Planimetr

Planimetr je přístroj k měření obsahů ploch. Pokud tento přístroj neznáte, podívejte se do článku Za tajemstvím planimetru a na následující video.

Cíl mise

Jedno z možných vysvětlení planimetru je aplikace Greenovy věty. Při takovém vysvětlení se v dostupné literatuře pro jednoduchost pracuje s případem, kdy integrační kolečko je ve stejném místě jako měřící hrot a poté se ukáže, že při pohybu po uzavřené křivce na přesné poloze integračního kolečka nezáleží. Bohužel tímto usnadněním při analýze nepopisujeme reálný stav věcí - integrační kolečko pochopitelně není na steném místě jako měřící hrot a během pohybu ukazuje jiné hodnoty než jaké by ukazovalo v případě umístění do měřícího hrotu.

Že se po uzavření křivky poloha kolečka na výsledném čtení neměřené hodnoty neprojeví je jedna věc. Na planimetrech je však fascinující jenom to, že dokáží měřit obsah množiny. Je na nich neuvěřtelné i to, že zdánlivě nesmyslný a chaotický pohyb integračního kolečka se po dokončení měření změní v něco snadno intepretovatelného - v obsah množiny. Cíl tohoto článku je tedy popsat co přesně kolečko ukazuje během kteréhokoliv okamžiku měření. Pomůže to pochopit zdánlivě chaotický pohyb kolečka?

Planimetry a Greenova věta

Planimetry se kterými jsme se seznámili v článku Za tajemstvím planimetru se dají vysvětlit pomocí Greenovy věty.

Nechť $\Omega\subseteq\mathbb{R}^2$ je jednoduše souvislá regulární oblast,jejíž hranicí je po částech regulární křivka $\partial \Omega$ orientovaná tak, že při obíhání podél křivky $\partial \Omega$ je oblast $\Omega$ vlevo. Nechť vektorová funkce $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$ je hladká uvnitř nějaké oblasti, obsahující množinu $\Omega$ a její hranici $\partial \Omega$. Platí $$ \oint_{\partial \Omega}P(x,y)\mathrm{d}x +Q(x,y)\mathrm{d}y = \iint_{\Omega}\left(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right)\mathrm{d}x \mathrm{d}y. $$

Z hlediska kartografa (nejčastějšího uživatele planimetru) jsou podmínky na množinu $\Omega$ triviálně splněny a věta tedy převádí integrál přes libovolnou množinu (libovolnou z kartografického úhlu pohledu) na integrál přes hranici této množiny. Pokud jsou funkce $P$ a $Q$ zvoleny tak, že dvojný integrál napravo počítáme z konstantní funkce rovné jedné, je tento integrál roven obsahu. Takto převedeme měření obsahu na měření křivkového integrálu. To je obrovský pokrok, protože takové měření se dá provést kolečkem, ke kterému je připevněna stupnice a počítadlo otáček.

Abyste pochopili funkci měřícího kolečka, podívejte se prosím na video se třemi planimetry a zaměřte se na Amslerův planimetr.

[](http://youtu.be/UjaPmowIUIA) Ve videu **Tři planimetři** změříme třemi planimetry obsah náhodně nakreslené množiny. Použité planimetry od sebe dělí téměř 100 let (od Prytzova planimetru z konce 19. století po digitální planimetr z 90. let 20. stol.) a jedná se o tři odlišné konstrukce. Tyto planimetry však přesto mají hodně společného. Podívejte se na video, poslechněte přitom pěknou písničku od mladé kapely [Naslouchej mandarinkám](http://bandzone.cz/naslouchejmandarinkam) a poté se začtěte do následujícího text, abyste poznali, jak je to vlastně všechno neuvěřitelně jednoduché.

Souvislost mezi integračním kolečkem na planimetru a křivkovým integrálem je ta, že kolečko rozkládá pohyb do směru kolmého k rameni a ve směru ramene. Komponenta ve směru kolmém k rameni je kolečkem a počítadlem otáček zaznamenána, komponenta ve směru ramene se neuplatní. Pokud v místě kolečka je normálový vektor k pohybujícímu se rameni planimetru $\vec n=(P,Q)$ a kolečko se pohybuje po křivce $C$, je na integračním kolečku zaznamenána hodnota $$\int_C \vec n\mathrm{d}\vec r=\int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y.$$

Poznámky

• Při měření planimetrem uvažujeme uzavřenou křivku a je tedy možné použít Greenovu větu. Skutečnost, že planimetry jsou konstruovány tak, že při měření obíhá měřící bod měřenou oblast v matematicky záporném směru je pro popis irelevantní. Má vliv pouze na znaménko, což je ošetřeno konstrukcí planimetru - například směrem, kterým je na měřícím kolečku namalována stupnice.
• Při vysvětlení funkce planimetrů je nejjednodušší uvažovat případ, kdy je integrační kolečko přímo na konci ramene planimetru a poté ukázat, že poloha kolečka na rameni je při měření po uzavřené křivce irelevantní. Já jsem se snažil dát interpretaci nejenom konečnému výsledku, ale zjistit co znamenají hodnoty zaznamenávané i během výpočtu, proto odvozuji jak vypadá integrované vektorové pole i v obecném případě při poloze kolečka ve vzdálenosti $w<L$ od začátku měřícího ramene. Je to matematicky náročnější a bohužel vektorová pole vycházejí komplikovaná na to, abychom jim dali fyzikální interpretaci. Na druhou stranu se zcela vyhneme úvahám o rozložení pohybu ramene na dva speciálními pohyby. Takové úvahy mohou být pro náročného čtenáře málo uspokojivé bez hlubší analýzy.

Lineární planimetr

Lineární planimetr obsahuje rameno, jehož jeden konec se volně pohybuje v přímce. Druhým koncem pohybujeme podél hranice měřené množiny. K ramenu planimetru je připojeno kolečko, které směřuje kolmo k ramenu. Kolečko se dobře otáčí při pohybu vpřed a vzad a neklade odpor (dobře klouže) při pohybu do boku.

V souřadnicích podle obrázku má vektor určený ramenem planimetru souřadnice $(x,\sqrt{L^2-x^2})$ a jednotkový normálový vektor je $$\vec n=\frac 1L\Bigl(-\sqrt{L^2-x^2},x\Bigr).$$

Integrační kolečko na konci ramene

Je-li integrační kolečko na konci ramene, zaznamenává $$I=\int_{C}\vec n\mathrm{d}\vec r$$ a tedy $$I=\frac 1L \int_{C} -\sqrt{L^2-x^2}\mathrm{d}x+ x\mathrm{d}y. $$ Z Greenovy věty pro $C=\partial \Omega$ dostaneme $$I=\frac 1L \iint_{\Omega} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

Všimněte si, že integrujeme jednotkový normálový vektor a vektorové pole se kterým pracujeme má tu vlastnost, že mění pouze směr vektorů a nikoliv jjeich velikost.

Integrační kolečko v obecné poloze

Skutečný planimetr nemá integrační kolečko na konci, ale ve vzdálenosti $w<L$ od čepu který spojuje rameno planimetru s vozíkem. Jsou-li $(X,Y)$ souřadnice kolečka, potom kolečko zaznamenává $$I=\frac 1L \int_{C} -\sqrt{L^2-x^2}\mathrm{d}X+ x\mathrm{d}Y. $$ Čistě geometricky snadno odvodíme $$ \begin{aligned}X&=\frac wL x\\ Y&=y-\left(1-\frac wL\right)\sqrt{L^2-x^2},\end{aligned}$$ derivováním $$ \begin{aligned} \mathrm{d}X&=\frac wL \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}Y&=\mathrm{d}y+\left(1-\frac wL\right)\frac{x}{\sqrt{L^2-x^2}}\mathrm{d}x\end{aligned}$$ a po dosazení dostaneme okamžitě $$\begin{aligned}I&=\frac 1L \int_{C} \left (-\sqrt{L^2-x^2} \frac wL + \left(1-\frac wL\right)\frac{x^2}{\sqrt{L^2-x^2}} \right )\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y\\ &=\frac 1L \int_{C} \frac{x^2-Lw}{\sqrt{L^2-x^2}}\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y .\end{aligned} $$ Předpoklad $C=\partial \Omega$ a Greenova věta umožňují převod na dvojný integrál $$I=\frac 1L \iint_{\Omega} \mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$ Lineární planimetr tedy pracuje s vektorovým polem $$(P,Q)=\left ( \frac{x^2-Lw}{\sqrt{L^2-x^2}}, x\right)$$ a integrál tohoto vektorového pole po uzavřené křivce je roven obsahu množiny. Jak je očekávatelné, pole nezávisí explicitně na proměnné $y$.

Srovnání: Při analýze lineárního planimetru jsme v případě umístění kolečka na konci měřícího ramene obdrželi vektorové pole s vektory konstatní velikosti. V reálném případě, kdy kolečko je v obecné poloze na rameni se mění nejenom směr ale i velikost vektorů v měřením vektorovém poli. To má snadno interpretovatelný důsledek. Pokud se operátotrovi obsluhujícímu planimetr zachvěje ruka v místě kde má vektorové pole velkou velikost, způsobí se tím větší chyba, než když se to stane v místě s menší velikostí vektorového pole. Proto se doporučuje měřit tak, aby rameno nebylo moc vychýlené. Díky naší analýze pěkně vidíme důvod takového doporučení.

Polární planimetr

Polární planimetr funguje podobě jako lineární s tím rozdílem, že druhý konec ramene není vázán na přímku ale na kružnici.

Počátek soustavy souřadnic volme v nepohyblivém pólu. Nechť $L$ je délka měřícího ramene a buďte $(a(x,y),b(x,y))$ souřadnice konce měřícího ramene vázaného na kružnici a $(x,y)$ souřadnice konce, který opisuje hranici měřené množiny. Jednotkový vektor v tomto bodě mířící kolmo k měřícímu rameni má souřadnice $$\vec n=\frac 1L(b-y,x-a)$$

Vazby v planimetru a jejich důsledky

Dvě ramena polárního planimetru definují dvě vazby mezi body $(x,y)$ a funkcemi $a(x,y)$ a $b(x,y)$. Než přistoupíme k popisu vektorového pole polárního planimetru, bude vhodné tyto vazby matematicky prostudovat.

Jsou-li délky ramen planimetru $L$ a $P$, platí $$a^2+b^2=P^2$$ a $$(x-a)^2+(y-b)^2=L^2.$$ Derivováním obou vztahů podle $x$ a poté podle $y$ obdržíme čtyři rovnice (závislost $a$ a $b$ na $x$ a $y$ pro stručnost vynecháme).

$$ \begin{aligned} 2a\frac{\partial a}{\partial x}+2b\frac{\partial b}{\partial x}&=0\\ 2a\frac{\partial a}{\partial y}+2b\frac{\partial b}{\partial y}&=0\\ 2(x-a)\left(1-\frac{\partial a}{\partial x}\right)-2(y-b)\frac{\partial b}{\partial x}&=0\\ -2(x-a)\frac{\partial a}{\partial y}+2(y-b)\left(1-\frac{\partial b}{\partial y}\right)&=0 \end{aligned} $$

Soustavu rovnic je možno upravit do ekvivalentního tvaru

$$ \begin{aligned} a\frac{\partial a}{\partial x}+b\frac{\partial b}{\partial x}&=0\\ a\frac{\partial a}{\partial y}+b\frac{\partial b}{\partial y}&=0\\ (x-a)\frac{\partial a}{\partial x}+(y-b)\frac{\partial b}{\partial x}&=x-a\\ (x-a)\frac{\partial a}{\partial y}+(y-b)\frac{\partial b}{\partial y}&=y-b \end{aligned} $$ což je možno zapsat maticově $$ \begin{pmatrix} a& b \\ x-a & y-b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial a}{\partial y} \\ \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ x-a & y-b \end{pmatrix} $$ Matice $$M=\begin{pmatrix} a& b \\ x-a & y-b \end{pmatrix} $$ má inverzní matici $M^{-1}$ pokud platí $\mathrm{det}M\neq 0$ což je ekvivalentní podmínce $\begin{vmatrix}a &b \\ x&y \end{vmatrix}\neq 0$, tj, $(a,b)$ není násobkem $(x,y)$. V řeči ramen planimetru to znamená, že planimetr nemůže být úplně rozevřený. Potom platí $$M^{-1}=\frac{1}{ay-bx}\begin{pmatrix} y-b& -b \\ a-x & a \end{pmatrix} $$ a odsud $$\begin{pmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial a}{\partial y} \\ \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial y} \end{pmatrix} =\frac 1{ay-bx} \begin{pmatrix} -b(x-a) & -b(y-b) \\ a(x-a) & a(y-b) \end{pmatrix} $$ Odsud okamžitě plyne $$\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}=1.$$ Dále z Cauchyovy věty aplikované na maticovou rovnici výše plyne $$ \begin{vmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial a}{\partial y} \\ \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial y} \end{vmatrix}=0 $$

Integrační kolečko na konci ramene

Pokud by měřící kolečko bylo přímo na tomto konci a měřilo po křivce $C$, naměřilo by křivkový integrál $$I=\frac 1L\int_{C}(b-y)\mathrm{d}x+(x-a)\mathrm{d}y.$$ Podle Greenovy věty pro $C=\partial \Omega$ platí $$I=\frac 1L \iint_{\Omega} \left[2-\frac{\partial a}{\partial x}-\frac{\partial b}{\partial y}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ Podle předchozího odstavce platí $$\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}=1$$ a tedy $$ I=\frac 1L\iint_{\Omega} 1\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Integrační kolečko v obecné poloze

Je-li integrační kolečko na rameni planimetru ve vzdálenosti $w$ od bodu $(a,b)$, jsou souřadnice kolečka $$\begin{align} X&=\frac wL x + \left(1-\frac wL\right)a \\ Y&=\frac wL y + \left(1-\frac wL\right)b. \end{align}$$ Tento vzorec zahrnuje i případ $w<0$ kdy integrační kolečko není mezi oběma konci planimetru ale je ve vzdálenosti $w$ od bodu $(a,b)$, směrem od bodu $(x,y)$. Pokud se konec planimetru pohybuje po křivce $C$, kolečko měří integrál $$I=\frac 1L\int_C (b-y)\mathrm{d}X+(x-a)\mathrm{d}Y$$

Diferencováním dostaneme $$\begin{align} \mathrm{d}X&=\frac wL \mathrm{d}x + \left(1-\frac wL\right) \left[\frac{\partial a}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial a}{\partial y}\mathrm{d}y\right] \\ \mathrm{d}Y&=\frac wL \mathrm{d}y + \left(1-\frac wL\right) \left[\frac{\partial b}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial b}{\partial y}\mathrm{d}y\right]. \end{align}$$ a po dosazení $$ \begin{aligned} I&= \frac 1L\cdot \frac wL\int_{C}(b-y)\mathrm{d}x+(x-a)\mathrm{d}y\\ &+ \frac 1L \left(1-\frac wL\right) \int_C \left((b-y)\frac{\partial a}{\partial x}+(x-a)\frac{\partial b}{\partial x}\right)\mathrm{d}x + \left((b-y)\frac{\partial a}{\partial y}+(x-a)\frac{\partial b}{\partial y}\right)\mathrm{d}y, \end{aligned} $$ kde pro snazší výpočet je integrál rozdělen na dvě části. Aplikace Greenovy věty pro křivku $C=\partial \Omega$ dává $$ \begin{aligned} I&= \frac 1L\cdot \frac wL \iint_{\Omega} \left[2-\frac{\partial a}{\partial x}-\frac{\partial b}{\partial y}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &+ \frac 1L \left(1-\frac wL\right) \iint_\Omega \left( \frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y} -2\begin{vmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial a}{\partial y} \\ \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial y} \end{vmatrix} \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$ Pokud použijeme výše odvozené rovnosti $$ \frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}=1 $$ a $$\begin{vmatrix} \frac{\partial a}{\partial x} & \frac{\partial a}{\partial y} \\ \frac{\partial b}{\partial x} & \frac{\partial b}{\partial y} \end{vmatrix}=0,$$ vidíme ihned $$I=\frac 1L \iint_\Omega \mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Závěr

Co tedy ukazuje kolečko planimetru během měření? Sice je možné napsat explicitně, jaké vektorové pole vlastně kolečkem měříme, vzorec pro toto vektorové pole však je poměrně komplikovaný a nezbývá než se smířit s tím, že kolečko během měření ukazuje (skoro) chaos a jednoduchou interpretaci má až výsledná hodnota po uzavření křivky. Maličko více při pochopení toho co kolečko ukazuje dá geometrická představa uvedená v článku Za tajemstvím planimetru. Abyste se však měli kam pohnout, musíte si najít variantu "Věty o planimetrech", která se netýká jenom pohybu po uzavřené křivce. Po prostudování této věty a jejího důkazu budete schopni interpretovat čtení na kolečku v kterémkoliv okamžiku pohybu v pojmech, jako je složení jistých dvou hodnot geometricky relativně snadno popsatelných. To však nechávám jako výzvu pro zvídavého čtenáře.

Robert Mařík, září 2015