Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


Sidebar

vlhkomer

Text obsahuje zadání pro práci v předmětech Matematika a Aplikovaná matematika během letního semestru 2020.

Problematika stanovení vlhkosti dřeva elektrickou cestou

Budeme se věnovat problematice měření vlhkosti dřeva pomocí elektrických vlastností. V první části si ujasníme, že elektrický odpor se mění s vlhkostí dřeva. Ujasníme si, jaká je derivace elektrického odporu a co vyjadřuje. Ve druhé části si ujasníme, jak souvisí nabíjecí proud s napětím na kondenzátoru a studenti bakalářského studia posoudí, jaký má změna kapacity kondenzátoru vyvolaná například stárnutím vliv na změnu napětí na kondnezátoru.

Závislost elektrického odporu dřeva na vlhkosti

Vlhkoměr.

Elektrický odpor dřeva závisí na jeho vlhkosti. To umožňuje sestrojení přístroje na měření vlhkosti pomocí elektrických parametrů. Základní referenční článek obsahující i tabulky vybraných druhů a specifikaci, za jakých podmínek byl elektrický odpor měřen je William L. James, Electric moisture meters for wood, Gen. Tech. Rep. FPL-GTR-6. Madison, WI: U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory; 1988. 17 p..

Úkol pro předměty Matematika a Aplikovaná matematika. Vyberte si ze seznamu v odkazovaném článku druh dřeva, který vás zaujal, ale jiný než smrk nebo buk. Tabulka udává elektrický odpor v megaohmech $\mathrm{M\Omega}$ v závislosti na vlhkosti v $\mathrm{pct}$. Vypočtěte pomocí dopředné nebo centrální diference derivaci odporu podle vlhkosti pro vybraný druh dřeva a vhlkost $20\,\mathrm{pct}$. Očekávaný výstup obsahuje úvodní pasáže s výběrem druhu dřeva a zdůvodněním tohoto výběru a slovní interpretaci derivace odporu podle vlhkosti. Dále informaci o tom, zda pro výpočet používáte dopřednou či centrální diferenci a samotný výpočet s výsledkem, včetně jednotky. Všimněte si, že derivace je záporná a okomentujte význam tohoto znaménka.

Vzorečky pro dopřednou a centrální derivaci v bodě $x$ funkce $f$ jsou $$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ a $$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.$$ V Aplikované matematice jsme měli ve druhém týdnu pro funkce více proměnných. Pro Matematiku byly vzorce jenom odvozeny v přednášce. Použití vzorce si prohlédněte v materiálech do cvičení, v příkladu 3.6 a ve videu pro předmět Matematika.

Kondenzátor

Kondenzátor je elektronická součástka, na které napětí $U$ je přímo úměrné elektrickému náboji $Q$, který součástkou prošel. Konstanta úměrnosti je volena ve tvaru $\frac 1C$, kde $C$ je kapacita kondenzátoru v jednotce farad, $F$. Po zapojení kondenzátoru do elektrického obvodu obvodem prochází elektrický náboj a na kondenzátoru roste napětí. To je opačné k napětí zdroje. Tím se zmenšuje součet napětí v obvodu a elektrický proud klesá postupně k nule. Ze vztahu $$U=\frac 1C Q$$ mezi napětím a nábojem dostaneme derivováním pro konstantní $C$ vztah $$\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=\frac 1C \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}.$$ Elektrický proud $I$ je derivace náboje $Q$ podle času. Tím se poslední vztah redukuje na $$\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=\frac 1C I.$$

Úkol pro předmět Matematika. Předmět Aplikovaná matematika je v tomto odstavci bez úkolu. Předpokládejme, že kondenzátor nabíjíme stále stejným proudem a po stejnou dobu, tj. náboj $Q$ je konstantní. Tomu odpovídá konkrétní hodnota napětí. Předpokládejme, že máme ve dřevostavbě dlouhodobě zabudovaný senzor. Kondenzátory strárnou a mění je jejich kapacita. Proces stárnutí je dobře známý a můžeme tedy předpokládat, že známe rychlost, s jakou se mění kapacita $C$ kondenzátoru. Náboj $Q$ je konstantní. Jak rychle se mění napětí $U$? Toto je úloha na související rychlosti změn, tak jak jste se problematice věnovali v úvodním cvičení a v zadání z druhého týdne koronavirové výuky. Očekávaný výstup je vzorec spojující jednotlivé veličiny, informace o tom, které veličiny uvažujeme konstantní a které proměnné v čase, informace o tom, jak se vyjadřuje rychlost změny matematickou cestou a odvození požadovaného vztahu.

RC člen, obvod z odporu a kondenzátoru

Vlhkoměr.

Odpor dřeva není vhodné měřít přímo pomocí Ohmova zákona a podílu napětí a proudu, protože může dosahovat desítek gigaohmů. Jedna z metod je měření pomocí RC členu, obvodu s kondenzátorem a rezistorem. Rezistorem je dřevěný vzorek se zapíchnutými elektrodami. Podle velikosti odporu se mění nabíjecí proud kondenzátoru a tím se mění i napětí na kondenzátoru. A napětí je dobře měřitelná veličina. Můžeme například sledovačem napětí sledovat dosažení určité hodnoty napětí a měřit čas, jak dlouho trvá dosažení této hodnoty, nebo můžeme nabíjet po určitý stanovený čas a měřit cílové napětí na kondenzátoru.

RC člen se nazývá také integrační článek, umí operaci integrování, která je inverzní k derivování. Dokonalejší verze integrátoru (založená na operačním zesilovači místo RC členů) byla to součást analogových počítačů. Prohlédněte si úžasný analogový počítač Scanimate určený na tvorbu animací v reálném čase v době, kdy digitální technika silně kulhala za technikou analogovou.

Na obrázku je senzor pro měření vlhkosti z publikace : R. Slávik et. al., A Nondestructive Indirect Approach to Long-Term Wood Moisture Monitoring Based on Electrical Methods (2019).

Bez úkolu, jenom si přečtěte, proč se dřevaři zabývají problémem, který studujeme, prohlédněte obrázek, prohlédněte si videa a pokochejte animacemi tvořenými bez digitální techniky.

Model nabíjení kondenzátoru

Mějme RC obvod složený z odporu $R$ a kondenzátoru o kapacitě $C$ připojený ke konstantnímu napětí $U_0$. Analýzou obvodu lze ukázat, že napětí a proud splňují rovnice $$\begin{aligned}\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=-\frac 1{RC}I,\\ \frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}&=\frac 1C I. \end{aligned}$$ Druhou rovnici jsme odvodili v předchozích kapitolách. První rovnice plyne z fyzikálních zákonů elektrických obvodů a je nad rámec tohoto textu.

První rovnice je rovnice s neznámou funkcí proudu a naučíme se ji řešit v přednášce s diferenciálními rovnice. Jejím řešením, které splňuje $I(0)=\frac {U_0}R$ (na kondenzátoru je na začátku nulové napětí, veškeré napětí je na rezistoru a proud je dán Ohmovým zákonem) je funkce $$I=\frac {U_0}{R} e^{-\frac 1{RC}t}.$$ Vraťte se k tomuto odstavečku na konci semestru nebo po probrání příslušných partií.

Pokud známe $I$, druhá rovnice nám udává derivaci napětí. Tuto úlohu se v předmětu Matematika naučíme řešit v následujících týdnech: k zadané derivaci najděte původní funkci.

Úkol pro předměty Matematika a Aplikovaná matematika. Vypočtěte neurčitý integrál $\int e^{ax}\,\mathrm dx$ a určitý integrál $\int_0^T e^{ax}\,\mathrm dx$. Výsledky si zkontrolujte v program WolframAlpha nebo jiném vhodném programu. Poté vypočtěte pomocí těchto vzorců napětí na kondenzátoru pomocí určitého integrálu $$U=\int_0^T \frac {U_0}{RC}e^{-\frac 1{RC}t}\,\mathrm dt$$ v případě, že se kondenzátor nabíjí z nulového napětí po dobu $T$. Očekávaným výstupem je výpočet integrálů a slovní interpretace posledního z nich.

Numerický model

Pokusíme se o numerický model pomocí Eulerovy metody, jak jsme to dělali v minulých týdnech. Navíc je v modelu test, který ukončí cyklus při dosažení napětí $4.5$ voltů.

Úkol pro předměty Matematika a Aplikovaná matematika. Pohrejte se s parametry simulace. Víme, že kondenzátor se na hodnotu $4$ volty nabije za 1.5 sekundy. Nastavte v simulaci parametr ukončení na $4$ volty namísto 4.5, měňte hodnotu odporu $R$ a snažte se dosáhnout toho, že čas nutný pro nabití je roven $1.5$ sekundy. Určete hodnotu odporu $R$. Dřevo je z tisovce (Baldcypress), tj. první řádek v tabulce s hodnotami vlhkosti a odporu z článku odkazovaného v úvodu tohoto textu. Jaká je vlhkost dřeva? Očekávaným výstupem je zapsáíní modelu, který jsme studovali, uvedení hodnot parametrů a cílové hodnoty, ke kterým se máme při simulaci dostat. Dále hodnota odporu, pro kterou je dosaženo cílové hodnoty a nalezení vlhkosti vzorku za předpokladu, že se jedná o dřevo z tisovce.

Řešení

vlhkomer.txt · Poslední úprava: 2020/07/07 13:52 (upraveno mimo DokuWiki)