Motivace (stručně).

• Naučíme se efektivně pracovat s libovolně velkými soustavami rovnic.
• Naučíme se zobrazovat vektory na vektory, které nemusí mířit stejným směrem. To vede k novému typu fyzikálních veličin, k tenzorům.

Motivace (podrobněji).

• V předchozích přednáškách jsme se seznámili s derivacemi, s nástroji umožňující převést fyzikální představu o procesech v materiálu do kvantitativní podoby, kdy dokážeme studované jevy kvantifikovat. V praxi však je analytické řešení těchto fyzikálních modelů realizovatelné pouze v nejjednodušších případech. Pro netriviální příklady používáme numerický přístup, který je v mnoha případech nakonec redukován na řešení soustavy rovnic. Tyto soustavy mají typicky obrovské množství rovnic a neznámých (řádově i v jednoduchých aplikacích řádově desetitisíce nebo statisíce rovnic) a proto je nutné mít k dispozici nástroje, umožňující práci s takto obrovskými soustavami rovnic. V této přednášce si představíme nové objekty, matice, se kterými je libovolně velkou soustavu rovnic možno zapsat jako jeden součin tvaru \[AX=B.\]
• V úvodní přednášce jsme naformulovali rovnici vedení tepla jako rovnici, popisující fyzikální podstatu přenosu tepla v materiálu. Tento popis je ve vícerozměrných úlohách nutno zobecnit na dvourozměrný nebo trojrozměrný případ. Potom však u materiálu, který má v různých směrech různé vlastnosti, dochází k tomu, že odezva nemá stejný směr jako podnět. Například u vedení tepla je tok tepla dán směrem poklesu teploty jenom částečně. Vlivem vysoké vodivosti v podélném směru ve srovnání s příčným směrem však je tok tepla odkloněný částečně do podélného směru. Pro popis takového procesu tedy potřebujeme zobrazení, které dokáže změnit nejenom délku, ale i směr vektoru. Toto zobrazení je možné realizovat pomocí matic.

https://youtu.be/cPrmTKdk3yk

Vektory

https://youtu.be/iK6KMeYeTcM

Operace s vektory

Vektorem rozumíme uspořádanou \(n\)-tici objektů, pro které má smysl operace sčítání a násobení číslem. Počet komponent v této \(n\)-tici se nazývá dimenze vektoru. Tyto komponenty jsou zpravidla čísla nebo skalární funkce. Aby se s vektory dalo rozumně pracovat, musí tvořit vhodnou strukturu. Například operace musí mít neutrální prvek a každý vektor musí mít opačný prvek.

Definice (vektory, vektorový prostor).

Množinu \(V\) uspořádaných \(n\)-tic \((a_1, a_2,\dots, a_n)\) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými \[\begin{gathered} (a_1, a_2,\dots, a_n)+(b_1, b_2,\dots, b_n)=(a_1+b_1, a_2+b_2,\dots, a_n+b_n)\\ c\cdot (a_1, a_2,\dots, a_n)=(c\cdot a_1, c\cdot a_2,\dots,c\cdot a_n) \end{gathered}\] pro všechna \(c\in\mathbb R\) a \((a_1, a_2,\dots, a_n),(b_1, b_2,\dots, b_n)\in V\) nazýváme vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru nazýváme vektory. Prvky \(a_1, \dots, a_n\) nazýváme složky vektoru \((a_1,a_2,\dots, a_n)\). Číslo \(n\) nazýváme dimenze prostoru \(V\).

Vektorový prostor, jehož komponenty jsou uspořádané \(n\)-tice reálých čísel označujeme \(\mathbb R^n\).

Často pracujeme se sloupcovými vektory. Zápis je potom přehlednější. \[\begin{pmatrix} 1\cr-2\cr1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} -1\cr5\cr2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3\cr-2+15\cr1+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cr13\cr7 \end{pmatrix}\]

Neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání vektorů je nulový vektor \(\vec o\), jehož všechny komponenty jsou nulové. Vektor, ke kterému přičteme nulový vektor, se nezmění. \[\vec u +\vec o=\vec u\]

2D a 3D a vektory v geometrii

Dvourozměrné vektory s komponentami danými reálnými čísly můžeme reprezentovat graficky pomocí orientovaných úseček. Ve zvolené soustavě souřadnic a při zvoleném výchozím bodu vektor znázorníme takovou orientovanou úsečkou, že komponenty vektoru označují změnu polohy v jednotlivých směrech. Sčítání vektorů odpovídá posunutí počátečního bodu druhého vektoru do koncového bodu prvního vektoru a nahrazení dvou částečných posunutí jedním celkovým. Je přirozené zavést délku vektoru \(\vec u= \begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix}\) pomocí Pythaghorovy věty vzorcem \(|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\). Násobení vektoru kladným číslem odpovídá změně délky vektoru. Násobení záporným číslem odpovídá změně délky a otočení směru.

Lineární kombinace

Definice (lineární kombinace).

Nechť \(\vec u_1\), \(\vec u_2\), \(\dots\) \(\vec u_k\) je konečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru \(V\). Vektor \(\vec u\), pro který platí \[ \vec u=t_1\vec u_1+t_2\vec u_2+\cdots +t_k \vec u_k, \] kde \(t_1\), \(t_2\), \(\dots\), \(t_k\) jsou nějaká reálná čísla, se nazývá lineární kombinace vektorů \(\vec u_1\), \(\vec u_2\), \(\dots\), \(\vec u_k\). Čísla \(t_1\), \(t_2\), \(\dots\), \(t_k\) nazýváme koeficienty lineární kombinace.

Výpočet lineární kombinace si můžete vyzkoušet online.

ww2:problems/vektory/linearni_kombinace.pg

Lineární závislost a nezávislost vektorů

V \(n\)-rozměrném prostoru existuje \(n\)-tice vektorů, pomocí nichž můžeme dostat libovolný vektor jako lineární kombinaci. Taková \(n\)-tice se nazývá báze. Dá se ukázat, že bází je nekonečné mnoho a pro zadanou bázi a vektor je vyjádření vektoru pomocí bázových vektorů jednoznačné až na pořadí. Nejjednodušší báze je tvořena jednotkovými vektory, které mají všechny komponenty kromě jedné nulové. Například pro bázové vektory \(\vec e_1=(1,0)\) a \(\vec e_2=(0,1)\) dvourozměrného vektorového prostoru a pro vektor \(\vec v=(4,3)\) platí \[\vec v=(4,3)=(4,0)+(0,3) = 4 (1,0) +3 (0,1) = 4\vec e_1+3 \vec e_2.\] Koeficienty lineární kombinace se nazývají souřadnice. Například souřadnice vektoru \(\vec v=(4,3)\) v uvažované bázi jsou \(\begin{bmatrix} 4\\3 \end{bmatrix}_{e_1,e_2}\). Pro bázové vektory \(\vec \varepsilon_1=(2,1)\) a \(\vec \varepsilon_2=(0,1)\) platí \[\vec v=(4,3)=2(2,1)+1(0,1)=2\vec \varepsilon_1+\vec \varepsilon_2\] a souřadnice vektoru \(\vec v=(4,3)\) v nové bázi jsou \(\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} _{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\). Tady vidíme výhodu “pěkné volby” bázových vektorů v prvním případě. Tam jsou souřadnicemi přímo komponenty vektoru.

Aby použití souřadnic mělo smysl, musí existovat jediná možnost jak daný vektor vyjádřit pomocí lineární kombinace zadaných bázových vektorů. Tato úloha se dá redukovat na úlohu, zda taková jednoznačnost existuje u nulového vektoru. Tím je motivována následující úvaha a z ní vyplývající definice.

Výsledkem triviální lineární kombinace, tj. lineární kombinace s nulovými koeficienty, je nulový vektor. Pro některé vektory můžeme nulový vektor dostat i jako jinou lineární kombinaci, než je ta triviální. Ukazuje se, že je důležité identifikovat tyto případy a pro rozlišení toho, zda se nulový vektor dá nebo nedá vyjádřit jako netriviální lineární kombinace zavedeme nové pojmy, lineární závislost a nezávislost.

Definice (lineární závislost a nezávislost).

Řekneme, že vektory \(\vec u_1\), \(\vec u_2\), \(\dots\), \(\vec u_k\) jsou lineárně závislé, jestliže existuje alespoň jedna netriviální lineární kombinace těchto vektorů, jejímž výsledkem je nulový vektor \(\vec o\), tj. existují-li reálná čísla \(t_1\), \(t_2\), \(\dots\), \(t_k\), z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí \[ \vec o=t_1\vec u_1+t_2\vec u_2+\cdots +t_k \vec u_k. \] V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé.

Platí následující.

• Vektory, které tvoří bázi, jsou lineárně nezávislé.
• Je-li vektorů větší počet, než je dimenze prostoru, jsou tyto vektory lineárně závislé.
• Je-li v posloupnosti vektorů některý vektor násobkem jiného vektoru nebo lineární kombinací ostatních vektorů, jedná se o lineárně závislou posloupnost vektorů.

Ve výše uvedených případech poznáme lineární závislost snadno. Mimo tyto případy je to snadné pouze pro dvojici vektorů, které jsou lineárně závislé právě tehdy když je jeden vektor násobkem druhého. V tom případě říkáme, že vektory mají stejný směr. V ostatních případech se lineární závislost a nezávislost naučíme posuzovat později při výpočtu hodnosti.

Pootočení vektoru

https://youtu.be/7vyBwmZZ3Pg

Ve dvourozměrném vektorovém prostoru uvažujme jednotkové vektory ve směru souřadných os \(\vec e_1=(1,0)\) a \(\vec e_2=(0,1)\). Pokud pootočíme vektory o úhel \(\theta\) v kladném směru, mají pootočené vektory \(\vec f_1\), \(\vec f_2\) souřadnice \[\vec f_1=(\cos \theta,\sin\theta)\] (plyne přímo z definice funkcí sinus a kosinus na jednotkové kružnici) a \[\vec f_2=(-\sin\theta,\cos\theta)\] (plyne z předchozího přičtením úhlu \(\frac\pi 2\) a využitím identit \(\cos\left(\theta+\frac\pi 2\right)=-\sin\theta\) a \(\sin\left(\theta+\frac\pi 2\right)=\cos\theta\)). Pomocí lineární kombinace můžeme psát \[ \begin{aligned} \vec f_1&=\cos(\theta) \vec e_1 +\sin(\theta)\vec e_2,\\ \vec f_2&=-\sin(\theta)\vec e_1 +\cos(\theta)\vec e_2. \end{aligned} \] Je-li úhel \(\theta\) malý, platí (viz cvičení z derivací) \(\sin\theta\approx\theta\), \(\cos\theta\approx 1\) a dostáváme \[ \begin{aligned} \vec f_1&= (1,\theta) = \vec e_1 +\theta\vec e_2,\\ \vec f_2&= (-\theta,1) = -\theta\vec e_1 +\vec e_2. \end{aligned} \]

Matice

https://youtu.be/DY044M_RbVs

Matice a jejich lineární kombinace

Definice (matice).

Maticí řádu \(m\times n\) rozumíme schema \[ A= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots{}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots{}& a_{2n}\\ \vdots{}& \vdots{}& {}& \ddots{}& \vdots{}\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots{}& \cdots{}& a_{mn} \end{pmatrix} \] kde \(a_{ij}\) pro \(i=1..m\) a \(j=1..n\) jsou reálná čísla nebo funkce. Množinu všech matic řádu \(m\times n\), jejichž prvky jsou reálná čísla, označujeme symbolem \(\mathbb R^{m\times n}\). Zkráceně zapisujeme též \({A=(a_{ij})}\).

Je-li \(m=n\) nazývá se matice \(A\) čtvercová matice, jinak obdélníková matice. Je-li \(A\) čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru \(a_{ii}\), tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály.

ww2:problems/matice/prvky_matice.pg

Pro matice definujeme sčítání a násobení číslem stejně jako u vektorů, tj. po složkách. Má potom smysl mluvit o lineární kombinaci matic a o jejich lineární závislosti či nezávislosti. Tyto operace přirozeně přebírají všechny důležité vlastnosti operace sčítání, jako jsou asociativita, komutativita, existence neutrálního prvku nebo existence opačného prvku.

V této fázi je vlastně jedno, jestli prvky jsou uspořádány jako řádkový nebo sloupcový vektor nebo jako matice. Odlišení matic a vektorů provedeme zavedením maticového součinu.

Maticový součin

Definice (součin matic).

Buďte \(A=(a_{ij})\) matice řádu \(m\times n\) a \(B=(b_{ij})\) matice řádu \(n\times p\). Součinem matic \(A\) a \(B\) (v tomto pořadí) rozumíme matici \(G=(g_{ij})\) řádu \(m\times p\), kde \[ g_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj} \] pro všechna \(i=1..m\), \(j=1..p\). Zapisujeme \[{G=AB}\] (v tomto pořadí).

Slovy: v \(j\)-tém sloupci matice \(AB\) je lineární kombinace sloupců matice \(A\), přičemž koeficienty této lineární kombinace jsou prvky z \(j\)-tého sloupce matice \(B\).

Na maticový součin můžeme pohlížet i pomocí pojmů známých z analytické geometrie. Prvky v součinu matic jsou skalárními součiny řádků první matice se sloupci druhé matice.

Maticový součin

• je asociativní \[(AB)C=A(BC)=ABC,\]
• je distributivní vzhledem ke sčítání \[A(B+C)=AB+AC\qquad \text {a}\qquad (B+C)A=BA+CA,\]
• není však komutativní (\(AB\) je obecně různé od \(BA\), proto v předchozím máme roznásobování závorky zleva i zprava),
• ale při násobení skalárem komutativní je: \[A(\lambda B)=\lambda (AB),\] kde \(\lambda\) je reálné číslo a \(A\) a \(B\) jsou matice.

Můžeme tedy měnit uzávorkování, můžeme roznásobovat závorky, nesmíme však měnit pořadí matic při násobení.

Neutrální prvek maticového součinu

U každé operace nás zajímá neutrální prvek, což je prvek, který se v dané operaci nijak neprojeví. Třeba u sčítání čísel je neutrálním prvkem nula, při násobení čísel je neutrálním prvkem jednička. Pokud nějaký prvek potřebujeme zapsat ve tvaru součinu, zapíšeme ho jako součin sebe sama s jedničkou. To využijeme například při vytýkání ve kterém u vytýkaného prvku nefiguruje v některém členu druhý součinitel, jako třeba ve výpočtu \[3x^2+x=3x \cdot x + 1\cdot x = (3x+1)\cdot x.\] Ukážeme si, že podobný neutrální prvek existuje i u násobení matic a trik podobný výše uvedenému využijeme později, až budeme mluvit o vlastních vektorech matice.

Neutrálním prvkem při násobení matic čtvercových je čtvercová matice, která má jedničky v hlavní diagonále a nuly mimo tuto diagonálu. Tato matice se nazývá jednotková matice a označuje \(I\). Mají-li čtvercové matice \(A\) a \(I\) stejný počet řádků a sloupců, platí \[AI=IA=A.\]

Například pro matice \(3\times 3\) je jednotková matice \[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} .\] Je-li \(A\) matice \(3\times 3\), kterou násobíme zprava maticí \(I\), výsledná matice \(AI\) bude mít tři sloupce (matice \(I\) má tři sloupce), v prvním sloupci bude první sloupec matice \(A\) (lineární kombinace sloupců matice \(A\) s koeficientem 1 pro první sloupec a koeficienty 0 pro všechny další sloupce) atd. Jako výsledek součinu dostaneme přirozeně matici \(A\). Že stejný výsledek dostaneme i pro opačné pořadí v součinu je možné pro nějaký konkrétní případ ověřit přímo a že toto funguje obecně se nejsnáze ukáže, až si představíme operaci transponování matice a její vztah k maticovému součinu.

Výpočet operací s maticemi je nejlepší se naučit při výpočtu konkrétních příkladů. Ty si můžete vyzkoušet online na následujících odkazech.

ww2:problems/matice/soucet_matic.pg

ww2:problems/matice/soucin_matic.pg

ww2:problems/matice/soucin_matice_a_vektoru.pg

Aplikace maticového součinu 1/3

Nejdůležitější aplikací maticového součinu je to, že pomocí maticového součinu je možné vyjádřit zobrazení, kde na vstupu i na výstupu jsou vektorové veličiny. To umožní rozšířit fyzikální zákony na anizotropní látky (různé vlastnosti v různých směrech, například dřevo nebo obecně látky vykazující uspořádanou strukturu). Kromě fyzikálních veličin, které mají číselnou hodnotu (skaláry) nebo číselnou hodnotu a směr (vektory) tak získáváme další fyzikální veličiny, tenzory. Více viz níže a též podkapitola “Matice jako zobrazení v materiálovém inženýrství”.

Je-li druhá matice v součinu sloupcový vektor \(\vec u\), je výsledkem maticového součinu matice \(A\) a tohoto vektoru opět sloupcový vektor \(A\vec u\). Matici je tedy možné chápat jako zobrazení, kdy vektoru \(\vec u\) je přiřazen vektor \(\vec v\) vztahem \[\vec v = A\vec u.\] Tento vztah je možné chápat jako přímé rozšíření vztahu pro přímou úměrnost mezi veličinami. Zobecnění je v tom, že obě veličiny mezi nimiž je vztah úměrnosti jsou vektorovými veličinami a konstanta úměrnosti je matice. Ve fyzice tato matice mívá ještě některé speciální vlastnosti související například s tím, že fyzikální zákony nezávisí na volbě souřadné soustavy a proto se takové matice nazývají tenzory (přesněji tenzory druhého řádu). Používáme je pro popis zobrazení mezi vektory, které nezachovává směr vektoru. Například studium transportních dějů v anizotropních materiálech (tj. například vedení tepla ve dřevě nebo difuze ve dřevě).

Aplikace maticového součinu 2/3

https://youtu.be/4jqBoskZ9Ak

Aplikace maticového součinu 3/3: matice jako zobrazení, tenzory

https://youtu.be/7NH8p323zxo

Nyní se na zobrazení pomocí matice podíváme očima geometra a poté očima materiálového inženýra. Matici budeme chápat jako objekt, který je možné vynásobit s vekorem a získat jiný vektor. V určitém smyslu jde tedy o zobrazení, kdy vzory i obrazy jsou vektory.

Matice jako zobrazení v geometrii

manimp:MatrixMultiplication|Nejdůležitější rolí matic v materiálovém inženýrství je jejich schopnost jistým způsobem transformovat vektory (body) prostoru. Přesněji, zobrazení zachovává rovnoběžnost a dělící poměr. Rovnoměrně rozmístěná mřížka se zobrazí zase na rovnoměrně rozmístěnou mřížku. (První část prezentace).

Je-li \(A\) čtvercová matice, můžeme každému vektoru \(\vec q\) přiřadit vektor \(Y=A\vec q\) a tím definovat zobrazení \(n\)-rozměrného prostoru do sebe. Dá se ukázat, že takto dostaneme všechna zobrazení, která zobrazují úsečky na úsečky, počátek nechávají v počátku a jsou pěkná v tom smyslu, že zachovávají středy úseček, rovnoběžnost a lineární kombinaci vektorů. Ukázka zobrazení ve 2D.

Podobně je možné definovat i zobrazení mezi prostory jiných dimenzí. Například projekce 3D objektu do 2D. Protože zobrazení zachovává rovnoběžnost, není možné takto jednoduše obdržet například perspektivu. Protože se zachovává počátek, není možné zahrnout ani posunutí. V obou případech si pomáháme trikem, že přidáme další souřadnici, více viz Wikipedie a heslo Grafické transformace nebo Camera matrix.

Například matice \[R_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \] zobrazí vektory \(e_1=(1,0)\) a \(e_2=(0,1)\) na \[\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \] a \[\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}. \] Proto matice \(R_\theta\) definuje zobrazení, které pootočí rovinu o úhel \(\theta\) a nazývá se matice rotace. Matice malých rotací je (použitím lineární aproximace \(\sin\theta\approx \theta\) a \(\cos \theta\approx 1\) v okolí nuly) \[R_{\theta,0}= \begin{pmatrix} 1 & - \theta\\ \theta & 1 \end{pmatrix}. \] Tuto matici budeme potřebovat při studiu deformace při odvození matematického popisu malých deformací.

Matice jako zobrazení v materiálovém inženýrství

Matice chápejme jako zobrazení, které má na vstupu vektor a na výstupu opět vektor. Vstupem bývá většinou podnět, kde rozhodující je nejenom síla podnětu, ale i jeho směr. Například nerovnováha tlaku. Výstupem bývá odezva, například proudění vyvolané nerovnováhou tlaku. Tato odezva v izotropním prostředí má směr podnětu, v prostředí s určitou strukturou by se však směr odezvy mohl odchýlit.

Užitečnost maticového součinu v materiálovém inženýrství si můžeme znázornit na proudění vody po povrchu země. Voda teče z kopce dolů, tento směr však můžeme ovlivnit vyoráním brázd. Hnací síla je gravitace, která směřuje z kopce dolů. Odezvou na gravitaci je tok vody, který směřuje velkou rychlostí dolů, pokud je pooráno po spádnici, malou rychlostí dolů, pokud je pooráno po vrstevnici a pokud je pooráno našikmo, tak něco mezi směrem dolů a směrem brázdy. V materiálu se může odehrávat totéž.

Výše popsané chování pozorujeme i u proudění podzemní vody, kde hnací silou kromě hladiny podzemní vody může být tlak, nebo u proudění vody ve dřevě, kde hnací silou definující pojem “z kopce dolů” je nerovnoměrnost v rozložení koncentrace vody ve dřevě (jedna část dřeva má větší vlhkost než jiná část) nebo nerovnoměrnost v teplotě (termodifuze, Sorettův efekt, transport vlhkosti vyvolaný rozdílem teplot). Výsledné proudění však nemusí přesně sledovat pokles koncentrace vlhkosti. Například dřevo vede podélně vlhkost zpravidla více než desetkrát lépe než v jiných směrech a chová se tedy, jako by v něm byly brázdy odklánějící vodu do podélného směru.

Matematický prostředek, který umožňuje snadno vektoru změnit velikost nebo i směr je právě tenzor (matice) a maticový součin.

Poznámka (tenzor).

Pod pojmem tenzor si můžeme představit veličinu, která figuruje v nějakém fyzikálním zákoně spojujícím dvě vektorové veličiny (podnět a odezvu na podnět) a násobení tenzorem definuje vztah mezi nimi. Pokud jsou podnětem a odezvou vektory, které mají stejný směr, stačí toto násobení provést pomocí skalární veličiny. Pokud však směr vektoru udávajícího odezvu není stejný jako směr vektoru udávajícího podnět, je nutné použít postup, který si s jiným směrem vektoru na vstupu a na výstupu poradí. A tímto postupem je právě maticový součin. Zatímco tedy například tok tepla v izotropních materiálech můžeme studovat pomocí skalárních materiálových charakteristik, tok tepla v anizotropních materiálech už musíme popisovat pomocí tenzorových materiálových charakteristik. Proto například u vedení tepla ve dřevě udáváme součinitele vedení tepla \(\lambda_L\), \(\lambda_R\) a \(\lambda_T\) pro každý anatomický směr samostatně a z těchto veličin poté sestavujeme tenzor tepelné vodivosti \[\begin{pmatrix}\lambda_L &0&0 \cr 0&\lambda_R&0\cr 0&0&\lambda_T\end{pmatrix}.\]

Vlastní čísla a vlastní vektory

https://youtu.be/-vYq_TzC6jo

U zobrazování vektorů pomocí maticového násobení nás velice zajímá, které směry se zachovávají, tj. kdy bude obrazem vektoru jeho násobek.

Definice (vlastní vektor a vlastní hodnota matice).

Řekneme, že nenulový vektor \(\vec u\) je vlastním vektorem matice \(A\) příslušným vlastní hodnotě \(\lambda\), jestliže platí \[A \vec u=\lambda \vec u.\]

Vlastní čísla se nazývají též vlastní hodnoty matice. Každý nenulový vlastní násobek vlastního vektoru je vlastní vektor příslušný téže vlastní hodnotě.

Poznámka (vlastní vektory a materiálové inženýrství).

Vlastní vektory jsou nesmírně důležité, protože definují směry, podél nichž se zobrazení chová “pěkně”. Tímto zobrazením může být třeba to, jak se působení vnější síly na těleso projeví na deformaci tohoto tělesa nebo jak se gradient teploty nebo vlhkosti projeví na proudění tepla či vody ve dřevě, půdě nebo jiném materiálu. Často se v aplikacích maticové zobrazení objevuje v konstitučních vztazích, vztazích mezi podnětem a materiálovou odezvou. Vlastní směry jsou tedy směry, ve kterých má odezva stejný směr jako podnět.

Pro pravidelně rostlé dřevo je snadné tyto směry určit, jsou to anatomické směry dřeva. Pro zkroucené dřevo nebo při studiu proudění vody, vzduchu či ropy v půdě to již tak snadné není a je nutné tyto směry vypočítat. To se naučíme později.

manim:Eigenvectors|vfzT25D6Zz8|Vlastní směry z hlediska materiálového inženýrství pro ortotropní materiály.

Příklad. Matice rotace nemá žádnou vlastní hodnotu (pokud tedy uvažujeme vlastní hodnoty v množině reálných čísel), protože pootočením se změní směr všech vektorů. Vlastní hodnoty existují pouze pro otočení o násobky \(180^\circ\).

Příklad. Matice \(\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) (trojnásobek jednotkové matice) zobrazuje každý vektor na trojnásobek a všechny vektory jsou vlastními vektory této matice. Příslušná vlastní hodnota je \(3\).

Příklad. Matice \(\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) má vlastní vektor \((1,0)\) příslušný vlastní hodnotě \(3\) a vlastní vektor \((0,1)\) příslušný vlastní hodnotě \(0\). Protože vlastními vektory jsou i nenulové násobky, je vlastním vektorem každý nenulový vektor, který má nulovou druhou komponentu (vlastní hodnota je \(3\)) nebo první komponentu (vlastní hodnota je \(0\)).

Příklad. Platí \(\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}\) a matice \(\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 4 \end{pmatrix}\) má vlastní vektor \((2,1)\) příslušný vlastní hodnotě \(2\), protože vektor \((4,2)\) je dvojnásobkem vektoru \((2,1)\). Vlastním vektorem je i každý nenulový násobek vektoru \((2,1)\).

Zda umíte použít součin matice a vektoru k ověření toho, zda je vektor vlastním vektorem a k nalezení vlastního čísla si můžete vyzkoušet online.

ww2:problems/vlastni_cisla/01.pg

ww2:problems/vlastni_cisla/02.pg

manimp:PumpkinTransform|Popis transformace je jednodušší, pokud jsou osy současně i vlastními směry této transformace.

Příklad. Stacionární stav Markovova řetězce je vlastním vektorem matice, která tento řetězec reprezentuje. Příslušná vlastní hodnota je \(1\). To plyne hned z rovnosti \[M\vec q=\vec q.\] Kromě toho mohou existovat i další vlastní hodnoty, z praktického hlediska méně zajímavé.

Příklad. Vlastní hodnoty a vektory jsou jedním z hlavních stavebních kamenů algoritmu, kterým Google provádí hodnocení důležitosti webových stránek. Vlastní vektory se počítají iteračně, odpovídá to vlastně modelu, kdy Markovův řetězec začneme v libovolném výchozím stavu a postupným iterováním se dostaneme do stacionárního stavu reprezentovaného vlastním vektorem.

Příklad. Leslieho matice má jednu kladnou vlastní hodnotu. Příslušný vlastní vektor definuje rozložení četnosti zastoupení jednotlivých věkových kategorií u populace ve stacionárním stavu. (Toto není tvrzení patrné na první pohled, ale dá se dokázat.)

V aplikacích často bývá matice “symetrická podle diagonály” a u takové matice vlastní vektory vždy existují. Co se přesně myslí pod pojmem “symetrická matice” si uvedeme na následujícím slidu.

Transponovaná matice

https://youtu.be/Toqwz-Oxg-4

Definice (transponovaná matice).

Buď \(A=(a_{ij})\in\mathbb R^{m\times n}\) matice. Matice, která vznikne záměnou řádků matice \(A\) za sloupce se nazývá matice transponovaná k matici \(A\). Matici transponovanou označujeme symbolem \(A^T\). Platí tedy \(A^T\in\mathbb R^{n\times m}\) a \[ A^T=(a_{ji}), \] kde \(a_{ij}\) jsou prvky matice \(A\).

Příklad. Matice transponovaná k matici \(A= \begin{pmatrix} 1& -2& 3\\ 0& 1 &3\\ 2& 1 &9 \end{pmatrix}\) je \(A^T=\begin{pmatrix} 1& 0 &2 \\ -2& 1& 1\\ 3 &3 &9 \end{pmatrix}.\)

Příklad. Skalární součin sloupcových vektorů (chápaných jako matice) \(u= \begin{pmatrix} 1\\-2\\ a \end{pmatrix}\) a \(v= \begin{pmatrix} 2\\-4\\ 1 \end{pmatrix}\) je možno zapsat jako maticový součin \[u^T v= \begin{pmatrix} 1& -2 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\-4\\ 1 \end{pmatrix} =(a+10).\]

Příklad. Matice, která se nemění transponováním, tj. \(a_{ij}=a_{ji}\) se nazývá symetrická. Matice, která splňuje \(a_{ij}=-a_{ji}\) se nazývá antisymetrická. Pro libovolnou čtvercovou matici \(A\) platí \[A=\frac{A+A^T}2+\frac{A-A^T}2.\] První matice v tomto součtu je symetrická a druhá antisymetrická. Takto je možné rozložit matici na součet symetrické a antisymetrické matice. Například matice \[A= \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] má tento rozklad ve tvaru \[A= \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}. \] Tento trik použijeme pro odvození tvaru tenzoru malých deformací, ze zobrazení takto totiž dokážeme odfiltrovat část související s pootočením a část, která s pootočením nesouvisí. Ta druhá nás zajímá, protože popisuje deformaci.

Věta (souvislost transponování matice a maticového součinu).

Pro čtvercové matice platí \[(AB)^T=B^T A^T.\]

Příklad. Pro Markovův řetězec s maticí a sloupcovými vektory \(\vec q\) dostaneme transponováním vztahu \[\vec q_{k+1}=A\vec q_k\] vztah \[\vec q^T_{k+1}=\vec q^T_k A^T\] s řádkovými vektory a maticí, která má součet čísel v každém řádku roven 1. Takto jsou Markovovy řetězce také často zaváděny, například na Wikipedii.

Tenzor malých deformací

https://youtu.be/5AMXMQyx3jw

Zobrazení roviny do sebe, které může odpovídat deformaci tělesa působením síly, je možné popsat dvojicí funkcí \(u_1(x_1,x_2)\), \(u_2(x_1,x_2)\). Lineární aproximace těchto funkcí v okolí bodu \((x_1,x_2)\) dávají (viz závěr prezentace z přednášky věnované derivací, kdy ještě vpravo pro stručnost vynecháváme argument \((x_1,x_2)\)) \[\begin{aligned} u_{1}(x_{1}+\Delta x_{1}, x_{2}+\Delta x_{2})&\approx u_{1}+\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}\Delta x_{2},\\ u_{2}(x_{1}+\Delta x_{1}, x_{2}+\Delta x_{2})&\approx u_{2}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}\Delta x_{2}, \end{aligned} \] což je možné zapsat maticově jako \[ \begin{pmatrix} u_1 (x_{1}+\Delta x_{1}, x_{2}+\Delta x_{2}) \\ u_2 (x_{1}+\Delta x_{1}, x_{2}+\Delta x_{2}) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}\\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix}. \] Člen \(\begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix}\) je posunutí, proto nás zajímá až druhý člen, obsahující deformaci. Pokud matici \[D= \begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}\\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} \] rozdělíme stejným obratem jako na předešlém slidu na součet symetrické a antisymetrické matice, dostaneme \[D= \overbrace{\begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)\\ \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)& \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} }^{D_{\text{sym}}} + \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 & \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)\\ - \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)& 0 \end{pmatrix}}_{D_{\text{asym}}}.\] Druhá část reprezentuje pootočení, což snadno nahlédneme, pokud tuto informaci sečteme s identitou reprezentovanou jednotkovou maticí na \[ D_{\text{asym}}+I=\begin{pmatrix} 1 & \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)\\ - \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)& 1 \end{pmatrix} \] abychom měli celou část zobrazení (ne jenom deformaci). Porovnáním s maticí malých rotací \[R_{\theta,0}= \begin{pmatrix} 1 & - \theta\\ \theta & 1 \end{pmatrix} \] odvozenou na jednom z předchozích slidů získáme přímo pootočení. V teorii deformace nás zajímá spíše symetrická část, tj. matice \[ D_{\text{sym}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)\\ \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)& \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} \] popisující změnu tvaru a nazývaná tenzor malých deformací. Ten se ještě někdy rozděluje na součet vhodného konstantního násobku jednotkové matice (souvisí se zvětšením nebo zmenšením, tj. se změnou objemu) a deviátor (souvisí se zmenou tvaru bez započtení zvětšení či zmenšení).

Pro využití v dřevařských úlohách viz též A. Požgaj, Štruktúra a vlastnosti dreva str 318 nebo P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, str. 40. Analogicky, ale pro rychlosti, je definován tenzor rychlosti přetvoření (deformační rychlost) používaný v hydrodynamice. Můžeme ji dostat jako derivaci tenzoru malých deformací (při studiu deformací), nebo jako symetrickou část matice vytvořené gradienty jednotlivých komponent rychlosti proudění. Pro proudění vody viz J. Říha, Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jevů, kap. 3.3.

Obrázky a online výpočty, Sage.

Rozložení teploty na tepelně vodivé desce

https://youtu.be/xV46lYgdHSQ

Shrnutí, hlavní myšlenky

• Seznámili jsme se s vektory. S objekty, které umožňují pracovat s veličinami mající kromě numerické hodnoty i směr.
• Seznámili jsme se s maticemi, s objekty, které umožní pracovat se zobrazením vektorů na vektory, kdy směr vzoru a obrazu nemusí být (na rozdíl od násobení reálným číslem) stejný. Díky tomu dokážeme popsat reakci materiálu na podněty v případě, kdy má materiál v různých směrech různé vlastnosti.
• Matice umožňují kompaktní zápis soustavy libovolného počtu lineárních rovnic jedinou rovnicí \[AX=B.\]
• V materiálovém inženýrství pomocí matic (přesněji pomocí tenzorů) umíme popsat materiály, mající v různých směrech různé vlastnosti. V takových materiálech je různý směr vnějšího podnětu a odezvy na vnější podnět a bez matic jenom s použitím skalárních veličin není možné se závislostmi takového typu pracovat. Pokud chceme zobrazení, které mění směr vektorů (a má některé další rozumné vlastnosti), používáme matice. Přesněji, používáme tenzory, které mají v souřadnicích podobu matic.