu se stranami v poměru 2:1 zatížený shora. Vypočtěte, kolikrát je nosník tužší (tj. kolikrát je větší kvadratický moment průřezu), když jej postavíme na kratší stranu (tj. tak jak se to v praxi většinou dělá), v porovnání s nosníkem, který by byl položený “naplacato”.
Kardioidní mikrofon Při záznamu živého koncertu se používá mikrofon s kardioidní charakteristikou, protože dokáže potlačit šum z publika. Mikrofon je umístěn dva metry před jevištěm, natočen směrem k jevišti a snímá zvuky uvnitř křivky dané parametricky rovnicí \[r=4+4\sin(\varphi).\] Zapište pomocí dvojného integrálu v polárních souřadnicích povrch jeviště, který mikrofon pokrývá. Integrál nepočítejte.
Pole které je současně nevírové i nezřídlové Pokud je nějaké dostatečně hladké pole v jednoduše souvislé oblasti nevírové (tj. máme případ s konzervativním polem) a současně nezřídlové, je potenciál tohoto vektorového pole řešením Laplaceovy rovnice \[\Delta u=0,\] která je speciálním případem Poissonovy rovnice \[\Delta u=f.\] Dokažte. (Pro jednoduchost pracujte ve dvourozměrném prostoru. Ve třech dimenzích to vychází stejně, jenom je o něco více psaní.)
Musíte tedy udělat následující
Poissonova rovnice najde kromě matematické fyziky uplatnění například při digitálním zpracování obrazu. Zajímavou ukázku je možné nalézt na anglické Wikipedii.
Sebemenší detail je důležitý Gradient funkce \(f=\arctan\frac yx\) je \[\vec F=\nabla f=\frac1{x^2+y^2}(-y,x).\] Protože \(\vec F\) je gradientem, má nulovou rotaci a je nevírové. Vektorové pole \(\vec F\) je kolmé na vektorové pole \((x,y)\), tj. \(\vec F\) je v každém bodě kolmé ke spojnici s počátkem. V důsledku toho je vektorové pole \(\vec F\) v každém bodě tečné ke kružnici se středem v počátku. Na jednotkové kružnici dále platí \(||\vec F||=1\). Podobně jako s příkladem u Ampérova zákona můžeme snadno vypočítat křivkový integrál po kružnici se středem v počátku. Například pro jednotkovou kružnici platí \[\oint \vec Fd\vec r=2\pi,\] což je na první pohled ve sporu s tím, že vektorové pole \(\vec F\) má nulovou rotaci. Věta o nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě v poli které je gradientem však tím narušena není, protože \(\vec F\) není definováno v počátku. Větu tedy nemůžeme aplikovat na vektorové pole \(\vec F\), pokud křivka po které integrujeme obepíná oblast obsahující počátek.
Projděte si ještě jednou předchozí odstavec a v každém kroku si najděte větu na kterou se odvoláváme nebo proveďte příslušný výpočet. Čeká vás tedy následující:
Množiny míry nula, jako například izolované body, v integrálním počtu většinou nehrají žádnou podstatnou roli. Tady tomu tak není. Porušení podmínek v jednom jediném bodě stačí k tomu, aby integrál závisel na integrační cestě. A je to o to více překvapující, že tento bod ani neleží na křivce, po které se integruje.
Rovnice sušení dřeva Rychlost s jakou se dřevo zbavuje vlhkosti závisí na několika faktorech, z nichž nejvýznamnější jsou rozměry dřeva, teplota, relativní vlhkost okolí a druhu dřeva. Simpson a Tschernitz navrhnuli model podle kterého je rychlost s jakou se dřevo zbavuje vlhkosti úměrná rozdílu mezi současným a rovnovážným obsahem vody ve dřevě. Platí tedy \[\frac {dM}{dt}=-\frac{M-M_0}{\tau},\] kde \(M\) je hmotnost vody ve dřevě, \(M_0\) hmotnost vody ve dřevě odpovídající rovnovážnému stavu a \(\tau\) je konstanta, závisející na rozměrech dřeva, teplotě a materiálu. Jedná se o lineární rovnici \[\frac
{dM}{dt}+\frac 1\tau M=\frac{M_0}{\tau},\] která má konstantní řešení \(M=M_0\) odpovídající rovnovážnému stavu a asociovaná homogenní rovnice \[\frac {dM}{dt}+\frac 1\tau M=0\] má řešení \[M=e^{-t/\tau}.\] Obecným řešením je tedy \[M=M_0+Ce^{-t/\tau}.\] Obsah vody se tedy exponenciálně přibližuje k rovnovážnému stavu. To znamená, že na stejně dlouhých časových intervalech odchylka od rovnovážného stavu klesá geometrickou řadou.
V okolí úplné studny s volnou hladinou je tok \(Q\) válcovou plochou o poloměru \(r\) součinem obsahu plochy \(S\) a rychlosti proudění \(v\), tj. \(Q=-Sv\) (záporné znaménko vyjadřuje, že voda proudí dovnitř válcové plochy). Studna stahuje vodu z okolí a výška \(h\) válcové plochy od nepropustného dna k hladině spodní vody závisí na \(r\). Rychlost proudění je úměrná spádu hladiny spodní vody, tj. \(v=-k\frac{\mathrm dh}{\mathrm dr}\) (Darcyho zákon, záporné znaménko vyjadřuje, že voda proudí ve směru poklesu tlaku). Odsud dostáváme \[Q=2\pi rh k\frac{\mathrm dh}{\mathrm dr},\] což je diferenciální rovnice pro funkci \(h\) proměnné \(r\) s konstantami \(Q\) a \(k\). Separací proměnných dostáváme \[Q\frac{\mathrm dr}{r}=2\pi h k{\mathrm dh}\] a po integraci v mezích \(h\in[h,H]\), \(r\in[r,R]\) získáváme vztah \[Q(\ln R-\ln r)=k\pi (H^2-h^2).\] Tento vztah umožňuje například navrhnout průměr studny, odhadnout vydatnost studny, nebo pomocí odčerpávaného vrtu a menších pomocných vrtů sledujících pokles hladiny v okolí odčerpávaného vrtu stanovit filtrační součinitel \(k\).
markdown source: http://user.mendelu.cz/marik/wiki/am/slovni_ulohy/aplikovana_matematika_slovni_ulohy.txt