Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


vyssi_matematika_zapocet

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

vyssi_matematika_zapocet [2020/03/05 07:36] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<markdown>
 +
 +Vyšší matematika, kombinovaná forma
 +===================================
 +
 +Ukázky otázek pro zápočtový test na oboru dřevařství, kombinovaná forma, předmět [Vyšší matematika](?id=inzenyrska_matematika). 
 +
 +**<span style="color:red;">Dokument je v rozpracované
 +verzi. V prvním zápočtovém testu se objeví otázky z kapitoly Diferenciální počet funkcí dvou proměnných a otázky 1 až 8 z kapitoly Diferenciální rovnice. Určitě se zde objeví jedna otázka ze skupiny 2a až 2n. Ve druhém zápočtovém testu zbytek.</span>**
 +
 +
 +## Diferenciální počet funkcí dvou proměnných
 +
 +
 +1. Definujte pojem _graf_ funkce dvou proměnných
 +1. Definujte pojem _vrstevnice_ funkce dvou proměnných
 +1. Napište definici a geometrický nebo praktický význam _parciální
 +  derivace_ funkce dvou proměnných
 +1. Funkce dvou proměnných $z(x,y)$ má parciální derivaci podle $x$ v
 +  bodě $(3,4)$ rovnu $2$. Jak je možné interpretovat tuto skutečnost
 +  geometricky? O směrnici jaké přímky se jedná?  
 +1. Funkce dvou proměnných $z(x,y)$ má parciální derivaci podle $x$ v
 +  bodě $(3,4)$ rovnu $2$. Jak je možné interpretovat tuto skutečnost prakticky v
 +  pojmech jako jsou rychlost změny veličiny $x$, rychlost změny
 +  veličiny $y$ a rychlost změny veličiny $z$?  
 +1. Napište, jak je možno aproximovat obecnou funkci $z=f(x,y)$ lineární
 +  funkcí.
 +1. Funkce $z=f(x,y)$ splňuje $z(2,1)=4$, $z'\_x(2,1)=-3$, $z'\_{y}(2,1)=2$.
 +  Napište rovnici _tečné roviny_ ke grafu funkce $z=f(x,y)$ v bodě $(2,1)$.
 +1. Funkce $z=f(x,y)$ splňuje $z(2,1)=4$, $z'\_x(2,1)=-3$, $z'\_{y}(2,1)=2$.
 +  Aproximujte v okolí bodu $(2,1)$ funkci $f(x,y)$ lineární funkcí.
 +1. Zformulujte Weierstrassovu větu.
 +1. Napište definici _lokálního extrému_ funkce dvou proměnných,
 +_absolutního extrému_ funkce dvou proměnných a _vázaného extrému_
 +funkce dvou proměnných. Pro konkrétnost stačí například definice
 +maxima. Vysvětlete rozdíly mezi těmito druhy extrémů.
 +1. Vysvětlete stručně a jasně postup při hledání lokálních (vázaných, absolutních) extrémů funkce dvou proměnných.
 +1. Vysvětlete, jak souvisí _stacionární body_ funkce dvou proměnných a
 +  _lokální extrémy_ funkce dvou proměnných. Zformulujte Fermatovu větu.
 +1. Uveďte příklad funkce dvou proměnných, která má lokální extrém v
 +  bodě, v němž jsou obě parciální derivace nulové (obě parciální rovny
 +  jedné; ani jedna parciální derivace neexistuje; jedna parciální
 +  derivace neexistuje a druhá existuje apod.).
 +1. Funkce $z=f(x,y)$ má v bodě $(1,3)$ následující vlastnosti: spojité
 +  druhé derivace, $z'\_{x}=z'\_y=z''\_{xy}=0$ a
 +  $z''\_{xx}=z''\_{yy}=10$. Rozhodněte, zda má tato funkce v bodě
 +  $(1,3)$ lokální extrém a jaký. Odpověď zdůvodněte. 
 +1. Funkce $z=f(x,y)$ má v bodě $(1,3)$ následující vlastnosti: spojité
 +  druhé derivace, $z'\_{x}=z'\_y=z''\_{xy}=10$ a
 +  $z''\_{xx}=z''\_{yy}=0$. Rozhodněte, zda má tato funkce v bodě
 +  $(1,3)$ lokální extrém a jaký. Odpověď zdůvodněte. 
 +1. Jaká podmínka musí být splněna, aby předpis $F(x,y)=0$ v okolí bodu $(x_0,y_0)$ splňujícího $F(x_0,y_0)=0$ definoval korektně $y$ jako funkci proměnné $x$.
 +
 +
 +## Diferenciální rovnice
 +
 +1. Vysvětlete pojmy _diferenciální rovnice_, _počáteční podmínka_,
 +_obecné řešení_, _partikulární řešení_.
 +1. Sestavte diferenciální rovnici modelující určitý jev. Například    
 + 1. V nádrži je počáteční množství nečistot. Do nádrže teče
 + konstantní rychlostí čistá voda, mísí se se znečištěnou a
 + odtéká. Průtok na odtoku je stejný jako průtok na
 + přítoku. Sestavte diferenciální rovnici popisující vývoj množství
 + nečistot v čase.  
 + 1. Modifikujte předchozí model tak, že budete
 + předpokládat, že v přitékající vodě je přítomno konstantní
 + množství nečistot.
 + 1. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že na počátku je
 + voda v nádrži čistá. Je přirozené předpokládat, že znečištění vody
 + bude růst, nikoliv však neomezeně. Na jaké hodnotě se ustálí
 + množství nečistot v nádrži? Stanovte tuto hodnotu úvahou, bez
 + řešení diferenciální rovnice.
 + 1. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že nádrží je
 + jezero o objemu $1000\,\mathrm{m}^3$, průtok na přítoku a odtoku
 + je $2\,\mathrm{m^3}/\mathrm{hod}$, koncentrace nečistot na přítoku
 + je $3\,\mathrm{mg}/\mathrm{m}^3$. Vaším úkolem je zachránit život
 + v jezeře tak, že udržíte koncentraci nečistot pod hodnotou
 + $1\,\mathrm{mg}/\mathrm{m}^3$. Kolik máte času na zastavení
 + přísunu nečistot? Za jak dlouho se z původně čisté vody stane voda
 + s koncentrací znečištění dosahující $1\,\mathrm{mg}/\mathrm{m}^3$?
 +    _Návod_: Diferenciální rovnice $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a+by$ má obecné řešení $y=-\frac ab+Ce^{bx}$.
 + 1. Do těla pacienta je konstantní rychlostí dodáván lék pomocí
 + infuze, tělo pacienta odbourává lék rychlostí, která je úměrná
 + koncentraci léku v krvi. Sestavte diferenciální rovnici popisující
 + koncentraci léku v krvi pacienta.
 + 1. Podobně jako léky jsou v krvi odbourávány drogy nebo
 + alkohol. Modifikujte předchozí případ pro situaci, kdy se nejedná
 + o lék, ale o drogu. Pacient má v krvi určité počáteční množství
 + drogy, ta již není dál dodávána a je pouze odbourávána rychlostí
 + úměrnou koncentraci drogy v krvi.
 + 1. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost,
 + s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte
 + diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase.
 + 1. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr
 + roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině
 + poloměru. Sestavte diferenciální rovnici popisující tento proces a
 + vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru
 + olejové skvrny v čase?
 + 1. Pokud bude ropná skvrna z předchozího příkladu vhodným způsobem
 + chemicky ošetřena, bude se její poloměr rozšiřovat rychlostí
 + úměrnou výrazu $\frac{1}{r^2(2+t)}$, kde $r$ je poloměr skvrny a
 + $t$ je čas.  Sestavte diferenciální rovnici popisující tento
 + proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování
 + poloměru olejové skvrny v čase?
 + 1. Podle Newtonova zákona tepelné výměny je rychlost změny teploty
 + při tepelné výměně úměrná rozdílu teplot. Uvažujme horký nápoj
 + přinesený do chladné místnosti. Sestavte diferenciální rovnici
 + popisující chladnutí nápoje. Navrhněte, jak určit onu konstantu
 + úměrnosti udávající vztah mezi rozdílem teplot a rychlostí změny
 + teploty. _Návod:_ konstanta se bude zřejmě lišit pro různé
 + hrníčky. Kromě počáteční podmínky pomůže dodatečná informace,
 + například teplota nápoje po uplynutí určité doby.
 + 1. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost
 + tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem
 + tíhové síly a klesá přímo úměrně druhé mocnině rychlosti vlivem
 + odporové síly vzduchu. Výsledná změna rychlosti je součtem obou
 + faktorů (resp. rozdílem velikostí obou faktorů, které působí proti
 + sobě) . Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového
 + volného pádu.
 + 1. Při nižších rychlostech je odporová síla úměrná ne druhé, ale
 + první mocnině rychlosti. Modifikujte model z předchozího bodu pro
 + nižší rychlosti.
 + 1. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální
 + délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této
 + maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální
 + délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto
 + růst.
 + 1. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je
 + úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální
 + rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel.
 +1. Vysvětlete na příkladě, jak hledáme řešení počáteční úlohy, známe-li obecné řešení diferenciální rovnice. Najděte řešení počáteční úlohy $y'=xy^2$, $y(0)=-1$. Víme, že rovnice $y'=xy^2$ má obecné řešení $y=-\frac {2}{x^2+C}$.
 +1. Zapište obecný tvar diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.
 +1. Vysvětlete, jako poznáte, zda je diferenciální rovnice
 +  $y'=\varphi(x,y)$ diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými.
 +1. Rozhodněte, zda rovnice $y'=xy^2+x$ je rovnicí se separovanými proměnnými, nebo nikoliv. Pokud ano, odseparujte proměnné (integrovat nemusíte). Totéž řešte pro rovnice $y'+xy^2+y^2=0$, $y'+xy+y^2=0$ a $y'+xy+xy^2=0$.
 +1. Vysvětlete, jak hledáme _konstantní_ řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, tj. rovnice $y'=f(x)g(y)$. Najděte konstantní řešení rovnice $y'=(x^2+1)(y^2-1)$.
 +1. Napište vzorec pro  _obecné_ řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, tj. rovnice $y'=f(x)g(y)$.
 +1. Vysvětlete, co musí splňovat operátor, abychom mu říkali lineární operátor. Jaké vlastnosti musíme ověřit při dokazování linearity operátoru?
 +1. Zapište obecný tvar lineární diferenciální rovnice prvního řádu.
 +1. Vysvětlete, jako poznáte, zda je diferenciální rovnice
 +  $y'=\varphi(x,y)$ lineární diferenciální rovnicí prvního řádu.
 +1. Zapište obecný tvar lineární diferenciální rovnice druhého řádu.
 +1. Dokažte, že operátor z lineární diferenciální rovnice prvního řádu
 +  má opravdu vlastnosti linearity.
 +1. Vysvětlete, jak je možno linearitu diferenciální rovnice využít při
 +  řešení lineární diferenciální rovnice prvního (druhého) řádu.
 +1. Ukažte, jak postup z předchozího bodu vyplývá z vlastností
 +  linearity.
 +1. Napište diferenciální rovnici, jejímž obecným řešením je
 +  $y=\frac1{x+C}$.
 +1. Napište lineární diferenciální rovnici, jejímž obecným řešením je
 +  $y=\frac1{x+C}$.  
 +1. Napište lineární diferenciální rovnici, jejímž obecným řešením je
 +  $y=\frac1{x}+Cx$.  
 +1. Diferenciální rovnice $y'+2y=0$ má řešení $y=e^{-2x}$.
 + Diferenciální rovnice $y'+2y=x$ má řešení $y=\frac 12 x-\frac 14$.
 + Diferenciální rovnice $y'+2y=1$ má řešení $y=\frac 12$. Vysvětlete, jak z
 + těchto informací můžeme sestavit řešení diferenciální rovnice $y'+2y=3x-1$ a toto řešení nalezněte.
 +1. Sestavte charakteristickou rovnici pro diferenciální rovnici druhého řádu $y''+3y'+y=0$.
 +1. Sestavte a vyřešte charakteristickou rovnici pro diferenciální rovnici druhého řádu $y''+3y'-4y=0$.
 +1. Charakteristická rovnice homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu má kořeny $1\pm 2i$. Napište obecné řešení této rovnice.
 +1. Charakteristická rovnice homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu má kořeny $1$ a $-2$. Napište obecné řešení této rovnice.
 +1. Charakteristická rovnice homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu má dvojnásobný kořen $\sqrt{3}$. Napište obecné řešení této rovnice.
 +1. Popište, jakou strukturu má množina všech řešení *homogenní* lineární diferenciální rovnice druhého řádu. 
 +1. Popište, jakou strukturu má množina všech řešení *nehomogenní* lineární diferenciální rovnice druhého řádu. 
 +1. Jaký je rozdíl mezi formulací počátečních podmínek pro diferenciální rovnici prvního a diferenciální rovnici druhého řádu?
 +1. Co je to wronskián a k čemu slouží.
 +1. O jakých funkcích říkáme, že tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu a jak je možno tento systém využít k sestavení obecného řešení?
 +1. Rovnice $y''+4y=0$ má fundamentální systém řešení $y_1=\cos x$ a $y_2=\sin x$. Rovnice $y''+4y=1$ má řešení $y=\frac 14$.  Rovnice $y''+4y=\sin x$ má řešení $y=\frac 13 \sin x$. Napište řešení rovnice $y''+4y=1+\sin x$ a vysvětlete, jak toto řešení vznikne ze zadaných údajů. 
 +
 +## Integrální počet funkcí dvou proměnných
 +
 +1. Zapište, pro jaké množiny je možno použít Fubiniovu větu.
 +1. Napište předpoklady, za kterých je možno dvojný integrál zapsat jako
 +  součin dvou Riemannových integrálů. Napište i výsledný vzorec.
 +1. Dvojný integrál funkce $f(x,y)$ přes množinu ohraničenou zdola parabolou $y=x^2$ a shora přímkou $y=2$ zapište jako dvojnásobný.
 +1. Dvojný integrál funkce $f(x,y)$ přes množinu ohraničenou zdola parabolou $y=x^2$, shora přímkou $y=2$ a zleva osou $y$ zapište jako dvojnásobný.
 +1. Dvojný integrál funkce $f(x,y)$ přes obdélník umístěný levým dolním rohem v bodě $[0,0]$ a pravým horním rohem v bodě $[2,1]$ a se stranami rovnoběžnými se souřadnými osami zapište jako dvojnásobný.
 +
 +
 +</markdown>
  
vyssi_matematika_zapocet.txt · Poslední úprava: 2020/03/05 07:36 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku