Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


zaklady_vyssi_matematiky_integral.md

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

zaklady_vyssi_matematiky_integral.md [2013/11/25 18:18]
marik
zaklady_vyssi_matematiky_integral.md [2020/03/06 10:47] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
-1. Délka dne (tj. délka části astronomického dne, kdy je světlo) se během roku mění - v létě je den delší než v zimě. Předpokládejme, že délka dne je přibližně dána funkcí  +Následující příklady se týkají přepočtu rychlosti změny na celkovou změnu a je možné je řešit neučitým integrálem nebo určitým integrálem.  
-$f(x= 12 + 4 \sin \frac{2\pi x}{365}$, kde $x$ je pořadové číslo dne během rokuNajděte průměrnou délku dne za první polovinu roku, tj. určete střední hodnotu funkce $f(x)$ na intervalu $[0,182]$.  + 
-  * Návod: $\int \sin (kx)\,\mathrm{d}x=-\frac 1k\cos(kx)+C$ + 
-  * Výsledek: cca $14.5hodiny +1. Nechť $W(t)$ označuje počet slovkteré si začátečník osvojí při učení se slovíček do francouzštinyTypicky může být $W(0)=0$$W'(t)=4\left(\frac{t}{100}\right)-3\left ( \frac t{100}\right)^2.$$ Kolik slov se student naučí za hodinu a 40 minut? 
-  * [výpočet](http://user.mendelu.cz/marik/yamwi/index.php?in=1%2F180%2Aintegrate%2812%2B4%2Asin%282%2A%25pi%2Ax%2F365%29%2C%20x%2C%200%2C%20180%29%2Cnumer%3B),  +  * [výpočet](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrsS1LLNJQL1HX5OUKLyjKzE21NdEq0Tc0MNA11tIAMzTjjHi5ilKLS3NKbDPzSlLTixJLUjUginU0SnQMdECKgPp5uYoz8ss1MkpyczSUVFRiYoCqFeIN4qqB8rUK4eoaJZoKKSW2qsUqKkqqEANB2gC6niVK&lang=sage) 
-  * [zdroj](http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math103/site2012/keshet.notes/Chapter4.pdf+1. Jakmile se cizí látka dostane do krve, začnou se tvořit protilátky rychlostí $r(t)=\frac{t}{t^2+1}$ jednotek za minutu. Kolik protilátek bude v krvi po čtyřech minutáchpokud na začátku nebyly v krvi protilátky žádné? *(podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)* 
-1. Teplota šálku čaje se mění rychlostí $f(x)=8e^{-0.2x}\,{}^\circ C/\mathrm{min}$, kde $x$ je čas v minutách. Velikost změny mezi první a pátou minutou je dána integrálem z této funkce na intervalu od $x=1$ do $x=5$. Najděte velikost této změny. +1. Rozloha lesního požáru v čase $t=0$ je 2000 akrů. Rychlost s jakou hoří les je $8\sqrt{t}$ akrů za hodinu. Kolik akrů lesa bude zasaženo požárem za 24 hodin?  *(podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)* 
 +1Z nádrže obsahující 1000 litrů vody pumpujeme vodu rychlostí $5-5e^{-0.12t}$ litrů za minutuKolik vody bude nádrž obsahovat po jedné hodině?  *(podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)* 
 +1. Společnost produkuje odpadky klesající rychlostí $W=3.75e^{-0.008t}$ tun za týden, kde $t$ je čas měřený v týdnech od 1. ledna 2005. Likvidace tuny odpadu stojí 15 dolarů. Kolik společnost zaplatí za likvidaci odpadů za rok 2015?  *(podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)
 + 
 + 
 +Následující příklady souvisí s dalším významem určitého integrálu.  
 + 
 +1. Teplota šálku čaje se mění rychlostí $$f(x)=8e^{-0.2x}\,{}^\circ C/\mathrm{min},$$ kde $x$ je čas v minutách. Velikost změny mezi první a pátou minutou je dána integrálem z této funkce na intervalu od $x=1$ do $x=5$. Najděte velikost této změny. 
   *  [výpočet](http://user.mendelu.cz/marik/yamwi/index.php?in=integrate%288%2Aexp%28-0.2%2Ax%29%2C%20x%2C%201%2C%205%29%2Cnumer%3B),    *  [výpočet](http://user.mendelu.cz/marik/yamwi/index.php?in=integrate%288%2Aexp%28-0.2%2Ax%29%2C%20x%2C%201%2C%205%29%2Cnumer%3B), 
   *  [zdroj](http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math103/site2012/keshet.notes/Chapter4.pdf)   *  [zdroj](http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math103/site2012/keshet.notes/Chapter4.pdf)
-1. Olej vytéká z nádrže rychlostí $f(x)=4000 e^{-0.3x}\, \mathrm{litr}/\mathrm{den}$. Kolik oleje vyteče za prvních pět dnů a kolik za druhých pět dnů. +1. Olej vytéká z nádrže rychlostí $$f(x)=4000 e^{-0.3x}\, \mathrm{litr}/\mathrm{den}.$$ Kolik oleje vyteče za prvních pět dnů a kolik za druhých pět dnů. 
   * Návod.: Integrujte funkci na intervalech $[0,5]$ a $[5,10]$.    * Návod.: Integrujte funkci na intervalech $[0,5]$ a $[5,10]$. 
   * [výpočet](http://user.mendelu.cz/marik/yamwi/index.php?in=integrate%284000%2Aexp%28-0.3%2Ax%29%2C%20x%2C%200%2C%205%29%2Cnumer%3B%0D%0Aintegrate%284000%2Aexp%28-0.3%2Ax%29%2C%20x%2C%205%2C%2010%29%2Cnumer%3B)   * [výpočet](http://user.mendelu.cz/marik/yamwi/index.php?in=integrate%284000%2Aexp%28-0.3%2Ax%29%2C%20x%2C%200%2C%205%29%2Cnumer%3B%0D%0Aintegrate%284000%2Aexp%28-0.3%2Ax%29%2C%20x%2C%205%2C%2010%29%2Cnumer%3B)
 +1. Délka dne (tj. délka části astronomického dne, kdy je světlo) se během roku mění - v létě je den delší než v zimě. Předpokládejme, že délka dne je přibližně dána funkcí  
 +$$f(x) = 12 + 4 \sin \frac{2\pi x}{365},$$ kde $x$ je pořadové číslo dne během roku. Najděte průměrnou délku dne za první polovinu roku, tj. určete střední hodnotu funkce $f(x)$ na intervalu $[0,182]$.  
 +  * Návod: $\int \sin (kx)\,\mathrm{d}x=-\frac 1k\cos(kx)+C$.  
 +  * Výsledek: cca $14.55$ hodiny 
 +  * [výpočet](http://user.mendelu.cz/marik/yamwi/index.php?in=1%2F182%2Aintegrate%2812%2B4%2Asin%282%2A%25pi%2Ax%2F365%29%2C%20x%2C%200%2C%20182%29%2Cnumer%3B),  
 +  * [zdroj](http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math103/site2012/keshet.notes/Chapter4.pdf)
  
  
zaklady_vyssi_matematiky_integral.md.1385399897.txt.gz · Poslední úprava: 2013/11/25 18:18 autor: marik

Nástroje pro stránku