Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


vlhkomer-reseni

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

vlhkomer-reseni [2020/03/30 08:21] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +# Problematika stanovení vlhkosti dřeva elektrickou cestou
 +
 +Zadání úloh je [zde](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=vlhkomer).
 +
 +##  Závislost elektrického odporu dřeva na vlhkosti
 +
 +V tabulce jsem si vybral javor (Maple, sugar), protože moje první kytara byla z javoru. Derivace elektrického odporu $R$ podle vlhkosti $w$ vyjadřuje změnu elektrického odporu při změně vlhkosti o jednotku. Pro aproximaci jsou použil centrální diferenci, protože je zpravidla přesnější. Výpočtem dostáváme
 +$$\frac{\mathrm dR}{\mathrm dw}(w=20)\approx\frac{1.45-3.02}{21-19}=-0.785 \,\mathrm{M\Omega}\,\mathrm{pct}^{-1}.$$
 +Derivace je záporná, protože elektrický odpor s rostoucí vlhkostí klesá. S každým procentem vlhkosti navíc klesne přibližně o $0.785$ megaohmu.
 +
 +##  Souvislost rychlosti změny kapacity a rychlosti změny napětí při stejném nabíjení kondenzátoru
 +
 +Souvislost napětí $U$ na kondenzátoru, náboje $Q$ kondenzátoru a kapacity $C$ kondenzátoru je $$U=\frac 1C Q.$$ Veličinami proměnnými v čase jsou kapacita $C$ a napětí $U$. Rychlost změny je derivace, tj. rychlost změny kapacity kondenzátoru je $\frac{\mathrm dC}{\mathrm dt}$. Související rychlost změny napětí $\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}$ při konstantním $Q$ je $$\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=
 +\frac{\mathrm dU}{\mathrm dC}\frac{\mathrm dC}{\mathrm dt}=
 +-\frac Q{C^2}\, \frac{\mathrm dC}{\mathrm dt}.$$
 +
 +##  Bez úkolu
 +
 +##  Výpočet napětí na kondenzátoru
 +
 +Plati $$\int e^{ax}\,\mathrm dx=\frac 1a e^{ax}$$
 +a $$\int_0^T e^{ax}\,\mathrm dx=\frac 1a (e^{aT}-1).$$
 +S využitím těchto vzorců a použitím $a=-\frac{1}{RC}$ dostáváme
 +$$U=\int_0^T \frac {U_0}{RC}e^{-\frac 1{RC}t}\,\mathrm dt=U_0\left(1-e^{-\frac T{RC}}\right).$$
 +Tento vztah udává velikost napětí, na kterou se nabije kondenzátor o kapacitě $C$ přes odpor velikosti $R$ za čas $T$.
 +
 +## Určení vlhkosti tisovce
 +
 +Studoval jsem model $$\begin{aligned}\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=-\frac 1{RC}I,\\\\
 +\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}&=\frac 1C I,
 +\end{aligned}$$
 + vyjadřující rychlost změny proudu a napětí na kondenzátoru při nabíjení kondenzátoru v RC obvodu. Tento obvod používáme k měření odporu dřeva a poté ke stanovení vlhkosti dřeva. Nastavil jsem  parametry $U=4\,\mathrm{V}$ a $C=10^{-8}\,\mathrm{F}$, tj. $C=10\,\mathrm {nF}$. Měnil jsem hodnotu odporu $R$ tak, aby k nabití došlo za dobu $T=1.5\,\mathrm{s}$. Změny jsem dělal metodou pokus/korekce. Cílových hodnot $T=1.51\,\mathrm s$ a $U=4.005\,\mathrm V$ bylo za daných parametrů [dosaženo](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxlUU2L2zAQvRv8HwaaxVKiTRzYlHZBvYQWdExAvSzpolpKo7WsMbLskvz6Skn6AdXBGs-b997MaMvX9Tfy-IHCO2hVrxobFaxr8F_KYs8_Ps0T_D5hZVEWsuabFHrVm2jhogO-Gdh8LQtRc1mv9mURbWdejdfXOm1cq2Cw3ehUY8qiDdjyelmvs9akAqkik0wwLZkWFb0yjtbbxkAfsDPen5tTcmWC10zUCc-gVc5ernqR7STbZfClZvKQv-KQqnpsVDSNt3BC7TGes19ZHDGATRIQlP9hyNEhBvK74VVujtLnTA-2s9FOid9jOw6A8Hl0JuA0Qmci6rEsIB2dO-eP6xXZz7d0LuZZgq1X23uYpC5piHMeBrRyg4WcvpEFk1wskoRcaHkzbaJJlpkCrYEhqkm9pXG78RrfTSOPi7t4j8PoYYJGDeYG7sRS9X2ahrzEtIq80dHhJctqFe818p8aeaC3rD2C_PT0fPvJZzjhTyCn2DkSqlnkD8OMwUzmu3ogiUlplpct-sZ09s8r50FA46Curk_LDUzo4vhX-Hsw6r6DssguxNkhvvYOI9kJSv9PStagw8CrYHRF6S8Tzcne&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) pro odpor rovný hodnotě $94\times 10^6\,\mathrm{\Omega}$, tj. $R=94\,\mathrm{M\Omega}$. Pohledem do tabulky přiložené k zadání práce vidíme, že tomuto odporu v případě tisovce odpovídá vlhkost přibližně $12.5 \,\%$. Tuto vlhkost jsem odhadl pomocí dvou nejbližších tabelovaných hodnot pro $12\,\%$ a $13\,\%$.
