Za tajemstvím planimetru

Tento článek začíná videem, které ukazuje trojici planimetrů - jednoduchých mechanických pomůcek pro měření obsahu rovinné množiny libovolného nepravidelného tvaru. V minulosti používali planimetry hlavně kartografové a vědci vyhodnocující data graficky zaznamenaná na papíře. V dalším textu článku je vysvětlen princip fungování těchto fanscinujících pomůcek.

Po zveřejnění videa Tři planimetři a hlavně dalších dvou videí, kde je planimetr nahrazen lžičkou a nožem se ukázalo, že hodně lidí je překvapených, jak je možné, že něco takového funguje. Vysvětlení polárního a lineárního planimetru pomocí aparátu matematické analýzy je na stránce věnované souvislosti planimetrů s Greenovou větou.

Na této stránce však použijeme jednoduché geometrické úvahy, které také vysvětlí, jak planimetry fungují. A to bez jakékoliv vysoké matematiky. Výhodou je také to, že máme jednotnou teorii pro polární, lineární i Prytzův planimetr.

Obsah plochy opsané úsečkou

Uvažujme úsečku pevné délky, na které jsme vybrali směr normálového vektoru. Úsečkou budeme spojitě pohybovat v rovině a sledovat obsah plochy, kterou úsečka při tomto pohybu opíše, tj. obsah množiny všech bodů, kterými úsečka projde.

Budeme však namísto klasického obsahu uvažovat orientovaný obsah: pokud nějakou oblast úsečka projde ve směru normálového vektoru, je její orientovaný obsah kladný, jinak záporný.

Tímto je orientovaný obsah korektně a srozumitelně definován pro jednoduché pohyby, kdy úsečka opisuje buď rovnoběžník (normálový vektor si zachovává směr), nebo kruhovou výseč (jeden konec zůstává na místě a pohybuje se pouze druhý). Definici není težké rozšířit i na složitější pohyby, není to však v tuto chvíli nutné. Důvodem je fakt, že složitější pohyb můžeme aproximovat s přesností pod rozlišovací schopnost našich přístrojů pomocí (třeba i obrovského množství) malých pohybů dvou uvažovaných speciálních typů.

Planimetry nejsou z jistého úhlu pohledu nic jiného než právě úsečky putující rovinou a opisující množinu s nějakým orientovaným obsahem, jsou však vylepšeny o jeden detail: je k nim připevněno integrační kolečko. Toto kolečko je připevněno na ose, která jej pevně směruje kolmo na úsečku. Pokud se pohybuje úsečka ve směru normálového vektoru, integrační kolečko zaznamená velikost posunutí. V ostatních případech kolečko rozloží pohyb na část ve směru normálového vektoru a na část ve směru úsečky a zaznamená pouze první složku.

Integrační kolečko. Volně se otáčí ve směru kolmém na úsečku a volně klouže ve směru úsečky. Pro čtení otáček je na integračním kolečku vyznačena stupnice a je připojeno počítadlo otáček.

Hlavním matematickým principem stojícím v pozadí planimetrů je následující matematická věta, k jejímuž odvození stačí jednoduchá geometrie a úvaha s rozložením pohybu na dva speciální pohyby uvažované výše (s opsaným rovnoběžníkem a kruhovou výsečí).

Věta o planimetrech: Orientovaný obsah plochy opsané úsečkou s integračním kolečkem při pohybu v rovině při kterém se úsečka vrátí do výchozí polohy je roven součinu délky úsečky a vzdálenosti zaznamenané kolečkem.

Toto je demonstrováno na počítačové animaci o několik odstavců výše. Pokud orientujeme normálový vektor tak, že na začátku pohybu směřuje doleva nahoru, je orientovaný obsah množiny $A$ kladný a orientovaný obsah množiny $B$ záporný. Mezi množinami $A$ a $B$ úsečka projde každým bodem jednou v kladném a jednou v záporném směru a příspěvek k celkovému orientovanému obsahu je nulový.

Jestliže se úsečka délky $L$ s integračním kolečkem pohybuje tak, že jeden konec úsečky opíše množinu $A$ s orientovaným obsahem $S(A)$, druhý konec úsečky množinu $B$ s orientovaným obsahem $S(B)$ a je-li dále $W$ vzdálenost zaznamenaná integračním kolečkem, platí podle věty o planimetrech vztah $$S(A)+S(B)=W\cdot L.$$ Mírné numerické narušení tohoto vzorce v animacích na této webové stránce je dáno akumulací zaokrouhlovacích chyb a nepřesností při numerickém výpočtu.

Jak využít úsečku s kolečkem k měření obsahu

Úsečku s integračním kolečkem a předchozí vzorec je možno využít k měření obsahu plochy $A$. Stačí jedním koncem úsečky pohybovat po hranici množiny $A$ tak, aby orientovaný obsah $S(A)$ vycházel stejně jako klasický obsah množiny $A$, vyjádřit $$S(A)=W\cdot L - S(B)$$ a nějakým způsobem určit $W$ (dráha zaznamenaná na integračním kolečku) a $S(B)$ (orientovaný obsah množiny $B$). Délka $L$ je známa. Je to délka úsečky v případě úsečky, resp. konstanta planimetru v případě planimetru. Tato konstanta je dána konstrukcí a v některých případech je možné ji plynule měnit.

Než budeme pokračovat, je vhodné si uvědomit, že pokud je dána počáteční poloha úsečky a množina, kterou má při pohybu opsat jeden bod (jako v naší animaci kružnice), nejsou tím ještě jednoznačně určeny ani pohyb druhého bodu, ani množina $B$ a její orientovaný obsah.

Lineární planimeter

Pokud pohyb druhého konce úsečky fixujeme na přímku, platí $S(B)=0$ a $$S(A)=W\cdot L.$$ Známe $W$ i $L$ ($W$ čteme na stupnici, $L$ se dá většinou přizpůsobit měřítku mapy) a potom je snadné určit $S(A)$.

Fixace jednoho konce na přímku se nejsnadněji dosáhne připojením tohoto konce pomocí čepu k vozíku, který neumí zatáčet. Například se může jednat o vozík s jednou nápravou, který má místo kol válec nebo má kola napevno spojená.

Příklad komerčního lineárního planimetru je na obrázku. Dvě kolečka se otáčí synchronně a množina $B$ je na ose úsečky mezi těmito kolečky. Úsečka z Věty o planimetrech, která opisuje plochu, je úsek mezi čepem spojujícím vozík s měřícím ramenem a koncem měřícího ramene s lupou a záměrným křížem. Fakt že integrační kolečko ve skutečnosti není součástí této úsečky, ale je až za koncovým bodem úsečky a je dokonce odsazeno v kolmém směru, je pro princip fungování irelevantní.

Polární planimeter

U polárního planimetru je hlavní idea stejná jako u planimetru lineárního - konec, který neopisuje hranici měřené oblasti fixujeme na křivku. V případě polárního planimetru je však touto křivkou kružnice. To je zajištěno druhým ramenem s pevným pólem. Pól určuje střed kružnice a otáčivé rameno definuje poloměr kružnice. Toto otáčivé rameno je na konci spojeno s druhým ramenem planimetru, které má integrační kolečko. Tak jako u lineárního planimetru je spoj proveden opět čepem, aby se druhé rameno mohlo volně otáčet a jeho volný konec se mohl pohybovat po hranici měřené množiny.

Výše uvedenou jednoduchou konstrukcí je druhý konec měřícího ramene planimetru přirozeně vázán na kružinici a tedy opět zcela přirozeně platí $S(B)=0$. Poloměr kružnice nemá vliv na vlastní měření, ovlivní však například skutečnost, jak velkou množinu nám planimetr dovolí změřit.

U polárního planimetru je jeden konec ramene planimetru fixován na kružnici. Tato kružnice je definována nepohyblivým pólem (závaží s hrotem) a druhým ramenem planimetru. Fakt, že integrační kolečko je posunuto po přímce procházející úsečkou mimo vnitřek úsečky a je dokonce odsazeno v kolmém směru je pro měření irelevantní.

Prytzův planimetr

Podobně jako u předchozích dvou planimetrů, i u Prytzova planimetru máme rameno, jehož jeden konec opisuje hranici měřené množiny a u druhého konce si speciální konstrukcí vynutíme vhodný pohyb. Narozdíl od předchozích případů, nebudeme pohyb tohoto konce vázat na křivku, ale necháme jej pohybovat se vždy ve směru ramene planimetru. Zdá se to komplikovanější než v předchozích případech, ale mechanicky je snadné takový pohyb zajistit. Tento konec zkrátka musí být rezistentní vůči působení boční síly. Nejčastěji se toto realizuje ostřím stejného tvaru, do jakého se brousí sekyrky (někdy se Prytzovu planimetru říká sekyrkový planimetr), případě ostrým kolečkem.

Integrační kolečko Prytzova planimetru si představme v koncovém bodě (tam kde je sekyrkové ostří) a je jasné, že při daném způsobu pohybu by se vůbec netočilo. Protože by tedy v planimetru jenom zavazelo, můžeme jej z kontrukce vynechat.

Měření Prytzovým planimetrem se provádí tak, že planimetrem pohybujeme podél hranice měřené oblasti, opatrně tak, aby se planimetr pohyboval volně a abychom na něj nepůsobili žádnými torzními silami. Konstrukce planimetru zajišťuje, že se druhý konec automaticky a přirozeně pohybuje potřebným způsobem. Měření se skončí v okamžiku, kdy s trasujícím bodem objedeme celou hranici měřené množiny.

Proces měření není nepodobný situaci, kdy máme zaparkovaný těžký motocykl a potřebujeme jej přeparkovat tak, aby přední kolo zůstalo na svém místě, ale zadní kolo se posunulo vlevo nebo vpravo. Je potřeba motocykl shodit ze stojanu, popojet trochu dopředu a potom dozadu, mezitím otáčet řídítky tak, abychom zadní kolo dostali kam potřebujeme. Pokud tuto manipulaci provádíme v prachu cesty nebo v zaprášené garáži, při troše štěstí přední kolo motocyklu vykreslí na zemi hranici jisté množiny. Při parkování motocyklu nás množina objetá předním kolem nezajímá, protože potřebujeme posunout zadní kolo. Při měření planimetrem je trasa "předního kola" planimetru/motocyklu zadána a pro další výpočet potřebujeme vědět, o kolik se posunulo "zadní kolo".

Konstrukce Prytzova planimetru zajištuje, že pokud jedním koncem planimetru pohybujeme, druhý konec se pohybuje vždy ve směru planimetru.

Čtenáři, kteří shlédli video s použitím Prytzova planimetru, si určitě již uvědomili, že zatím nám tento planimetr příliš nezapadá do Věty o planimetrech, protože se po ukončení měření planimetr nevrátí do výchozí polohy. To je možné napravit tak, že bod opisující hranici měřené množiny zůstane na místě a druhý bod (který byl dosud jenom tažený nebo tlačený ve směru planimetru) opíše oblouk do výchozí polohy (na obrázku čárkovaně). Připomeňme, že u Prytzova planimetru jsme v tomto bodě jsme chtěli mít umístěno integrační kolečko, ale potom jsme to zamítli, protože by se stejně netočilo. Pokud by kolečko přece jenom bylo přítomno, v této fázi by se roztočilo a zaznamenalo vzdálenost mezi výchozím a koncovým bodem pohybu, měřenou po oblouku (čárkovaně v animacích).

V praxi se už fáze vracení do výchozí polohy neprovádí, ale vzdálenost mezi počáteční a koncovou polohou planimetru se změří přímo. Pokud tato vzdálenost není příliš velká, je obvyklé při měření nahradit délku oblouku prostou délkou tětivy, tj. změřit prostým přiložením pravítka. Proto se doporučuje Prytzovým planimetrem měřit obsah plochy, jejíž průměr není delší než cca polovina délky planimetru.

Orientovaný obsah množiny $B$ není možné nijak jednoduše určit. Proto nezbývá než jej zanedbat (resp. ho začleníme do chyby měřící pomůcky). V důsledku toho Prytzův planimetr nedává přesnou velikost obsahu, ale pouze její aproximaci. Vhodným použitím planimetru je možné dosáhnout toho, že velikost orientovaného obsahu množiny $B$ je malá - viz níže.

Vliv výchozí pozice na chybu Prytzova planimetru

Bod, kde začneme s měřením má značný vliv na chybu, s jakou obsah množiny určíme. Srovnejte animaci z předchozího textu, kdy měření obsahu kruhu začíná na hranici, s animací v tomto odstavci, kdy měření začíná ve středu. Obsah (orientovaný i klasický) množiny $B$ se v obou případech dramaticky liší.

Namísto jednoho velkého křivočarého trojúhelníku při postupu z okraje množiny máme při postupu ze středu množiny tři velmi malé trojůhelníky. Z těchto tří jsou navíc dva orientované opačným způsobem než třetí a orientovaný obsah množiny $B$ bude tedy ještě menší než její klasický obsah. Numerické simulace ukazují, že v tomto konkrétním případě je chyba planimetru $S(B)$ pouhých 0.75% z měřené plochy $S(A)$, což je dostatečně malá chyba a také dramaticky odlišný výsledek ve srovnání s chybou přes 17% při měření začínajícím na hranici.

Experimentem se sporákem, moukou a obracečkou je možno vizualizovat množinu $B$. Při pozorném studiu videa si jistě všimnete, že jsem se při natáčení příliš nesnažil (netrasuji celý obvod plotýnky). I tak se experimentálně potvrzuje počítačová simulace ilustrující, že je výhodnější začít ve středu plotýnky.

Zatímco v předchozím videu hrála roli planimetru obyčejná obracečka, pokud máme "těžší terén", uplatní se výhody skutečného planimetru, který přesněji drží směr. Poradí si i s pohankou. Planimetry s integračním kolečkem by na takovém povrchu nenaměřily žádnou rozumnou hodnotu.

Závěrečné poznámky

Planimetry jsou konstruovány tak, aby pohyb po hranici měřené plochy probíhal ve směru hodinových ručiček.

Matematické teorie však většinou preferují nazývat kladným pohyb proti směru hodinových ručiček. Pochopitelně to nemá na nic podstatného vliv, jde pouze o znaménko. Ve svém popisu jsem se držel obvyklého "matematického" kladného směru. Proto je v animacích použit pohyb opačným směrem, než při měření skutečným fyzickým přístrojem.

Výhodou lineárního a polárního planimetru oproti Prytzovu je, že výsledek měření je (teoreticky) ovlivněný pouze naší schopností přesně kopírovat tvar hranice měřené množiny. Aby se však kolečko otáčelo jak má, je nutné mít dostatečné kvalitní pracovní plochu. Oproti tomu Prytzův planimetr je nepoměrně jednodušší na výrobu, robustnější, méně náchylný na mechanické poškození a snese i měření na povrchu nižší kvality.

Literatura

• Robert L. Foote: How Planimeters Work
• Bill Casselman, John Eggers: The Mathematics of Surveying: Part II. The Planimeter
• John Bryant,Chris Sangwin: How Round Is Your Circle?
• Robert L. Foote, Ed Sandifer: Area Without Integration: Make Your Own Planimeter

Robert Mařík, září 2015