Mysleli jsme to dobře, ale dopadlo to jako vždy (Viktor Čenomyrdin po nepovedené měnové reformě v roce 1993)

Uživatelské nástroje


vlhkomer

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

vlhkomer [2020/07/07 13:52] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +**Text obsahuje zadání pro práci v předmětech Matematika a Aplikovaná matematika během letního semestru 2020.**
 +
 +# Problematika stanovení vlhkosti dřeva elektrickou cestou
 +
 +Budeme se věnovat problematice měření vlhkosti dřeva pomocí
 +elektrických vlastností. V první části si ujasníme, že elektrický odpor se mění s vlhkostí dřeva. Ujasníme si, jaká je derivace elektrického odporu a co vyjadřuje. Ve druhé části si ujasníme, jak souvisí nabíjecí proud s napětím na kondenzátoru a studenti bakalářského studia posoudí, jaký má změna kapacity kondenzátoru vyvolaná například stárnutím vliv na změnu napětí na kondnezátoru. 
 +
 +## Závislost elektrického odporu dřeva na vlhkosti
 +
 +![Vlhkoměr.](http://user.mendelu.cz/marik/images/wood_vlhkomer.jpg)
 +
 +Elektrický odpor dřeva závisí na jeho vlhkosti. To umožňuje sestrojení přístroje na měření vlhkosti pomocí elektrických parametrů. Základní referenční článek obsahující i tabulky vybraných druhů a specifikaci, za jakých podmínek byl elektrický odpor měřen je [William L. James, Electric moisture meters for wood, Gen. Tech. Rep. FPL-GTR-6. Madison, WI: U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory; 1988. 17 p.](https://www.fpl.fs.fed.us/documnts/fplgtr/fplgtr06.pdf).
 +
 +**Úkol pro předměty Matematika a Aplikovaná matematika.**
 +*Vyberte si ze seznamu v odkazovaném článku druh dřeva, který vás zaujal, ale jiný než smrk nebo buk. Tabulka udává elektrický odpor v megaohmech $\mathrm{M\Omega}$ v závislosti na vlhkosti v $\mathrm{pct}$. Vypočtěte pomocí dopředné nebo centrální diference derivaci odporu podle vlhkosti pro vybraný druh dřeva a vhlkost $20\,\mathrm{pct}$. Očekávaný výstup obsahuje úvodní pasáže s výběrem druhu dřeva a zdůvodněním tohoto výběru a slovní interpretaci derivace odporu podle vlhkosti. Dále informaci o tom, zda pro výpočet používáte dopřednou či centrální diferenci a samotný výpočet s výsledkem, včetně jednotky. Všimněte si, že derivace je záporná a okomentujte význam tohoto znaménka.*
 +
 +*Vzorečky pro dopřednou a centrální derivaci v bodě $x$ funkce $f$ jsou
 +$$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ a
 +$$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.$$ V Aplikované matematice jsme měli ve druhém týdnu pro funkce více proměnných. Pro Matematiku byly vzorce jenom odvozeny v přednášce. Použití vzorce si prohlédněte v materiálech do cvičení, v [příkladu 3.6](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-cviceni-screen-reseni.pdf) a ve [videu](https://www.youtube.com/watch?v=E0MowkbbTM0) pro předmět Matematika.*
 +
 +## Kondenzátor
 +
 +[Kondenzátor](https://cs.wikipedia.org/wiki/Kondenz%C3%A1tor) je elektronická součástka, na které napětí $U$ je přímo úměrné elektrickému náboji $Q$, který součástkou prošel. Konstanta úměrnosti je volena ve tvaru $\frac 1C$, kde $C$ je kapacita kondenzátoru v jednotce farad, $F$.
 +Po zapojení kondenzátoru do elektrického obvodu obvodem prochází elektrický náboj a na kondenzátoru roste napětí. To je opačné k napětí zdroje. Tím se zmenšuje součet napětí v obvodu a elektrický proud klesá postupně k nule.  Ze vztahu