 +
 +-------------
 +
 +------------
 +
 +## Poznámky přednášejícího
 +
 +* V prvním příkladě jsme si procvičili výpočet derivace funkce dané tabulkou. Takové definování funkce pomocí naměřených dat je poměrně časté a je důležité být i v takových případech připraven na využití nástrojů, které přináší diferenciální počet. Ať již funkcí jedné proměnné (Matematika, MT, bakalářský stupeň) nebo více proměnných (Aplikovaná matematika, AM, magisterský stupeň). Přístup se využívá i při převodu rovnic vyjadřujících fyzikální zákonistosti na rovnice, které j emožné efektivním způsobem řešit numericky na počítači.
 +* Ve druhém příkladě jsme si připomněli (MT), že derivace dokáží vnést dynamiku do statických fyzikálních vztahů. Pokud spolu veličiny souvisí prostřednictvím nějakého vzorce, rychlosti změn těchto veličin spolu souvisejí prostřednictvím vzorce, který se pomocí diferenciálního počtu dá odvodit ze vzorce svazujícího původní veličiny.
 +* Třetí příklad byl bez úkolu, ale ukázali jsme, že někdy je potřeba provést měření oklikou. Například odpor se nepočítá vždy zdánlivě nejjednodušší cestou z Ohmova zákona. Někdy je vhodné zapojit náročnější aparát. V případě měření odporu a vlhkosti dřeva například RC obvod.
 +* Soustavu diferenciálních rovnic popisujících RC obvod můžeme vyřešit tak, že řešením jedné diferenciální rovnice s neznámou $I$ najdeme závislost $I$ na čase  a poté integrací druhého vztahu najdeme závislost $U$ na čase. V tomto případě tedy dokážeme najít přímo vzorec udávající závislost napětí na kondenzátoru a proudu obvodem na čase. My se řešení difrenciálních rovnic (první část) naučíme později a proto jsme zatím vypočítali jenom druhou části. Použili jsme to ke zopakování integrování (AM) resp. k ověření pochopení integrace základních funkcí (MT).
 +* Výstup z předchozího bodu umožňuje najít pro zadanou hodnotu napětí a čas nabití přímo odpor $R$. Skutečně, stačí použít na vztah
 +$$U=U_0\left(1-e^{-\frac T{RC}}\right)$$
 +středoškolské metody spočívající v izolování exponenciální funkce
 +$$e^{-\frac T{RC}} = 1-\frac{U}{U_0},$$
 +v aplikaci inverzní funkce
 +$$-\frac T{RC} = \ln\left(1-\frac{U}{U_0}\right)$$
 +a odsud již snadno vyjádříme odpor $R$ ve tvaru
 +$$R = -\frac T{C \ln\left(1-\frac{U}{U_0}\right)}.$$
 +V úloze jsme touto cestou nešli, ale zkoušeli jsme model prozkoumat numericky, abychom tuto dovednost měli v případě, že přesné analytické řešení nebude k dispozici.
 +* Někteří "upravili" výraz $$U=U_0\left(1-e^{-\frac T{RC}}\right)$$
 +na něco jako $$U=U_0\frac  {e^{\frac{T}{RC}}-1}{e^{\frac{T}{RC}}}.$$
 +Úprava je matematicky v pořádku, je však neobvyklé převádět finální výsledek do zbytečně komplikovaného tvaru. V tomto případě do tvaru zlomku, kde v čitateli i jmenovateli je exponenciální funkce.  Vzhledem k rozšířenosti tohoto velmi neobvyklého nápadu to beru jako ukázku toho, že není nejlepší nápad slepě věřit výstupům z mobilních aplikací nebo nasdílenému řešení. 
 +
 +</markdown>
 +
  
vlhkomer-reseni.txt · Poslední úprava: 2020/03/30 08:21 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku