Tok

Při odvození křivkového integrálu druhého druhu jako vykonané práce hraje roli vlastně jenom ta složka silového pole, která při posunu ve směru křivky koná práci. Uvažujeme tedy jenom složku tečnou ke křivce. Pokud použijeme naopak pouze normálovou komponentu, dostaneme veličinu vyjadřující tok vektorového pole orientovanou křivkou \(C\). Výsledný vzorec pro tok vektorového pole \(\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec\jmath\) křivkou \(C\) je \[ \int_{C}-Q(x,y)\mathrm{d}x+P(x,y)\mathrm{d}y. \]

Terminologie

• Křivka \(C\) se nazývá uzavřená, pokud její počáteční a koncový bod splývají.
• Křivka se nazývá jednoduchá, pokud sama sebe neprotíná (s případnou výjimkou stejného počátečního a koncového bodu u uzavřených křivek).
• Křivka se nazývá regulární, pokud funkce z jejího parametrického vyjádření jsou hladké (mají spojité derivace) a v každém bodě je aspoň jedna z těchto derivací nenulová.
• Oblast se nazývá jednoduše souvislá, pokud je souvislá a neobsahuje otvory.

Greenova věta

Věta (Greenova věta).

Nechť \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\) je jednoduše souvislá regulární oblast, jejíž hranicí je po částech regulární křivka \(\partial \Omega\) orientovaná tak, že při obíhání podél křivky \(\partial \Omega\) je oblast \(\Omega\) vlevo. Nechť vektorová funkce \(\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j\) je hladká uvnitř nějaké oblasti, obsahující množinu \(\Omega\) a její hranici \(\partial \Omega\). Platí \[ \underbrace{\oint_{\partial \Omega}P(x,y)\mathrm{d}x +Q(x,y)\mathrm{d}y }_{\text{Cirkulace po hranici $\partial \Omega$}}= \iint_{\Omega}\underbrace{\left(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right)}_{[\nabla \times (P\vec i+Q\vec j)]_z}\mathrm{d}x \mathrm{d}y. \]

online výpočet - pro množiny typu \(\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: a\leq x \leq b, u(x)\leq y \leq v(x)\}\)

Použijeme-li pro funkci \(\vec F\) vystupující v Greenově větě třídimenzionální rozšíření (třetí komponenta nulová), vidíme, že vpravo v dvojném integrálu figuruje třetí komponenta rotace \(\nabla \times \vec F\). Je to současně jediná komponenta vektoru rotace, která může být nenulová. Zbylé dvě komponenty vektoru rotace jsou rovny nule automaticky.

Pokud zvolíme funkce \(P\) a \(Q\) tak, že platí \(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=1\), potom vpravo vychází obsah množiny \(\Omega\) a Greenova věta umožňuje najít obsah množiny \(\Omega\) pouze z informace podél hranice! Na tomto principu fungují planimetry.

Varianta Greenovy věty pro tok křivkou

Nahradíme-li formálně vektorové pole \(P\vec i+Q\vec j\) vektorovým polem \(-Q\vec i+P\vec j\), dostáváme následující vztah mezi dvojným integrálem divergence vektorového pole přes oblast \(\Omega\) a křivkovým integrálem vyjadřujícím tok vektorového pole \(P\vec i+Q\vec j\) protékající přes hranici \(\partial \Omega\). \[ \underbrace{\oint_{\partial \Omega}-Q(x,y)\mathrm{d}x +P(x,y)\mathrm{d}y }_{\text{Tok přes hranici $\partial \Omega$}}= \iint_{\Omega}\underbrace{\left(\frac{\partial P(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x,y)}{\partial y}\right)}_{\mathop{\mathrm{div}} (P\vec i +Q\vec j)}\mathrm{d}x \mathrm{d}y \] Výše popsaně dvě varianty Greenovy věty nám dávají možnost najít fyzikální interpretaci operátorů divergence a rotace. Podíl dvojného integrálu funkce \(f\) přes oblast \(\Omega\) a obsahu této oblasti je roven střední hodnotě funkce \(f\) na množině \(\Omega\). Při limitním přechodu, kdy rozměry množiny \(\Omega\) jdou k nule, dostaneme přímo funkční hodnotu funkce \(f\). Toto nám umožňuje dostat se do integrandů na pravých stranách vztahů.

Rotaci je tedy možno chápat jako limitu podílu cirkulace vektorového pole po uzavřené křivce a obsahu množiny uvnitř této křivky, kdy v limitním procesu stahujeme délku křivky k nule. Zejména pokud je práce po libovolné uzavřené křivce nulová, je nulová i rotace.

Podobně divergenci je možno chápat jako limitu podílu toku uzavřenou křivkou a obsahu množiny ohraničené touto křivkou, když rozměry uvažované oblasti jdou k nule. V ustáleném stavu a při absenci zdrojů ani spotřebičů je tok dovnitř křivky stejný jako tok ven (co do uzavřeného prostoru vteče, to i vyteče ven) a divergence je rovna nule.

Greenova věta a přechod mezi lokálním a globálním tvarem rovnice kontinuity

Greenova věta umožňuje přechod mezi lokálním tvarem fyzikálních zákonů (co se děje v daném bodě prostoru) a globálním tvarem (co se děje v konečném objemu). Z fyzikálního hlediska je zajímavější lokální tvar, protože dává náhled, jak fungují studované procesy. Z hlediska pozorovatele je zajímavější globální tvar, protože pracuje s reálně měřitelnými pojmy. Vzhledem k možnosti přechodu mezi těmito přístupy je užitečnost Greenovy věty a jejího trojrozměrného zobecnění nezastupitelná.

Navážeme na koncept představený v přednášce o divergenci vektorového pole a podobnou bilanci stavové veličiny, jakou jsme použili v odvození rovnice kontinuity a difuzní rovnice použijeme pro konečně velký objem.

Je-li \(u(x,y)\) hustota stavové veličiny v množině \(M\), \(\sigma(x,y)\) vydatnost zdrojů a \(\vec J=(P,Q)\) pole popisující tok stavové veličiny, je rychlost s jakou roste množství stavové veličiny v množině \(M\) (tj. derivace množství podle času) dána vydatností zdrojů stavové veličiny snížené o odtok stavové veličiny přes hranici množiny \(M\). Matematicky vyjádřeno platí \[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\iint_M u\,\mathrm dx\mathrm dy\right)=\iint_M \sigma\,\mathrm dx\mathrm dy-\oint_{\partial M}-Q\,\mathrm dx+P\,\mathrm dy.\] Díky nezávislosti \(x\) a \(y\) na čase \(t\) můžeme zaměnit pořadí derivace podle času a dvojného integrálu vlevo. Křivkový integrál vpravo můžeme přepsat pomocí Greenovy věty na dvojný integrál. Tím dostáváme \[\iint_M\frac{\partial u}{\partial t}\,\mathrm dx\mathrm dy=\iint_M \sigma\,\mathrm dx\mathrm dy-\iint_{M}\left(\frac{\partial P(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x,y)}{\partial y}\right)\,\mathrm dx\mathrm dy\] a po zkrácení označení v posledním dvojném integrálu a využití linearity integrálu vztah přejde do tvaru \[\iint_M\frac{\partial u}{\partial t}\,\mathrm dx\mathrm dy=\iint_M \sigma-\nabla\cdot \vec J\,\mathrm dx\mathrm dy.\] Protože tato rovnost má platit pro libovolnou množinu \(M\), musí se rovnat nejenom integrály, ale i integrované funkce, tj. musí platit \[\frac{\partial u}{\partial t}= \sigma-\nabla\cdot \vec J.\] Toto je stejná rovnice jako rovnice odvozená lokálními úvahami v přednášce o divergenci. Stejně jako v této přednášce poté můžeme pomocí konstitutivního vztahu \[\vec J=-D\nabla u\] obdržet difuzní rovnici \[\frac{\partial u}{\partial t}= \sigma+\nabla\cdot (D\nabla u).\]

Stokesova věta

Analogie Greenovy věty, ale pracuje s plochou v prostoru a s tokem touto plochou.

Je-li \(\vec F\) hladké vektorové pole, \(\Omega\) libovolná jednoduše souvislá hladká neprotínající se plocha a \(\partial \Omega\) jednoduchá uzavřená hladká křivka ohraničující plochu \(\Omega\), je tok rotace vektorového pole \(\vec F\) plochou \(\Omega\) roven křivkovému integrálu vektorového pole \(\Omega\) podél hranice \(\partial \Omega\). Tedy platí \[\oint_{\partial \Omega} \vec F \mathrm d\vec r = \int_{\Omega}(\nabla \times \vec F)\mathrm d\vec S,\] přičemž křivka \(\partial \Omega\) je orientována tak, že při obíhání po této křivce v kladném smyslu je plocha \(\Omega\) po levé straně.

Gaussova-Ostrogradského věta

Analogie Greenovy věty pro tok, ale pracuje s trojrozměrnou množinou a její hranicí. Vyjadřuje, že tok vektorového pole jednoduše souvislou po částech hladkou plochou je roven integrálu z divergence tohoto vektorového pole přes konečný objem touto plochou ohraničený. Formálně \[\int_{\partial \Omega} \vec F \mathrm d\vec S = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \vec F\mathrm dV.\]

V praxi se Gaussova věta často používá tak, že volíme množinu \(\Omega\) tak, aby se integrály počítaly velmi jednoduše. Například tak, aby integrál na levé straně reprezentující tok šel vypočítat součinem