Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


tok

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

tok [2020/03/24 08:32] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<markdown>
 +
 +# Tok tepla a vedení tepla
 +
 +Teplota ve dvourozměrné desce pro $0\leq x\leq 10$ a $0\leq y\leq 10$ je popsána rovnicí
 +  $$T(x,y)=(x+2y)^2+x^3.$$
 +  Rozměry jsou v centimetrech, teplota ve stupních Celsia. (Formálně to nevychází, ale ke každému členu můžeme dodat konstantu, která rozměr opraví tak, aby výsledek opravdu vycházel ve stupních Celsia. Pro jednoduchost tuto komplikaci vynecháme.)
 +
 +1. Vypočtěte gradient $\nabla T$ v obecném bodě $(x,y)$.
 +1. Je dán součinitel tepelné vodivosti $\lambda=
 +  \begin{pmatrix}
 +    5 & 1\\\\1&4
 +  \end{pmatrix}.
 +$ Vypočtěte tok tepla $$-\lambda \cdot \nabla T.$$
 +1. Vypočtěte divergenci toku tepla, tj. $$\nabla\cdot(-\lambda \cdot \nabla T).$$
 +1. V desce nejsou zdroje tepla. Proto je situace modelována rovnicí
 +$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot(\lambda \cdot \nabla T).$$
 +  Ochlazuje se deska uprostřed, nebo otepluje?
 +
 +**Poznámka:** V předposledním kroku je výsledek $$\nabla\cdot(-\lambda \cdot \nabla T)=-30x-50.$$ Pro odpověď na poslední otázku použijte význam divergence nebo rovnici vedení tepla. Znaménko z pravé strany rovnice vedení tepla určíte díky výsledku předchozího příkladu. Pozor na to, že v rovnici vedení tepla není minus na pravé straně. Analogická úloha je vyřešena v materiálech pro cvičení.
 +
 +
 +</markdown>
  
tok.txt · Poslední úprava: 2020/03/24 08:32 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku