Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


vzor-sir

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

vzor-sir [2020/05/17 07:57] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<markdown>
 +
 +## Studovaný model
 +
 +V souvislosti s epidemií, která uzavřela vysoké školy, jsem studoval model šíření epidemie, nazývaný v literatuře SIR. Jedná se o model ve tvaru
 +$$  \begin{aligned}
 +    \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}&=-\alpha SI,\\\\
 +    \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=\alpha SI-\beta I,\\\\
 +    \frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}&=\beta I
 +  \end{aligned}
 +$$
 +kde $S$ označuje velikost populace náchylné k nákaze, $I$ označuje velikost populace infikovaných, kteří nemoc šíří a $R$ zbytek populace. Jedná se o zjednodušený model nepočítající s bezpříznakovými jedinci a s jedinci v iknubační době.
 +
 +
 +Matematickým rozborem je možno ukázat, že hodnota $R_\infty$, ke které konverguje veličina $R$, tj. vlastně rozsah epidemie, je řešením rovnice
 +$$N-R_\infty=S_0e^{-\frac\alpha\beta R_\infty}.$$
 +
 +## Newtonova metoda
 +
 +Rovnici pro rozsah epidemie se pokusíme řešit Newtonovou metodou. Namísto $R_\infty$ pro pohodlí dosadíme proměnnou $x$ a rovnice má tvar
 +$$N-x=S_0e^{-\frac\alpha\beta x}.$$
 +Pro Newtonovu metodu musíme rovnici přepsat do tvaru
 +$$x+S_0e^{-\frac\alpha\beta x}-N=0.$$
 +a levá strana definuje funkci $${f(x)=x+S_0e^{-\frac\alpha\beta x}-N}.$$
 +Newtonova metoda je iterační metoda založená na vzorci $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$
 +V našem případě derivací funkce $f(x)$ dostáváme $${f'(x)=1-S_0\frac \alpha \beta e^{-\frac \alpha \beta x}}$$
 +a iterační vzorec má tvar 
 +$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n+S_0e^{-\frac\alpha\beta x}-N}{1-S_0\frac \alpha \beta e^{-\frac \alpha \beta x}}.$$
 +
 +## Numerický výpočet
 +
 +Do odvozeného iteračního vzorce jsem dosadil hodnoty ze simulace, tj. $N=1$, $S_0=0.96$, $\alpha=0.1$, $\beta=0.05$. Jako počáteční odhad jsem použil $x_0=0.5$ a iterace jsem provedl v [Pythonu](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxtjU0KwyAQRveCdxjIRlPMTyENLeQwxtjGJtVgDJievmpoV53FwMz35g2fl5F3VVFDBkI6bVYHk9GOT26DFTSf-Fvq_aUw6qWLZNUE1O5inCNrBtkry7X6oWKEpxyUFhtGPvANRhlPX1Ivz2H-qtoQ3o0FBUpDsDwkaekNIwjlO-IZqZlnVXG95NIvhCVD7st4T2lJWH1K4WGO238cPYSLVdoB8fQDCh9KKA==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) a [Excelu](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/sir.xls). Jednotlivé iterace jsou v tabulce.
 +
 +~~~~
 +x0=0.5
 +x1=1.00000000000000
 +x2=0.824466967857999
 +x3=0.810150990663508
 +x4=0.810027828045042
 +x5=0.810027818751616
 +x6=0.810027818751616
 +x7=0.810027818751616
 +~~~~
 +
 +Odsud je možno vidět, že rozsah epidemie je 0.81, tj. v průbehu epidemie onemocnělo 81 procent lidí. 
 +
 +## Numerický výpočet pro modifikovaný parametr $\alpha$
 +
 +Dále jsem se pokusil posoudit vliv jednoho z parametrů. Vybral jsem si parametr $\alpha $ a pokusil se ho zmenšit na polovinu. Snížením parametru $\alpha$ se v modelu sníží rychlost s jakou se náchylní stávají infikovanými. To v reálu může znamenat, že lidé s začnou dodržovat pravidla sociálního distancování a očekávám, že rozsah epidemie bude nižší. Ostatní parametry modelu jsem ponechal stejné, abychom mohli výstupy srovnávat mezi sebou. Iterace jsem opět zahájil s počátečním odhadem $x_0=0.5$ a obdržel následující.
 +
 +~~~~
 +x0=0.5
 +x1=0.303056228375160
 +x2=0.261571258457883
 +x3=0.259200584420934
 +x4=0.259192565854456
 +x5=0.259192565762571
 +x6=0.259192565762571
 +x7=0.259192565762571
 +~~~~
 +
 +## Závěr
 +
 +Vidím, že rozsah epidemie se pro menší parametr $\alpha$ opravdu sníží, což je v souladu s mým očekáváním. 
 +
 +</markdown>
 +
 +
  
vzor-sir.txt · Poslední úprava: 2020/05/17 07:57 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku