Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


spojite_modely_2

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

spojite_modely_2 [2020/05/29 17:13] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +# Spojité modely a jejich formulace
 +
 +Tyto modely navazují na slovní interpretaci derivace a cvičení v předmětu Matematika, obvykle ve druhém týdnu. Formálně se jedná o diferenciální rovnice, ale dají se prozkoumávat i naivními a primitivními prostředky. 
 +
 +V tabulce je překladový slovník mezi slovní formulací a matematickým popisem děje nebo procesu.
 +
 +|slovní popis|matematická formulace|
 +|------------|---------------------|
 +|rychlost (růstu v čase)| derivace podle času|
 +|rychlost poklesu (v čase)| derivace podle času násobená faktorem $(-1)$|
 +|(přímá) úměrnost| násobek konstantou|
 +|nepřímá úměrnost| násobek převrácené hodnoty konstantou|
 +|rychlost (růstu v prostoru)| derivace podle polohy|
 +
 +Nebuďte překvapeni, pokud budou rovnice popisující některé modely
 +stejné, nebo podobné. Viděli jsme to již ve cvičení u modelu učení a
 +modelu růstu úměrného chybějícímu množství.
 +
 +![jezero](http://user.mendelu.cz/marik/images/jezero.jpg)
 +
 +## Rovnice samočištění jezer
 +
 +V jezeře je kontaminace. Do jezera teče čistá voda a kontaminovaná voda vytéká. Tím se jezero čistí. Čím méně je kontaminace, tím menší je koncentrace nečistot ve vytékající vodě a tím pomaleji se nečistoty vyplavují. Matematicky můžeme předpokládat, že rychlost, s jakou klesá množství nečistot v jezeře, je úměrné tomuto množství. Zformulujte matematický model pro tento proces.
 +
 +Množství nečistot označte $y$, čas $t$. Konstatu úměrnosti volte $k$ a model naformulujte tak, aby tato konstanta byla kladná.
 +
 +$\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=$<span class="answer">-k*y</span>
 +
 +## Model ochlazování tepelnou výměnou
 +
 +Horké těleso je v místnosti a ochlazuje se. Na teplotu místnosti toto ochlazování nemá vliv. Rychlost s jakou klesá teplota tělesa je úměrná rozdílu mezi teplotou tohoto tělesa a teplotou místnosti. Zformulujte matematický model pro tento proces. Tento příklad se dělal i ve cvičení.
 +
 +[Prostudujte si detailnější slovní formulaci modelu a její matematické vyjádření.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---tepeln%C3%A1-v%C3%BDm%C4%9Bna)
 +
 +*Řešení: je-li $T$ teplota tělesa v nějaké rozumné jednotce (stupně Celsia, Kelviny, stupně Farenhaita, posunutá teplota, bezrozměrná teplota, ...), platí $$\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-k(T-T_0),$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti a $T_0$ teplota místnosti ve stejných jednotkách jako $T$.*
 +
 +## Radioaktivní rozpad
 +
 +Rychlost s jakou klesá množství nestabilního izotopu je úměrná množství tohoto izotopu.  Zformulujte matematický model pro tento proces. Tento příklad je v každé učebnici diferenciálních rovnic jako základní model.
 +
 +[Prostudujte si detailnější slovní formulaci modelu a její matematické vyjádření.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---datov%C3%A1n%C3%AD-pomoc%C3%AD-uhl%C3%ADku)
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství nestabilního izotopu v libovolné rozumné jednotce (hmotnost, molární množství, počet atomů, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti.*
 +
 +
 +![penize](http://user.mendelu.cz/marik/images/penize.jpg)
 +
 +
 +## Spojitý úrok
 +
 +Do fondu vložíte 50 tisíc korun. Peníze jsou úročeny spojitým úrokem 2%, tj. množství peněz na účtu roste rychlostí, která je 0.02-násobkem úložky. Sestavte matematický model pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y ,\qquad y(0)=50.$$*
 +
 +## Spojitý úrok s opakovanou úložkou
 +
 +Do fondu z předchozího příkladu navíc vkládáte každý rok 5 tisíc korun. Modifikujte předchozí model tak, aby zohledňoval novou situaci.
 +
 +*Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y+5 ,\qquad y(0)=50.$$*
 +
 +
 +
 +## Spojitý úrok s opakovaným výběrem
 +
 +U fondu máte našetřeny tři miliony korun, úrokování je stejné jako v předchozích příkladech, ale každý rok vybíráte 40 tisíc korun na přilepšení k důchodu. Modifikujte předchozí modely tak, aby simulovaly novou situaci.
 +
 +*Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y-40 ,\qquad y(0)=3000.$$*
 +
 +
 +
 +![chirurg](http://user.mendelu.cz/marik/images/chirurg.jpg)
 +
 +## Krvácení při operaci
 +
 +Při operaci pacient krvácí a krev je doplňována fyziologickým
 +roztokem. Celkový objem tekutiny v krevním oběhu pacienta je
 +konstantní, ale pacient ztrácí krvinky. Je to podobné jako samočištění
 +jezera. Při dané intenzitě krvácení je ztráta krvinek tím menší, čím je
 +krvinek méně. Tedy rychlost, s jakou klesá množství krvinek v těle
 +pacienta je úměrná množství těchto krvinek. Sestavte matematický model
 +pro množství krvinek v těle pacienta. Aplikace je popsána [zde.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---akutn%C3%AD-normovolemick%C3%A1-hemodiluce)
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství krvinek v libovolné rozumné jednotce (počet krvinek v mililitru, celkový počet krvinek v těle, podíl hmotnosti krvinek na celkové hmotnosti krve, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti.*
 +
 +## Podávání léku pomocí infuze
 +
 +Lék je v těle z krve odbouráván rychlostí úměrnou množství tohoto léku
 +v krvi. (Farmakokinetika prvního řádu.) Kromě toho je tento lék
 +dodáván do těla pomocí infuze konstantní rychlostí. Zformulujte
 +matematický model pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství léku v libovolné rozumné jednotce (celkové množství v těle pacienta, koncentrace v krvi, ppm, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky+i,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti. a $i$ je rychlost s jakou je dodávána infuze v kompatibilních jednotkách.*
 +
 +
 +## Paušální model sušení dřeva
 +
 +Budeme studovat sušení dřeva. Podobně jako u modelu tepelné výměny, někdy je možno nezohledňovat rozložení vlhkosti, ale uvažovat celkovou hodnotu. Rychlost, s jakou se snižuje obsah vody ve dřevě je úměrná  rozdílu mezi vlhkostí dřeva a rovnovážnou vlkhostí dřeva za daných podmínek. Zformulujte
 +matematický model pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství vody ve dřevě v libovolné rozumné jednotkce (celkové množství ve vzorku, procento hmotnosti vody, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-k(y-y_0),$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti a $y_0$ je rovnovážní vlhkost dřeva za daných podmínek.*
 +
 +
 +![ryby](http://user.mendelu.cz/marik/images/ryby.jpg)
 +
 +## Logistický růst
 +
 +Uvažujme populaci o velikosti $y$ v prostředí o nosné kapacitě $K$. Tedy je obsazeno $\frac yK$ procent prostředí a neobsazená část prostředí tvoří $\left(1-\frac yK\right)$ procent. 
 +Rychlost, s jakou roste velikost populace, je úměrná velikosti populace a současně velikosti neobsazené části prostředí. Zformulujte
 +matematický model pro tento proces. Toto je nejklasičtější model pro modelování obnovitelných přírodních zdrojů. Konstanta úměrnosti se většinou označuje $r$. Přečtěte si o [r a K strategiích](https://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%BDivotn%C3%AD_strategie) mezi rostlinami a živočichy. 
 +
 +*Řešení: V označení velikosti populace symbolem $P$ místo $y$ má model tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=rP\left(1-\frac PK\right),$$ viz [model, kapitola 2](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=skudce).*
 +
 +## Logistický růst s trvale udržitelným lovem
 +
 +Pro jednoduchost zvolme v předchozím modelu jednotky tak, že konstanty
 +$r$ a $K$ jsou rovny jedničce. Rychlost růstu populace zpomalíme
 +konstantním lovem o velikosti $0.1r$, tj. $10\cdot r$ procent nosné
 +kapacity prostředí za časovou jednotku.  Zformulujte matematický model
 +pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Platí $r=1$, $K=1$ a lov je $0.1$, tj. model má tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P(1-P)-0.1,$$ viz [model, kapitola 2](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=skudce).*
 +
 +## Logistický růst s dlouhodobě neudržitelným lovem
 +
 +V předchozím modelu zvýšíme intenzitu lovu na $40\cdot r$ procent
 +nosné kapacity prostředí za časovou jednotku. Modifikujte
 +odpovídajícím způsobem předchozí model. Zformulujte matematický model
 +pro výsledný proces.
 +
 +*Řešení: Platí $r=1$, $K=1$ a lov je $0.4$, tj. model má tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P(1-P)-0.4,$$ viz [model, kapitola 2](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=skudce).*
 +
 +
 +</markdown>
 +
 +
 +<html>
 + <script>
 + window.MathJax = {
 + "fast-preview": {disabled: true},
 + AuthorInit: function() {
 +     MathJax.Hub.Register.StartupHook('End', function() {MathJax.Hub.processSectionDelay = 0; })
 + }
 + }
 + </script>
 + <script async
 + src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/latest.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
 + </script>
 +
 + <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjs/7.0.0/math.js"></script>
 + <style>
 +   .ioarea {height:auto; border:solid;}
 +   .answer {display:inline;}
 +   .response {font-size:200%;}
 + </style>
 +
 +
 +<script>
 +  function gradeAnswer(vysledek,nazev) {
 +      var a = "abs ( ("+document.getElementById(nazev+'Source').value.replace("ln","log")+")-("+vysledek+") )";
 +      let scope = [
 +   {x: 10.4, dy:2.1, dx:5.6, dS:2.7, k:3.4, r:3.2, dt:1.3, dV:5.1, h:9.1, dh:11, T:3.2, L:11, T_0:0.2, y:4.5 },
 +   {x: 1.4, dy:3.1, dx:2.6, dS:1.7, k:2.4, r:1.2, dt:4.3, dV:4.1, h:1.1, dh:0.4, T:5.2, L:8, T_0:3.2, y:4.3 }
 +   ]
 +      document.getElementById(nazev+"Source").style.borderColor = " black";
 +      try{
 +   var val1=math.evaluate(a,scope[0]);
 +   var val2=math.evaluate(a,scope[1]);
 +   if ( val1+val2<0.000001)
 +   {
 +       document.getElementById(nazev+"Source").style.borderColor = "green";
 +       document.getElementById(nazev+"Source").readOnly = true;
 +       document.getElementById(nazev).innerHTML = "✓";
 +       document.getElementById(nazev).style.color = "green";
 +   }
 +   else
 +   {
 +       document.getElementById(nazev+"Source").style.borderColor = "red";
 +       document.getElementById(nazev).innerHTML = "&cross;";
 +       document.getElementById(nazev).style.color = "red";
 +   }
 +      }
 +      catch (err)
 +      {
 +   document.getElementById(nazev).innerHTML = "???";
 +      }
 +  }
 +
 +
 +
 +  $(document).ready(function(){
 +
 +      $(".answer").each(function(index)
 + {
 +     var corrAns=$(this).text();
 +     $(this).empty();
 +     $(this).append('<textarea rows="1" class="ioArea inputText" id="demo'+(index+1)+'Source"/>');
 +     $(this).append($('<button/>',{text:"Test", click: function () {gradeAnswer(corrAns,"demo"+(index+1))}}));
 +     $(this).append("&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;");
 +     $(this).append('<span class="ioArea" id="demo'+(index+1)+'Rendering">` `</span>');
 +     $(this).append('<span class="response" id="demo'+(index+1)+'"></span>');
 + }
 +        );
 +      $(".inputText").each( function () {
 +   $(this).keyup(function() {MathJax.Hub.Queue(['Text', MathJax.Hub.getAllJax($(this).attr('id').replace("Source","Rendering"))[0], $(this).val()]);});
 +      })
 +      });
 +</script>
 +</html>
  
spojite_modely_2.txt · Poslední úprava: 2020/05/29 17:13 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku