% Slovní úlohy do předmětu Aplikovaná matematika % Robert Mařík % verze 17.1.2019 ## Parciální derivace skalární funkce ![Rychlost zvuku ve vodě závisí na fyzikálních charakteristikách prostředí.](ocean.jpg) **Fyzikální význam parciálních derivací** Zvuk se v oceánu šíří rychlostí závislou na teplotě, slanosti a tlaku vody. Rychlost zvuku $c$ je možné modelovat funkcí $$ \begin{aligned} c=&1449.2+4.6t-0.055t^2+0.00029t^3\\&+(1.34-0.01t)(s-35)+0.016d \end{aligned} $$ kde $c$ je rychlost zvuku v metrech za sekundu, $t$ teplota vody ve stupních Celsia, $s$ slanost v gramech soli na $1000$ gramů vody a $d$ hloubka pod hladinou v metrech. Vypočtěte parciální derivace $$ \frac{\partial c}{\partial t},\quad \frac{\partial c}{\partial s},\quad \frac{\partial c}{\partial d} $$ pro $t=10^\circ\mathrm{C}$, $s=35$ a $d=100\mathrm{m}$ a vysvětlete fyzikální význam těchto derivací a jejich fyzikální jednotku. Příklad: $\frac{\partial c}{\partial t}$ udává přibližný nárůst rychlosti zvuku, pokud teplota vody stoupne o jeden stupeň. Pro zadané hodnoty platí $\frac{\partial c}{\partial t}=3.6 \,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}\,^\circ\!\mathrm{C}^{-1}$. To znamená že pro vodu o teplotě $t=10^\circ\mathrm{C}$ a slanosti $s=35$ se v hloubce $d=100\mathrm{m}$ každý stupeň Celsia nad $10^\circ\mathrm{C}$ projeví zvýšením rychlosti zvuku přiblžně o $3.6\,\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$. [Výpočet derivací online](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx9j01vwjAMhu-V-h98ADVpQ5V-IXHIbT-BG2FT1qQsUmlL4oLQxH9fKvZxm3x5bL_2ayPzTIurciRB8KATGkctwaVKRVHXu7zM6nyb4obnvGlSfC2zQJyXu8BVRoq8qpdekSJNid9UDV0ExTbVcRRHH0Zp48QhgRfj7FW1BlZSauunXt093nsjZedU-ykn5dCqHtrHH6_9Q14us9IrSNZkcuPZDIOi0I0OfjKwA4SDNfP0GEfO-LlHLw7adh1p2e8MQVFwBl5UDQMdmNN8INqebFCX_61cAtV7b8jzmTc33sQTGQQOZt-uRwbhl7MRezcb-gXT8Gsu&lang=sage) --------------------- ![Žralok nepluje přímo ke kořisti, protože ji nevidí. Sleduje gradient koncentrace krve. V ekologii se toto chování nazývá majáková navigace.](shark.jpg) **Gradient** Mořští biologové určili, že žralok v okamžiku kdy zjistí přítomnost krve ve vodě plave ke zdroji krve směrem, ve kterém koncentrace nejrychleji roste. Experimentálně zjistili, že koncentrace krve v bodě $P(x,y)$ je přibližně $$ c(x,y)=e^{-(x^2+2y^2)/10^4} $$ kde $x$ a $y$ jsou kartézské souřadnice v souřadné soustavě s počátkem v bodě kde je zdroj krve. * Určete směr, kterým žralok popluje v bodě $(x_0,y_0)$. * Ve kterých bodech žralok popluje přímo ke kořisti? * Určete rovnice vrstevnic. Ukažte, že se dají přepsat do tvaru $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ a tedy se jedná o elipsy se středem v počátku. Využijte toho, že kolmice k elipse směřuje do středu jenom ve vrcholech a ověřte tak výsledek z předchozího bodu. * Rozmyslete si, jak by měla vypadat funkce taková, že její gradient má *v každém bodě* směr do počátku soustavy souřadnic. Jak budou vypadat vrstevnice takové funkce? *Tip: Vektor v bodě $(x_0,y_0)$ směřuje do počátku právě tehdy když se jedná o vektor $(-x_0,-y_0)$ nebo násobek tohoto vektoru kladným skalárem.* *Poznámka: Podobná asymetrie v proměnných nastane například v místě se slabým proudem, pokud osu $x$ orientujeme ve směru proudu. Pracujeme-li v prvním kvadrantu, kde je i žralok, jsme v situaci popsané v této úloze. Pro jednoduchost uvažujeme v úloze vzorec pro $c$ v celé rovině.* [?](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxVj8EOgjAQRO8k_EMTD2y1YCF67JcQILU2iiEsaSu2f2-rCcbLzuybPcx6FsQqDRSehYLmmYJoqNB-gRJ83xyafegbeqx5f4rxzcirUFWSUc8OIsoze8cXJPTbVq0cGmgTbXnHPlp3jHe0UgatHRaD16dy22XpWRlSTtumqyxOq4Y2dokgz3bEPSriyTRecMVp1kSSIDiZ9QVJ-MNe8NRC4ezwaYZlQgffp1ic5ZmzM482bFbaJVYYjHQjipq-AWziU4A=&lang=sage) --------------------- ![Vlhkost dřeva je důležitá veličina, která se však musí stanovovat nepřímo. Proto je důležité znát vliv chyb měření jednotlivých naměřených veličin na chybu veličiny vypočítané.](vlhkost.jpg) **Zákon šíření chyb** Vlhkost dřeva je možno určit jako nepřímo měřenou veličinu danou vzorcem $$M=\frac{m-m_0}{m_0},$$ kde $m$ je hmotnost syrového dřeva, $m_0$ hmotnost sušiny a $M$ vlhkost vyjádřená desetinným číslem (nikoliv v procentech). Ukažte, že zákon šíření chyb má v tomto případě tvar $$\Delta M=\sqrt{\left(\frac 1{m_0}\Delta m\right)^2+\left(\frac m{m_0^2}\Delta m_0\right)^2}.$$ Na jednoduchém realistickém příkladě (např. $m=136\, \mathrm{g}\pm 1\,\mathrm{g}$ a $m_0=90\, \mathrm{g}\pm 1\,\mathrm{g}$) ukažte, že nepřesnost výsledku je více ovlivněna nepřesností při stanovení veličiny $m_0$ než nepřesností při stanovení $m$. To znamená, že vliv $m_0$ nemůžeme podcenit, i když stanovení této veličiny je komplikované (je potřeba správně zvládnout proces sušení). --------------------- ![Linearita umožňuje rozsekat složitou rovnici na rovnice jednodušší. Tyto malé kousky se zpracují lépe a z řešení jednotlivých kousků se seskládá řešení původní rovnice.](sekera.jpg) **Linearita Laplaceova operátoru** Ukažte, že Laplaceův operátor $\Delta$ splňuje pro libovolné dostatečně hladké funkce $f$, $g$ a konstantu $C$ vztahy $$\Delta (f+g)=\Delta f + \Delta g$$ a $$\Delta (Cf)=C\Delta f.$$ *Poznámka: Vztahy dokázané v této úloze říkají, že Laplaceův operátor je lineárním operátorem. To je velmi důležitá vlastnost, která usnadňuje řešení rovnic. Díky této vlastnosti můžeme rovnici, ve které vystupuje lineární operátor, rozsekat na několik dílčích rovnic. Místo jedné velmi těžké úlohy poté máme k řešení několik úloh o řád jednodušších. Tyto jednodušší úlohy vyřešíme a z jednotlivých výstupů sestavíme řešení původní rovnice. Uvidíme blíže v případě diferenciálních rovnic, ale princip, který použijeme je naprosto univerzální a použitelný pro jakýkoliv operátor, který zachovává součet a konstantní násobek.* ## Parciální derivace vektorového pole ![](rotace.jpg) **Rotace gradientu** Uvažujte homogenní tíhové pole, ve kterém je potenciál dán vztahem $$E(x,y,z)=gz,$$ kde $g$ je konstanta. Vypočtěte intenzitu $\vec K=-\nabla E$ a rotaci $\nabla \times\vec K$ této intenzity. Obecněji, uvažujte potenciál $E(x,y,z)$ a vypočtěte intenzitu $\vec K=-\nabla E$ a rotaci $\nabla \times\vec K$ této intenzity v případě kdy $E$ je libovolná funkce, o které předpokládáme pouze to, že všechny její potřebné derivace existují a jsou spojité. *Výsledek tohoto příkladu pro nás bude nesmírně důležitý u křivkových integrálů. Zajímavé je, že platí pro prakticky libovolnou funkci $E$ a že výsledek je přímým důsledkem Schwarzovy věty. Všimněte si, kde se v průběhu výpočtu tato věta použila.* --------------------- ![](gejzir.jpg) **Divergence rotace** Vypočtěte divergenci vektorového pole které je rotací zadaného vektorového pole, tj. pro libovolné dostatečně hladké vektorové pole $\vec F$ vypočtěte $\nabla \cdot( \nabla \times \vec F)$. *Výsledky předchozích dvou příkladů ukazují, že pole které je gradientem nějakého skalárního pole je nevírové a pole, které je rotací nějakého vektorového pole je nezřídlové. Důležité je, že tyto implikace se dají i obrátit. Výpočet rotace umožňuje učit vektorová pole, ke kterým existuje [skalární potenciál](https://cs.wikipedia.org/wiki/Potenci%C3%A1l_%28fyzika%29) a ve kterých je možné zavést [potenciální energii](https://cs.wikipedia.org/wiki/Potenci%C3%A1ln%C3%AD_energie). Podobně, výpočet divergence umožňuje určit, kdy je možné k poli zavést (poněkud méně známý) [vektorový potenciál](https://cs.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_potenci%C3%A1l).* --------------------- ![Gravitační a elektrické pole sdílí skoro stejné vzorce. Možná to není náhoda ...](silove_pole.jpg) **Radiální silová pole generovaná bodovým zdrojem** Obě nejznámější silová pole s intezitou mířící do (od) zdroje pole ubývají s druhou mocninou vzdálenosti, [gravitační pole](https://cs.wikipedia.org/wiki/Gravitace#Newton.C5.AFv_gravita.C4.8Dn.C3.AD_z.C3.A1kon) i [elektrické pole](https://cs.wikipedia.org/wiki/Coulomb%C5%AFv_z%C3%A1kon). Prozkoumáme, zda to je náhoda. Vektorové pole $$\vec F(x,y,z)=\frac 1{(x^2+y^2+z^2)^n}(x,y,z)$$ směřuje od středu a ubývá s $(2n-1)$-ní mocninou vzdálenosti, protože je možné tento vztah přepsat do tvaru $$\begin{aligned}\vec F(x,y,z)&=\frac 1{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^{2n-1}} \frac {(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ &=\frac 1{r^{2n-1}}\frac{(x,y,z)}{r},\end{aligned}$$ kde $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ je vzdálenost od počátku a vektor $\frac{(x,y,z)}{r}$ je vektor jednotkové délky směřující od počátku. Určete pro kterou hodnotu parametru $n$ má pole nulovou divergenci všude mimo počátek (což fyzikálně odpovídá tomu, že nejsou další zdroje tohoto pole kromě bodového náboje nebo hmotného bodu v počátku, kde je divegrence nekonečná). Pro ruční počítání použijte vztah $$\nabla (f\vec G)=f\cdot\nabla \vec G+\vec G\cdot \nabla f,$$ kde $f$ je skalární funkce, $\vec G$ vektorová funkce a $\nabla(\ )$ je divergence resp. gradient, podle toho zda působí na vektor nebo skalár. Popřemýšlejte, zda by to stejně dopadlo v dvourozměrném světě. Pro které $n$ bude mít vektorové pole $$\vec F(x,y)=\frac 1{(x^2+y^2)^n}(x,y)$$ nulovou divergenci, pokud divergenci i gradient počítáme ve 2D? [?](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx9jEEKwjAQRfeF3iG7TmhQietcJSLUwUBMxWI7M6c3UQIVi4uBz7z_Hxk2YpKbzw_oSLESlTrdNkhABWlHeyBve84n3mqfMuQKeQNKhfILhzAf3RAQAcmQ7j-RDdcoedg203VcoHR3U7jdY0A-4TNG0N9sjPMFUnm-zdbBplqDuMNqaf9Y7dr6Am_SV8Q=&lang=sage) *Tento příklad ukazuje, že obyvatelé [Plochozemě](https://cs.wikipedia.org/wiki/Plochozem%C4%9B:_rom%C3%A1n_mnoha_rozm%C4%9Br%C5%AF) by dokázali snadno odhalit, že jejich dvourozměrný svět je vnořen do světa trojrozměrného. Stačilo by, aby výše uvedeným postupem vypočítali, že ve dvourozměrném světě má gravitační síla ubývat s první mocninou vzdálenosti. Pokud by zjistili, že ve skutečnosti gravitační síla ubývá s druhou mocninou vzdálenosti (například lidstvu se to povedlo zjistit analýzou pohybu planet) měli by na světě rozpor, který by jim ukázal omyl v chápání jejich světa. A co lidstvo? V trojrozměrném světě má gravitační síla ubývat s druhou mocninou vzdálenosti a víme, že takto se gravitační síla chová i ve skutečnosti. Proto máme všechny předpoklady se domnívat, že náš svět je ve své podstatě trojrozměrný. Nejsme jenom trojrozměrné řezy nějakého vícedimenzionálního prostoru, jako byli obyvatelé Plochozemě dvojrozměrnými řezy trojrozměrného prostoru.* ## Křivkový integrál ![Někdy je možné neznámou funkci určit tak, že ji známe až na nějaký detail (např. mutiplikativní konstantu) a víme, kolik má vycházet integrál této funkce.](vedeni.jpg) **Výpočet funkce pomocí výpočtu jejího integrálu** Podle [Ampérova zákona](https://cs.wikipedia.org/wiki/Amp%C3%A9r%C5%AFv_z%C3%A1kon) je křivkový integrál magnetické indukce $\vec B$ magnetického pole vyvolaného vodiči s elektrickým proudem ve vakuu po uzavřené křivce roven součtu proudů ve vodičích, které tato křivka obklopuje vynásobenému permeabilitou vakua $\mu_0$, tj. platí $$\oint_C \vec B\,d\vec r=\mu_0 I.$$ Magnetická indukce pole v okolí nekonečně dlouhého přímého vodiče leží v rovině kolmé na vodič a je tečná ke kružnici se středem ve vodiči. Vzhledem k symetrii je velikost magnetické indukce $\vec B$ v okolí konkrétního vodiče s proudem $I$ ve vzdálenosti $r$ od vodiče závislá jenom na $r$. Ukažte, že z Amperova zákona je možné odvodit vztah pro velikost magnetické indukce ve vzdálenosti $r$ od nekonečně dlouhého přímého vodiče $$B=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac Ir.$$ *Tento příklad je zajímavý tím, že nejprve určíme křivkový integrál veličiny, kterou hledáme, a potom teprve určíme onu hledanou veličinu. O té jsme doteď věděli jenom několik málo informací (směr a skutečnost, že velikost závisí jenom na vzdálenosti od vodiče).* ----------------- ![](kola.jpg) **Chybějící perpetum mobile.** Předpokládejme, že gravitační pole by vypadalo tak, že gravitační síla působí ve směru tečném ke kružnici se středem v počátku proti směru hodinových ručiček. Potom by nebylo těžké sestrojit perpetum mobile (rozmyslete jak). Že se toto nikomu nepodařilo sestrojit znamená, že takové gravitační pole nemáme k dispozici. Podobná situace je i s polem elektrickým. V případě magnetického pole však pole s požadovanými vlastnostmi k dispozici máme! Je to magnetické pole v okolí přímého dlouhého vodiče. Přesto ani v tomto případě nikdo perpetum mobile nesestrojil. I pokud odhlédneme od toho, že k vytvoření takového pole je potřeba elektrický proud, magnetické pole funguje jinak. Například [magnetická síla](https://cs.wikipedia.org/wiki/Lorentzova_s%C3%ADla) působí na pohybující se náboj a je kolmá k intenzitě a rychlosti. Oproti tomu gravitační i elektrická síla působící na objekt má směr intezity pole. A pokud bychom chtěli místo pohybujícího se náboje použít permanentní magnet, narazíme na to, že nelze oddělit severní a jižní pól magnetu podobně jako je možné oddělit kladný a záporný elektrický náboj. Proto se permanentní magnet v poli jenom natočí, ale nerozpohybuje. ## Dvojný integrál ![](nosniky.jpg) **Obdélníkový nosník nastojato a naplacato** Vypočítejte kvadratický moment průřezu obdélníku vzhledem k ose procházející vodorovně težištěm. Poté uvažujte vodorovný nosník obdélníkového průřezu se stranami v poměru 2:1 zatížený shora. Vypočtěte, kolikrát je nosník tužší (tj. kolikrát je větší kvadratický moment průřezu), když jej postavíme na kratší stranu (tj. tak jak se to v praxi většinou dělá), v porovnání s nosníkem, který by byl položený "naplacato". [?](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxlzEEKgzAQBdC94B2CGyfwRcyy4AHETU_QEkxoRLQSUklu35EUXHQx8D_8NxEJBq4_tKc65lLLshiIg-znLdiX18HSldJDgRIa1yrwSQmKaAw3c7ay2L0NIT13z4aq8dCG3TwtSazv1W7hJirk_3_jOw-8WC4yuR_6ZNVByXYghe7EXwnJOqM=&lang=sage) ------------------------ ![](mikrofon.jpg) **Kardioidní mikrofon** Při záznamu živého koncertu se používá mikrofon s kardioidní charakteristikou, protože dokáže potlačit šum z publika. Mikrofon je umístěn dva metry před jevištěm, natočen směrem k jevišti a snímá zvuky uvnitř křivky dané parametricky rovnicí $$r=4+4\sin(\varphi).$$ Zapište pomocí dvojného integrálu v polárních souřadnicích povrch jeviště, který mikrofon pokrývá. Integrál nepočítejte.