Planimetr
Planimetr je přístroj k měření obsahů ploch. Pokud tento přístroj neznáte, podívejte se do článku Za tajemstvím planimetru a na následující video.
Ve videu Tři planimetři změříme třemi planimetry obsah náhodně nakreslené množiny. Použité planimetry od sebe dělí téměř 100 let (od Prytzova planimetru z konce 19. století po digitální planimetr z 90. let 20. stol.) a jedná se o tři odlišné konstrukce. Tyto planimetry však přesto mají hodně společného. Podívejte se na video, poslechněte přitom pěknou písničku od mladé kapely Naslouchej mandarinkám a poté se začtěte do následujícího článku pro analytické vysvětlení, nebo do článku Za tajemstvím planimetru pro vysvětlení geometrické.
Cíl mise
Jedno z možných vysvětlení planimetru je aplikace Greenovy věty. Při takovém vysvětlení se v dostupné literatuře pro jednoduchost pracuje s případem, kdy integrační kolečko je ve stejném místě jako měřící hrot a poté se ukáže, že při pohybu po uzavřené křivce na přesné poloze integračního kolečka nezáleží. Bohužel tímto usnadněním při analýze nepopisujeme reálný stav věcí - integrační kolečko pochopitelně není na steném místě jako měřící hrot a během pohybu ukazuje jiné hodnoty než jaké by ukazovalo v případě umístění do měřícího hrotu.
Že se po uzavření křivky poloha kolečka na výsledném čtení neměřené hodnoty neprojeví je jedna věc. Na planimetrech je však fascinující jenom to, že dokáží měřit obsah množiny. Je na nich neuvěřtelné i to, že zdánlivě nesmyslný a chaotický pohyb integračního kolečka se po dokončení měření změní v něco snadno intepretovatelného - v obsah množiny. Cíl tohoto článku je tedy popsat co přesně kolečko ukazuje během kteréhokoliv okamžiku měření. Pomůže to pochopit zdánlivě chaotický pohyb kolečka?
Planimetry a Greenova věta
Planimetry se kterými jsme se seznámili v článku Za tajemstvím planimetru se dají vysvětlit pomocí Greenovy věty.
Nechť
je jednoduše souvislá regulární oblast,jejíž hranicí je po částech regulární křivka orientovaná tak, že při obíhání podél křivky je oblast vlevo. Nechť vektorová funkce je hladká uvnitř nějaké oblasti, obsahující množinu a její hranici . Platí
Z hlediska kartografa (nejčastějšího uživatele planimetru) jsou
podmínky na množinu
Abyste pochopili funkci měřícího kolečka, podívejte se prosím na video se třemi planimetry a zaměřte se na Amslerův planimetr.

Souvislost mezi integračním kolečkem na planimetru a křivkovým
integrálem je ta, že kolečko rozkládá pohyb do směru kolmého k rameni
a ve směru ramene. Komponenta ve směru kolmém k rameni je kolečkem a
počítadlem otáček zaznamenána, komponenta ve směru ramene se
neuplatní. Pokud v místě kolečka je normálový vektor k pohybujícímu se
rameni planimetru
Poznámky
- Při měření planimetrem uvažujeme uzavřenou křivku a je tedy možné použít Greenovu větu. Skutečnost, že planimetry jsou konstruovány tak, že při měření obíhá měřící bod měřenou oblast v matematicky záporném směru je pro popis irelevantní. Má vliv pouze na znaménko, což je ošetřeno konstrukcí planimetru - například směrem, kterým je na měřícím kolečku namalována stupnice.
- Při vysvětlení funkce planimetrů je nejjednodušší uvažovat případ,
kdy je integrační kolečko přímo na konci ramene planimetru a poté
ukázat, že poloha kolečka na rameni je při měření po uzavřené
křivce irelevantní. Já jsem se snažil dát interpretaci nejenom
konečnému výsledku, ale zjistit co znamenají hodnoty zaznamenávané i
během výpočtu, proto odvozuji jak vypadá integrované vektorové pole
i v obecném případě při poloze kolečka ve vzdálenosti
od začátku měřícího ramene. Je to matematicky náročnější a bohužel vektorová pole vycházejí komplikovaná na to, abychom jim dali fyzikální interpretaci. Na druhou stranu se zcela vyhneme úvahám o rozložení pohybu ramene na dva speciálními pohyby. Takové úvahy mohou být pro náročného čtenáře málo uspokojivé bez hlubší analýzy.
Lineární planimetr
Lineární planimetr obsahuje rameno, jehož jeden konec se volně pohybuje v přímce. Druhým koncem pohybujeme podél hranice měřené množiny. K ramenu planimetru je připojeno kolečko, které směřuje kolmo k ramenu. Kolečko se dobře otáčí při pohybu vpřed a vzad a neklade odpor (dobře klouže) při pohybu do boku.
V souřadnicích podle obrázku má vektor určený ramenem planimetru
souřadnice
Integrační kolečko na konci ramene
Je-li integrační kolečko na konci ramene, zaznamenává
Všimněte si, že integrujeme jednotkový normálový vektor a vektorové pole se kterým pracujeme má tu vlastnost, že mění pouze směr vektorů a nikoliv jjeich velikost.
Integrační kolečko v obecné poloze
Skutečný planimetr nemá integrační kolečko na konci, ale ve vzdálenosti
Srovnání: Při analýze lineárního planimetru jsme v případě umístění kolečka na konci měřícího ramene obdrželi vektorové pole s vektory konstatní velikosti. V reálném případě, kdy kolečko je v obecné poloze na rameni se mění nejenom směr ale i velikost vektorů v měřením vektorovém poli. To má snadno interpretovatelný důsledek. Pokud se operátotrovi obsluhujícímu planimetr zachvěje ruka v místě kde má vektorové pole velkou velikost, způsobí se tím větší chyba, než když se to stane v místě s menší velikostí vektorového pole. Proto se doporučuje měřit tak, aby rameno nebylo moc vychýlené. Díky naší analýze pěkně vidíme důvod takového doporučení.
Polární planimetr
Polární planimetr funguje podobě jako lineární s tím rozdílem, že druhý konec ramene není vázán na přímku ale na kružnici.
Počátek soustavy souřadnic volme v nepohyblivém pólu. Nechť
Vazby v planimetru a jejich důsledky
Dvě ramena polárního planimetru definují dvě vazby mezi body
Jsou-li délky ramen planimetru
Soustavu rovnic je možno upravit do ekvivalentního tvaru
Integrační kolečko na konci ramene
Pokud by měřící kolečko bylo přímo na tomto konci a měřilo po křivce
Integrační kolečko v obecné poloze


Je-li integrační kolečko na rameni planimetru ve vzdálenosti
Diferencováním dostaneme
Závěr
Co tedy ukazuje kolečko planimetru během měření? Sice je možné napsat explicitně, jaké vektorové pole vlastně kolečkem měříme, vzorec pro toto vektorové pole však je poměrně komplikovaný a nezbývá než se smířit s tím, že kolečko během měření ukazuje (skoro) chaos a jednoduchou interpretaci má až výsledná hodnota po uzavření křivky. Maličko více při pochopení toho co kolečko ukazuje dá geometrická představa uvedená v článku Za tajemstvím planimetru. Abyste se však měli kam pohnout, musíte si najít variantu "Věty o planimetrech", která se netýká jenom pohybu po uzavřené křivce. Po prostudování této věty a jejího důkazu budete schopni interpretovat čtení na kolečku v kterémkoliv okamžiku pohybu v pojmech, jako je složení jistých dvou hodnot geometricky relativně snadno popsatelných. To však nechávám jako výzvu pro zvídavého čtenáře.
Robert Mařík, září 2015