 +$$U=\frac 1C Q$$
 +mezi napětím a nábojem dostaneme derivováním pro konstantní $C$ vztah
 +$$\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=\frac 1C \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}.$$
 +Elektrický proud $I$ je derivace náboje $Q$ podle času. Tím se poslední vztah redukuje na 
 +$$\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=\frac 1C I.$$
 +
 +
 +**Úkol pro předmět Matematika. Předmět Aplikovaná matematika je v tomto odstavci bez úkolu.**
 +*Předpokládejme, že kondenzátor nabíjíme stále stejným proudem a po stejnou dobu, tj. náboj $Q$ je konstantní. Tomu odpovídá konkrétní hodnota napětí. Předpokládejme, že máme ve dřevostavbě dlouhodobě zabudovaný senzor. Kondenzátory strárnou a mění je jejich kapacita. Proces stárnutí je dobře známý a můžeme tedy předpokládat, že známe rychlost, s jakou se mění kapacita $C$ kondenzátoru. Náboj $Q$ je konstantní. Jak rychle se mění napětí $U$? Toto je úloha na související rychlosti změn, tak jak jste se problematice věnovali v úvodním cvičení a v zadání z [druhého týdne koronavirové výuky](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=rychlosti). Očekávaný výstup je vzorec spojující jednotlivé veličiny, informace o tom, které veličiny uvažujeme konstantní a které proměnné v čase, informace o tom, jak se vyjadřuje rychlost změny matematickou cestou a odvození požadovaného vztahu.*
 +
 +## RC člen, obvod z odporu a kondenzátoru
 +
 +![Vlhkoměr.](http://user.mendelu.cz/marik/images/RC_circuit_drevostavba.jpg)
 +
 +Odpor dřeva není vhodné měřít přímo pomocí Ohmova zákona a podílu napětí a proudu, protože může dosahovat desítek gigaohmů. Jedna z metod je měření pomocí [RC členu](), obvodu s kondenzátorem a rezistorem. Rezistorem je dřevěný vzorek se zapíchnutými elektrodami. Podle velikosti odporu se mění nabíjecí proud kondenzátoru a tím se mění i napětí na kondenzátoru. A napětí je dobře měřitelná veličina. Můžeme například sledovačem napětí sledovat dosažení určité hodnoty napětí a měřit čas, jak dlouho trvá dosažení této hodnoty, nebo můžeme nabíjet po určitý stanovený čas a měřit cílové napětí na kondenzátoru.
 +
 +RC člen se nazývá také [integrační článek](https://cs.wikipedia.org/wiki/Integra%C4%8Dn%C3%AD_%C4%8Dl%C3%A1nek), umí operaci integrování, která je inverzní k derivování. Dokonalejší verze integrátoru (založená na operačním zesilovači místo RC členů) byla to součást analogových počítačů. [Prohlédněte si úžasný analogový počítač](https://www.youtube.com/watch?v=UHjkMThH0aE) Scanimate určený na tvorbu [animací](https://www.youtube.com/watch?v=f4WYf2RxUJE) v reálném čase v době, kdy digitální technika silně kulhala za technikou analogovou. 
 +
 +Na obrázku je senzor pro měření vlhkosti z publikace : R. Slávik et. al., A Nondestructive Indirect Approach to Long-Term Wood Moisture Monitoring Based on Electrical Methods (2019).
 +
 +**Bez úkolu, jenom si přečtěte, proč se dřevaři zabývají problémem, který studujeme, prohlédněte obrázek, prohlédněte si videa a pokochejte animacemi tvořenými bez digitální techniky.**
 +
 +
 +## Model nabíjení kondenzátoru
 +
 +Mějme RC obvod složený z odporu $R$ a kondenzátoru o kapacitě $C$ připojený ke konstantnímu napětí $U_0$.
 +[Analýzou obvodu lze ukázat](http://fyzikalniolympiada.cz/texty/matematika/difro.pdf), že napětí a proud splňují rovnice
 +$$\begin{aligned}\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=-\frac 1{RC}I,\\\\
 +\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}&=\frac 1C I.
 +\end{aligned}$$
 +Druhou rovnici jsme odvodili v předchozích kapitolách. První rovnice plyne z fyzikálních zákonů elektrických obvodů a je nad rámec tohoto textu. 
 +
 +První rovnice je rovnice s neznámou funkcí proudu a naučíme se ji řešit v přednášce s diferenciálními rovnice. Jejím řešením, které splňuje  $I(0)=\frac {U_0}R$ (na kondenzátoru je na začátku nulové napětí, veškeré napětí je na rezistoru a proud je dán Ohmovým zákonem) je funkce $$I=\frac {U_0}{R} e^{-\frac 1{RC}t}.$$ Vraťte se k tomuto odstavečku na konci semestru nebo po probrání příslušných partií.
 +
 +Pokud známe $I$, druhá rovnice nám udává derivaci napětí. Tuto úlohu se v předmětu Matematika naučíme řešit v následujících týdnech: k zadané derivaci najděte původní funkci.
 +
 +**Úkol pro předměty Matematika a Aplikovaná matematika.**
 +*Vypočtěte neurčitý integrál $\int e^{ax}\,\mathrm dx$ a určitý integrál $\int_0^T e^{ax}\,\mathrm dx$. Výsledky si zkontrolujte v program [WolframAlpha](http://user.mendelu.cz/marik/akademie/#wa) nebo jiném vhodném programu. Poté vypočtěte pomocí těchto vzorců napětí  na kondenzátoru pomocí určitého integrálu $$U=\int_0^T \frac {U_0}{RC}e^{-\frac 1{RC}t}\,\mathrm dt$$ v případě, že se kondenzátor nabíjí z nulového napětí po dobu $T$. Očekávaným výstupem je výpočet integrálů a slovní interpretace posledního z nich.* 
 +
 +
 +## Numerický model
 +
 +Pokusíme se o [numerický model](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxlUV2L2zAQfDf4Pyw0h6VElzjQHMeB-hJa0FPJgfpypIdqKRedZa2RZZfk11dK0g-oHmx5Z2dmZ73l6_o7uX-k8AFa1avGRgXrGvyXsnjmD4_zBD8kDHWPIQOdeVNfj11ZlIWs-SZBXvUmWjjrgO8GNt_KQtRc1qvnsoi2M6_G60ufNq5VMNhudKoxZdEGbHm9rNdZa1KBVJFJJpiWTIuKXhgH621joA_YGe9PzTG5MsFrJuqEZ9AqZ88Xvch2ku0y-FIzuc9PsU9dPTYqmsZbOKL2GE_ZrywOKY9NEhCUfzPk4BAD-T3wKg9H6VOmB9vZaKfE77EdB0D4PDoTcBrTMiLqsSwgHZ0n5_frFXmeb-lczLMEW6-2t2uSOqcQpxwGtHKDhVy-kgWTXCyShFxoeTVtokmWmQKtgSGqSb2nuN14ud9MI4-Lm3iPw-hhgkYN5gruxFL1fUpDXmJaRd7o6PCcZbWKtx75T4_c02vVHkB--rjcPF0_8xmO-BPIMXaOhGoW-d0wYzCT-V3dkcSlNBvIFn1jOvvnP-cooHFQF9-kCRO6OP4V_hGMum2hLLILcXaIr73DSHaC0v-LkjXoMPAqGF1R-gtXJM_F&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) pomocí Eulerovy metody, jak jsme to dělali v minulých týdnech. Navíc je v modelu test, který ukončí cyklus při dosažení napětí $4.5$ voltů.
 +
 +**Úkol pro předměty Matematika a Aplikovaná matematika.**
 +*Pohrejte se s parametry simulace. Víme, že kondenzátor se na hodnotu $4$ volty nabije za 1.5 sekundy. Nastavte v simulaci parametr ukončení na $4$ volty namísto 4.5, měňte hodnotu odporu $R$ a snažte se dosáhnout toho, že čas nutný pro nabití je roven $1.5$ sekundy. Určete hodnotu odporu $R$. Dřevo je z tisovce (Baldcypress), tj. první řádek v tabulce s hodnotami vlhkosti a odporu z článku odkazovaného v úvodu tohoto textu. Jaká je vlhkost dřeva? Očekávaným výstupem je zapsáíní modelu, který jsme studovali, uvedení hodnot parametrů a cílové hodnoty, ke kterým se máme při simulaci dostat. Dále hodnota odporu, pro kterou je dosaženo cílové hodnoty a nalezení vlhkosti vzorku za předpokladu, že se jedná o dřevo z tisovce.*
 +
 +[Řešení](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=vlhkomer-reseni)
 +
 +</markdown>
  
vlhkomer.txt · Poslední úprava: 2020/07/07 13:52 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku