Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


Sidebar

zaklady_vyssi_matematiky_integral.md

Následující příklady se týkají přepočtu rychlosti změny na celkovou změnu a je možné je řešit neučitým integrálem nebo určitým integrálem.

  1. Nechť $W(t)$ označuje počet slov, které si začátečník osvojí při učení se slovíček do francouzštiny. Typicky může být $W(0)=0$ a $$W'(t)=4\left(\frac{t}{100}\right)-3\left ( \frac t{100}\right)^2.$$ Kolik slov se student naučí za hodinu a 40 minut?
  2. Jakmile se cizí látka dostane do krve, začnou se tvořit protilátky rychlostí $r(t)=\frac{t}{t^2+1}$ jednotek za minutu. Kolik protilátek bude v krvi po čtyřech minutách, pokud na začátku nebyly v krvi protilátky žádné? (podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)
  3. Rozloha lesního požáru v čase $t=0$ je 2000 akrů. Rychlost s jakou hoří les je $8\sqrt{t}$ akrů za hodinu. Kolik akrů lesa bude zasaženo požárem za 24 hodin? (podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)
  4. Z nádrže obsahující 1000 litrů vody pumpujeme vodu rychlostí $5-5e^{-0.12t}$ litrů za minutu. Kolik vody bude nádrž obsahovat po jedné hodině? (podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)
  5. Společnost produkuje odpadky klesající rychlostí $W=3.75e^{-0.008t}$ tun za týden, kde $t$ je čas měřený v týdnech od 1. ledna 2005. Likvidace tuny odpadu stojí 15 dolarů. Kolik společnost zaplatí za likvidaci odpadů za rok 2015? (podle Applied Calculus, Hughes-Hallet et al.)

Následující příklady souvisí s dalším významem určitého integrálu.

  1. Teplota šálku čaje se mění rychlostí $$f(x)=8e^{-0.2x}\,{}^\circ C/\mathrm{min},$$ kde $x$ je čas v minutách. Velikost změny mezi první a pátou minutou je dána integrálem z této funkce na intervalu od $x=1$ do $x=5$. Najděte velikost této změny.
  2. Olej vytéká z nádrže rychlostí $$f(x)=4000 e^{-0.3x}\, \mathrm{litr}/\mathrm{den}.$$ Kolik oleje vyteče za prvních pět dnů a kolik za druhých pět dnů.
    • Návod.: Integrujte funkci na intervalech $[0,5]$ a $[5,10]$.
    • výpočet
  3. Délka dne (tj. délka části astronomického dne, kdy je světlo) se během roku mění - v létě je den delší než v zimě. Předpokládejme, že délka dne je přibližně dána funkcí $$f(x) = 12 + 4 \sin \frac{2\pi x}{365},$$ kde $x$ je pořadové číslo dne během roku. Najděte průměrnou délku dne za první polovinu roku, tj. určete střední hodnotu funkce $f(x)$ na intervalu $[0,182]$.
    • Návod: $\int \sin (kx)\,\mathrm{d}x=-\frac 1k\cos(kx)+C$.
    • Výsledek: cca $14.55$ hodiny
    • výpočet,
    • zdroj
zaklady_vyssi_matematiky_integral.md.txt · Poslední úprava: 2020/03/06 10:47 (upraveno mimo DokuWiki)